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Funciones Polinomiales de grado superior

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by

Jenny López

on 5 November 2014

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Funciones Polinomiales de grado superior

Introducción
Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.
La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:



En esta actividad integradora se mostrara lo que es una función polinomial, sus diversos tipos y como resolverlas.
Función Polinomial
La expresión de una función polinomial es:



donde n es un numero real entero no negativo, al igual que cada una de las constantes a. El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o sea, a
n
, es su coeficiente principal.
Función Constante
Una función constante es aquella que tiene la forma
y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es R, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.
Función Lineal
Una función lineal es aquella que tiene la forma, o
puede ser llevada a la forma: y = f (x) = ax + b , con
a ≠ 0 , a,b∈ R
Los ceros de una funcion polinomial
Los ceros de una función polinomial
Ejemplos de como hallar los ceros de una función polinomial a base de cada teorema.
Conclusión
Para hallar los ceros de una función polinomial se
necesita que
n>2

y los
coeficientes sean números reales
y racionales.

Los ceros de una función polinomial definida por la ecuación
y=f(x)
son aquellos valores de
x
que son la solución de la ecuación
f(x)=0
. Si los ceros son números reales, entonces
son las intersecciones con el eje x de su gráfica.

Los 3 teoremas importantes para hallar los ceros es el
teorema del residuo, del factor y la división
sintética siendo esta última la mas sencilla.
Si se tiene que encontrar el residuo de un polinomio de 3 grados y nos den los 3 valores de
x
utilizar el teorema
fundamental del álgebra.
Teorema del Residuo
Si un polinomio
P(x)
se divide entre x-a hasta obtener un residuo en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual a
P(a).

Si dividimos
P(x)
entre x-a y designamos por
Q(x)
el cociente y por r el residuo, entonces
P(x)=Q(x)(x-a)
+ r.
Como la igualdad anterior es valida para todo
x ∈R,
lo sera para
x=a,
luego:
Teorema del factor
Si x=a es una raíz de la ecuación P(x)=0, donde P(x) es un polinomio, entonces (x/a) es un factor de P(x).
Teorema del residuo
Encuentra el residuo que resulta al dividir el polinomio
f(x)=x2-7x+15
por
x-4
.
Teorema del factor
Para determinar si
x+3
es un factor de
P(x)=x3+x2-7x-3
bastara con determinar si
x=-3
es raíz de dicha ecuación. Si
f(-3)=0
, entonces
x+3

si
es un factor de
P(x)

Sustitución de valores
División Sintética
Divide x4-2x3+5x2-6x+1 por x-2.
Propiedades
1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)
2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la
ecuación a xn + + a1x + a0 = 0
3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.
f(x)=c
Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b. Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.
3. El dominio y el recorrido de una función lineal es R.
4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una
función lineal.
Gráficas
Integrantes
Jenny Carolina López Zamarrón. 1668183 #24
Lina Alondra Mata Padrón. 1657739 #27

Gráfica de y = ax + b , a > 0
Gráfica de y = ax + b , a < 0
Grupo 302.
Matemáticas III.
MAE. Lemya Manrique Garza.

Función Cuadrática
Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
y = f (x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 , a,b,c∈ y su dominio es R
Propiedades
1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
2. La gráfica de y = f(x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c) La gráfica de y = f(x) = ax2 + bx + c intercepta al eje X cuando Δ = b2 − 4ac> 0 , y en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto
4. La recta vertical es una recta eje de simetría de su gráfico.
5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.
Gráficas
Función Cubica
Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ y su dominio es R.
Gráfica
y = f (x) = x3
División sintética
El teorema del residuo nos permite hallar el valor de un polinomio
f(x)
mediante la división de este entre un binomio pero hay una manera mas rápida de resolverlo que es mediante la división sintética.
Si
(x-a)
es un factor de
P(x)
, implica que
R=0
, entonces tenemos
P(x)=(x-a)Q(x) donde Q(x)
es un polinomio. Como la igualdad es valida para todo numero real, lo sera para
x=a;
entonces







x=a es una raíz de la ecuación P(x)=0
Para hallar ceros de las funciones polinomiales de tercer y cuarto grados existen soluciones algebraicas; sin embargo, son muy complicadas y nada practicas. El frances Evaristo Galvin demostro en 1920 que no existe formula algebraica para resolver una ecuacion polinomial de la forma:

Por lo que se intentaran hallar los ceros por tanteos, pero siempre bajo un orden y utilizando un conjunto de herramientas y propiedades de los polinomios que nos permita proceder de una manera razonable y con precision utilizando la teoria de las ecuaciones para hallar los ceros de polinomios de grado superior (n>2) cuyos coeficientes sean numeros reales y racionales.
El residuo de la division (
x2-7x+15
) / (x-4) es 3.
x+3 si es factor de P(x)=x3+x2-7x-3
El cociente de la division es x3+5x+4 y el residuo es 9.
Teorema fundamental del álgebra
Toda ecuación racional entera
f(x)=0
, de grado
n>0
tiene al menos una raíz. Si un numero complejo
a+bi
, es una raíz de una ecuación polinomial racional entera,
f(x)=0
de coeficientes reales, entonces su complejo conjugado a-bi también es una raíz de
f(x)=0
. Un polinomio
f(x)
de grado n tiene exactamente
n
raíces o ceros no necesariamente diferentes.
Para este teorema tomaremos como base:


Las raíces de
f(x)=0
pueden ser reales o complejas y se pueden repetir, como lo hemos señalado. Una raíz de multiplicidad
k
se cuenta
n
veces.

La forma factorizada de un polinomio con coeficientes reales nos permite construir una ecuación si conocemos sus races.
Teorema fundamental del álgebra
Encuentra la expresión del polinomio
f(x
) de grado 3 cuyos ceros sean
2,4 y -5
tal que
f(3)=-24
Al multiplicar (x-2) (x-4) (x+5) resulta
Hallar coeficiente a
n
:
Como
f(3) = -24
Sustituyes:
Competencias Desarrolladas y Referencias
Competencias genéricas
4.Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacion de medios, codigos y herramientas apropiadas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a partir de métodos establecidos.
Referencias
CUELLAR,Juan
Matemáticas 3 Precalculo,
3ra Edición,Reimpresión 2013 ,Monterrey,México,
2010
p.203-219

http://ebmmatelv4c.blogspot.mx/
http://2.bp.blogspot.com/-NpulJoctYjo/UYH0IYOEjcI/AAAAAAAAATc/r4q_bsUxoiY/s1600/divsintetica.png
http://1.bp.blogspot.com/-CIwayZ3D61w/UPCeVa6pMpI/AAAAAAAAAL8/PBiPPc5jBQA/s1600/division+sintetica.png

Consultadas el 20 de Septiembre 2014.
Competencias genéricas
-Maneja las tecnologías de la información y la comunicación como herramienta para el acceso a la información y su transformación en conocimiento, así como para el aprendizaje y trabajo colaborativo con técnicas de vanguardia que le permitan su participación constructiva en la sociedad.
-Utiliza los métodos y técnicas de investigación tradicionales y de vanguardia para el desarrollo de su trabajo académico, el ejercicio de su profesión y la generación de conocimientos.
Competencias disciplinares
2. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos.
3. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analítico o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologias de la informacion y la comunicación.
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