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Shakespeare, um jogo de dardos e a Hipótese do Contínuo

Com a ajuda de Shakespeare e de um jogo de dardos, obteremos uma equivalência "quase intuitiva" para a (negação da) Hipótese do Contínuo.
by

Renan Mezabarba

on 13 June 2013

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Transcript of Shakespeare, um jogo de dardos e a Hipótese do Contínuo

CH ou não CH,
eis a questão...
O que é CH?
Ora, é a Hipótese
do Contínuo

CH consiste da afirmação de que
NÃO existe "infinito" que esteja
estritamente
entre o
infinito dos números naturais
e o
infinito dos números reais
... Oh, wait!

Na busca insana por generalidade, os matemáticos chegaram à seguinte definição:

A quantidade de elementos de um conjunto A é menor do que ou igual à quantidade de elementos de um conjunto B se existir uma função injetora
Essa definição generaliza a situação em que os conjuntos A e B são finitos.
Por exemplo, se tivermos
então podemos facilmente obter uma injeção de C para A (ou para B), e uma bijeção entre A e B.
PRIMEIRO:
Existem infinitos distintos
SEGUNDO:
O infinito dos naturais "é menor do que"
o infinito dos reais.
Antes de qualquer coisa, note que isso
NÃO
segue
trivialmente por termos
o que denotaremos por |A| ≤ |B|
bijetora
|A|=|B|
,
e
Portanto, |C| < |A|,
|C| < |B| e |A|=|B|,
Pikachu!
Conjuntos infinitos não têm a propriedade de que
"o todo é maior do que a parte"!
Basta notar, por exemplo, que você pode obter uma bijeção entre os números naturais e os números naturais ímpares!
Suponha que exista uma bijeção
Logo,
Tome então
tal que .
Assim, . Absurdo.
Assim, CH afirma que se existirem um conjunto A e
funções injetoras e , então de duas uma:
ou existe uma função bijetora
ou existe uma função bijetora
Mais sinteticamente, se A for tal que
e , então ou .
Se "renomearmos" e fizermos , e denotarmos por o símbolo para o infinito que
se encontra imediatamente "acima" de , então a Hipótese do Contínuo pode ser simplesmente enunciada como a igualdade "acima"...
A resposta é,
depende
.
E nós não provaremos isso aqui, hoje.
Se você for um platonista, então
tentaremos lhe dar um motivo para acreditar que CH é falso no
"mundo real"
Mas se você não é,
vamos apenas jogar dardos
O Jogo de Dardos
Um jogo de dardos usual consiste no seguinte:
Jogadores
que lançam dardos
num alvo
Os jogadores
O alvo
Tentativa de jogo I
O Patolino joga o seu dardo na reta, e atinge um único ponto
O Pernalonga joga o seu dardo na reta, e atinge um único ponto
Pernalonga ganha se , caso contrário, a vitória será do Patolino
Vocês são
desprezíveis!
Intuitivamente, o Patolino tem razão de estar bravo, pois
as chances de o Pernalonga ganhar são "imensas", mesmo que o coelho jogasse de olhos vendados.
Finalmente,
entra Shakespeare
Pedimos para o escritor nos dar uma função , que a cada ponto da reta faz corresponder uma sequência de pontos da reta. A natureza dessa função, ou as propriedades das sequências que ele escolheu, cabem apenas à ele decidir.
Para nós, o único fato importante é que cada sequência dada será enumerável.
Tentativa de jogo II
O Patolino joga o seu dardo na reta, e atinge um único ponto
O Pernalonga joga o seu dardo na reta, e atinge um único ponto
Pernalonga ganha se , caso contrário, a vitória será do Patolino.
A situação não melhorou muito, haja vista que
é apenas uma sequência no máximo
enumerável, que é um tipo de infinito menor
do que o infinito de . Assim, as chances do
Pernalonga continuam muito boas, aparentemente.
Façamos mais uma mudança nas regras, será a última
(por isso até lhe daremos um nome especial)
Tentativa de jogo III
Jogo do f-dardo
O Patolino joga o seu dardo na reta, e atinge um único ponto
O Pernalonga joga o seu dardo na reta, e atinge um único ponto
Pernalonga ganha se e , caso contrário,
a vitória será do Patolino.
Embora as condições para que o Pernalonga vença agora estejam mais restritivas, PARECE que ainda faz sentido apostar na vitória do Pernalonga, pois
enumerável
Será?
agora!
Teorema
É possível que o Pernalonga vença o jogo do f-dardo para qualquer função f de Shakespeare se, e somente se,
CH é falsa.
segurem-se...
Chamaremos de (*) a afirmação
"É possível que o Pernalonga vença o jogo do f-dardo, para qualquer função f de Shakespeare".
Nossa prova consistirá em mostrar que CH implica a falsidade de (*) e, depois, que a negação de CH implica a veracidade de (*).
Demonstração
Essa direção é quase imediata. Seja uma função de Shakespeare.
Negar a hipótese do continuum significa afirmar que existe A, tal que
Chame então
Dessa forma, existe tal que . Isto significa que
Por outro lado, como é enumerável, existe tal que .
Obtemos assim os pontos que garantem (*).
Sem perda de generalidade, podemos assumir A contido na reta.
Assim, B é uma reunião de |A| conjuntos enumeráveis, donde temos
Shakespeare, um jogo de dardos
& a Hipótese do Contínuo

Por Renan Maneli Mezabarba
Na verdade, a princípio
o Shakespeare havia entrado na apresentação por dois motivos:
Esclarecimentos:
1º - (A)trair público :p
2º - Entrar em sincronia com o .gif inicial da apresentação
No entanto, foi incrível lembrar que, de fato, o Shakespeare tem um pé nessa história toda.
Próximo do final do século XIX, Georg Cantor (que, caso eu tenha esquecido de dizer, foi quem formulou a Hipótese do Contínuo), se interessou por outra hipótese: a de que a obra de Shakespeare fora, na verdade, produzida por Francis Bacon.
CH ou não CH,
... eis a questão
Como assim?
* Dimensão de espaços vetoriais:
e
* Divisores próprios de 0 num anel:
e
* Num corpo, existência de solução para
:
e
Uma forma aparentemente não tão sintética de enunciar CH, mas que será útil ainda hoje, é a seguinte:
CH é a afirmação de que os TODOS os números reais podem ser dispostos numa única fila (fila mesmo, como essas que você encara no supermercado) que satisfaz umas condições especiais:
A fila é infinita (claro, pois são todos os números reais na fila)
Dado qualquer número real na fila, existem no máximo
enumeráveis
pessoas na frente dele.
É mais ou menos assim...
Tome o conjunto dos reais. Ele é não vazio, logo tem alguém dentro dele...
Esse alguém será o primeiro número real da fila.
Sobrou algum número real? Se sobrou, então você pode "pegar" algum número que ateste isso.
Esse número será o
próximo
da fila.
Continue o processo, enquanto sobrarem números reais.
Onde usamos a Hipótese do Contínuo?
Resposta: Lugar nenhum.
É uma coisa chamada
Axioma da Escolha
que permite fazer isso.
A Hipótese do Contínuo é a segunda parte daquilo que exigimos da fila.
Ela garante que nós podemos enfileirar a reta num processo como aquele que mostramos acima, de modo que na frente de cada número existam apenas enumeráveis números reais!
CH nos diz que podemos enfileirar a reta real de uma maneira especial.
Defina a função f de Shakespeare levando à cada ponto x da reta o conjunto formado por todos os números que estão à frente dele na fila.
A validade da Hipótese do Contínuo dos diz que esta é uma função de Shakespeare!
E, mais que isso: o Pernalonga não vence o jogo do f-dardo para esta função.
De fato, se fosse possível que o Pernalonga vencesse, existiriam dois números reais x e y, satisfazendo:
e
Ou seja, o número y deve estar atrás de x, ao mesmo tempo em que x deve estar atrás de y, o que é impossível numa fila!
E quando já tivermos uma fila enumerável?
Sem problemas!
Apenas continue ; )
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