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Copy of GEOMETRÍA EUCLIDIANA

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by

Catalina Valencia Cárdenas

on 24 February 2014

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Transcript of Copy of GEOMETRÍA EUCLIDIANA

GEOMETRÍA
EUCLIDIANA

DEFINICIÓN
Proviene del idioma Griego
Geos: Tierra
Metria: Medida

Rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio
BABILONIA: 6000 años atras
Astronomía
La rueda, diametro, circunferencia
Grado sexagesimal
RESEÑA HISTORICA
EGIPTO:
Agricultura
Geometría
Construcción
GRECIA: Grandes pensadores
Geometria como ciencia deductiva
Siete sabibios:
Tales de Mileto
Pitagoras de Sarros
Euclides
Platon
Arquímedes de Siracusa
Apolonio de Perga
Heron de Alejandría
PROPOSICIÓN:
Definición: "Entidades portadoras de verdad"
Producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje
LÓGICA PROPOSICIONAL
Definición: estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples.
Sistema formal cuyos elementos mas simples representan proposiciones, que mediante conectivas lógicas generan otras proposiciones de mayor complejidad.
Tipos de lógicas
Lógica proposicional
Lógica de primer orden
Lógica de segundo orden
Lógica modal
Lógica temporal
CONCEPTOSPREVIOS
Implicación lógica
Las implicaciones lógicas a usar son:
El condicional (R entonces S)
Implicación lógica (R implica S)
Bicondicional
Equivalencia lógica (R equivale a S)
Implicación Asociada
Definición: Razonamiento realizado en una lógica valida, hasta obtener la veracidad de la tesis formulada
LA DEMOSTRACIÓN
Proceso demostrativo: a partir de las proposiciones dadas (premisas) que se admiten verdaderas, obtener mediante una cadena de implicaciones lógicas, una proposición final denominada conclusión.
Teoría axiomática o deductiva: Es el sistema en donde las proposiciones no demostradas se enuncian explicitamente y se fija como hipótesis, a partir de los cuales pueden construirse las demas proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas lógicas perfectamente y expresamente determinadas.
Encadenamiento lógico
Definición y demostración
Condiciones de la teoría deductiva
Enunciar explicitamente los terminos primeros y las relaciones primeras
Enunciar explicitamente las proposiciones primeras, con las que se proponen demostrar las demas y cumplir con tres propiedades:
Consistencia
Suficciencia
Independencia
Que las relaciones establecidas entre los terminos sean relaciones lógicas
Se prohibe tomar algo prestado
1. Los axiomas pueden figurar en cualquier paso de una demostración y tambien los teoremas
2. Regla universal "Modus Ponendo Ponens"
3. Sustitución por equivalencia.
REGLAS DE VALIDEZ PARA LA DEMOSTRACIÓN
MÉTODO DEDUCTIVO:
Consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos

AXIOMA:
Proposición sencilla y evidente que se admite sin demostrar

POSTULADO:
Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que tambien se admite sin demostrar.

TEORÉMA:
Proposición que puede ser demostrada. La demostración cosnta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. Consta de HIPÓTESIS Y TESIS

COROLARIO:
Proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.
CONCEPTOS IMPORTANTES
El objetivo es demostrar que una formula correspondiente a P entonces Q es teorema
MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN:
Tipos de Métodos:

Método Directo
Método de la demostración por contradicción o reducción al absurdo
Método de casos o silogismo disyuntivo
Método del contraejemplo.
Dado un conjunto de premisas, si bajo el supuesto de que una proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera. Entonces esta teoría puede concluirse como P entonces Q
MÉTODO DIRECTO
Variante del método directo que se emplea cuando en el método directo no se logra obtener una conclusión deseada. Se demuestra entonces el contrarrecíproco. Si se consigue este objeto, quede demostrada la proposición inicial al realizar sustitución por equivalencia.
MÉTODO DEL CONTRARRECÍPROCO
Demostración por contradicción.
Se fundamenta en la condición de consistencia que debe caracterizar una teoría. Consiste en suponer la negación de la proposición a demostrar. A partir de esta hipótesis se busca generar una contradicción. Con tal inconsistencia se demuestra que el suspuesto es falso o que su negación es verdadera quedando valida la proposición inicial.
MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO
Silogismo disyuntivo
Surge de la regla de inferencia que recibe ese nombre. Es un metodo de forzosa utilización. Se emplea cuando la hipótesis es una disyunción de dos o mas proposiciones.
MÉTODO DE CASOS
De gran aplicación en las matemáticas y consiste simplemente en formular un ejemplo que refute la proposición planteada.
MÉTODO DEL CONTRAEJEMPLO
TERMINOS PRIMITIVOS
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
TERMINOS DEFINIDOS
Punto
Recta
Plano
Espacio

Semirrecta
Segmento
Semiplano
Figura

Estar en (Pertenencia)
Entre
Congruencia
REACIONES PRIMITIVAS
AXIOMAS
I. Incidencia
II. Orden
III. Congruencia
IV. Continuidad
V. Paralelismo
un punto geométrico es tan pequeño que carece de dimensión.
Lo indican como la huella que deja el lápiz en el papel.
Un punto se designa con letras mayúsculas.
Son tipos especiales de conjuntos de puntos
Lo indican como rayo luminosos o borde de una regla
Las rectas se designan con letras minusculas o con dos de sus puntos
Conjuntos parciales de infinitos puntos
Un plano hace referencia a una superficie como una pared o un piso
Se representa mediante un paralelogramo y se designa con tres de sus puntos no alineados o con una letra griega.
El espacio hace referencia al conjunto infinito de puntos
El espacio puede contener puntos, rectas, planos, figuras.
Se designa con la letra mayuscula E.
Si sobre una recta señalamos un punto A, se llama semirrecta al conjunto de puntos contenidos en la recta que le siguen a A o le anteceden.
A es el origen de la semirrecta.
Si sobre una recta señalamos dos puntos A y B, se llama segmento al conjunto de puntos que pertenecen a la recta y que estan entre A y B incluidos estos ultimos. A y B serian los puntos extremos del segmento.
Toda recta l de un plano corta al plano en dos regiones llamadas semiplanos. Cada punto del plano pertenece a una de las subrregiones excepto los puntos de la recta l.
Conjunto no vacio de puntos
Figura convexa: cuando para dos puntos cualquiera de ella el segmento que determina esta siempre incluido en la figura.
POLIGONAL Y POLÍGONOS
POLIGONAL:

Conjunto ordenado de segmentos, tales que el extremo de un segmento coincide con el origen de otro segmento
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
Finished
En la poligonal dos segmentos que se intersectan en un vértice no pueden formar ángulo llano.
Ejemplo de poligonal abierta
Se necesitan solo 3 puntos para hacer una poligonal
Ejemplo de poligonal cerrada
Las poligonales se pueden intersectar en los lados
(cc) image by nuonsolarteam on Flickr
Definición:
Sean A , A , A ,...,A , n puntos en el plano
La unión de los segmentos A A , A A ,..., A A se llama línea quebrada
1
2
3
n
1
2
2
3
n-1
n
La línea quebrada es abierta si A y A no están unidos, y es cerrada si A y A están unidos
1
n
1
n
A1
A2
A3
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A1
A2
A3
A4
A1
A2
A3
A4
A5
A1
A2
A3
A4
POLÍGONO
Figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región del espacio
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Elementos de un polígono
Vértices del polígono: A , A , A ,..., A

Lados del polígono: A A , A A ,..., A A

Ángulos del polígono: A A A , A A A ,..., A A A

Contorno o frontera del polígono: esta constituida por los lados del polígono

Perímetro del polígono: es la suma de todos los lados del polígono

Diagonal del polígono: es el segmento que une los vértices no consecutivos del polígono

Ángulos exteriores del polígono: son los ángulos que forman un par lineal con los ángulos de un polígono

Punto interior del polígono: es un punto que no pertenece a la frontera y toda semirrecta con origen en él, corta la frontera del polígono

Interior del polígono: es el conjunto de puntos interiores del polígono

Punto exterior del polígono: es un punto que no esta en la frontera y que existe en el una semirrecta que no corta a la frontera del polígono.
1
2
3
n
1
2
3
2
n
1
1
2
3
2
3
4
n
1
2
Clasificación de los polígonos
POLÍGONO
Simple
Complejo
Convexo
Cóncavo
Regular
Irregular
Un polígono simple cumple:
Todos los vértices son distintos
Los lados se intersectan solamente en los vértices
Ningún vértice esta en el interiror de un lado
Teoremas de los Polígonos
4.1.
El número de diagonales de un polígono de n lados es:
d = n ( n - 3)
2
Nombres de los polígonos
Clasificación de los triángulos
Clasificación de los cuadrilateros
4.2.
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo, es igual a tantas veces dos rectas como lados tiene el polígono menos dos. Es decir, si n es el número de lados del polígono, entonces
S = 180 ( n - 2 )
4.3.
Todo rectángulo y todo rombo es paralelográmo
Corolarios:
1. El rectángulo es un paralelogramo equiángulo
2. El rombo es un paralelográmo equilátero
3. El cuadrado es rectángulo y rombo a la vez
4.4.
Propiedades por equivalencia del paralelogramo
Los siguientes enunciados son equivalentes:
1. Un cuadrilátero convexo es un paralelogramo
2. Un par de lados del cuadrilátero son paralelos y congruentes
3. Los lados opuestos del cuadrilátero son congruentes
4. Las diagonales del cuadrilátero se bisecan
5. Los ángulos opuestos del cuadrilátero son congruentes
6. Un par de lados del cuadrilátero son paralelos y un par de ángulos opuestos son congruentes
7. Dos ángulos adyacentes a un lado son suplementarios.
4.5.
Propiedades por equivalencia del rectángulo.
Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. Un cuadrilátero es un rectángulo
2. Todos sus ángulos son rectos
3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.
4.6.
Propiedades por equivalencia de un rombo
Los siguientes enunciados son equivalentes
1. Un paralelográmos es un rombo
2. Las diagonales del paralelográmo bisecan los ángulos opuestos
3. Las diagonales del paralelográmo son perpendiculares
4. Dos lados adyacentes del paralelográmo son congruentes
4.7.
Teorema del trapecio
i. La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio) es paralela a las bases y su medida es la semisuma de las medidas de las bases.

ii. El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo a las bases y su medida es la semidiferencia de las medidas de las bases.

iii. En un trapecio isósceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las diagonales son congruentes, los ángulos de la base mayor son congruentes, los ángulos de la base menor son congruentes. El punto de intersección de las diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que contienen los lados no paralelos, están alineados. Las mediatrices de las bases coinciden.
Axiomas de congruencia
II. Axiomas de orden
I. Axiomas de incidencia
CIRCUNFERENCIA
Linea Curva
Línea que no tiene segmentos rectilíneos
Puede ser:
Abierta o cerrada
Convexa o no convexa
Abierta
Convexa
Abierta
No convexa
Cerrada
Convexa
Cerrada
Convexa
Cerrada
No Convexa
DEFINICIÓN:
Es el conjunto (lugar geométrico) de todos los puntos de un plano, que equidistan de un punto dado llamado centro
Definiciones:
Notación
C ( O, r)
O
r
El radio es la medida del segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia
Interior de una circunferencia: es el conjunto de puntos del plano tales que su distancia al centro es menor que el radio




Exterior de una circunferencia: es el conjunto de puntos del plano tales que la distancia al centro es mayor que el radio




Círculo: es la unión de la circunferencia y su interior
O
x
.
.
O
x
.
.
O
.
Subconjuntos particulares de la circunferencia y el círculo
1. Cuerda: es un segmento de recta, cuyos extremos son dos puntos diferentes de la circunferencia.
Cuerda diametral: se determina cuando el centro de la circunferencia es un punto interior de la cuerda, y su longitud se denomina diámetro
A
B
C
D
.O
E
F
.
.
.
.
.
.
4. Arco: es el subconjunto de la circunferencia limitado por los extremos de un cuerda.
Se dice que un arco esta subtendido por una cuerda y reciprocamente.
Para precisar a cual de los arcos se está haciendo referencia, se toman tres puntos del arco para nombrarlo
La semicircunferencia es el arco que esta subtendido por una cuerda diametral
CD
AB
EF
A
C
B
E
ACB
AEB
5. Ángulo central: es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia, siendo el ángulo y la circunferencia coplanares.
Se dice que un ángulo central intercepta a un arco y una arco subtiende a un ángulo central
6. Segmento circular: es un subconjunto de círculo, limitado por una cuerda y uno de los arcos subtendidos, incluyendo ambos límites
7. Sector circular: subconjunto del círculo limitado por un ángulo central y el arco interceptado, incluyendo ambos límites.
A
B
O
M
Sector OAMB
Sector OBMA
O
A
M
B
AMB
AOB
P
Q
R
Segmento PQR
Proposiciones básicas
Teorema 1
Teorema 2
Teorema 3
2. Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia y los puntos se denominan puntos secantes
3. Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia y dicho punto se denomina punto tangencial
Determinación de una circunferencia
Tres puntos distintos y no colineales determinan una única circunferencia a la cual pertenecen
Una circunferencia y una recta que son coplanarias tienen como máximo dos puntos comunes.
Consecuencias: se generan las posiciones relativas de una recta, representadas en la gráfica
.
O
Toda recta coplanaria con la circunferencia y tangente a ella es perpendicular al radio
O
.
Posiciones relativas de dos circunferencias
Si dos circunferencias estan en el mismo plano, entonces las posiciones relativas entre ellas puede relacionarse con la distancia d entre sus centos así:
1. Dos circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios
d > r + r
1
2
d
r
1
2
r
2. Dos circunferencias son tangentes si ambas son tangentes a la misma recta, en el mismo punto.
Si d = r - r son tangentes interiores
Si d = r + r son tangentes exterirores
r
1
2
r
o
1
o
2
l
r
1
2
r
o
1
o
2
l
3. Si la distancia entre los centros es menor que la diferencia entre los radios decimos que las circunferencias son interiores
1
1
2
2
o
o
1
2
4. Si la distancia entre los centros de dos circunferencias varía entre la diferencia y la suma de los radios r - r < d < r + r entonces decimos que las circunferencias son secantes
o
o
1
2
d
r
r
1
2
5. Si las circunferencias comparten los centros pero los radios son diferentes decimos que las circunferencias son concéntricas
6. Si las circunferencias comparten el centro y los radios son iguales, decimos que las circunferencias son coincidentes o iguales
o
r
r
1
2
o
R
1,2
1,2
Teorema 4
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Teorema 8
Teorema 9
Definiciones:
1. Arco unitario: es el arco interceptado por un ángulo central de medida igual a 1°

A
O
B
AB = 1
2. Circunferencias congruentes: son aquellas que tienen igual radio
3. Arcos congruentes: son aquellos que estando contenidos en circunferencias congruentes tienen igual medida
1. Recíproco del teorema tres
2. La medida del arco total de la circunferencia es igual a 360
Teorema 10
Teorema 11
En una circunferencia, la cuerda máxima es el diámetro
La distancia máxima entre un punto y una circunferencia coplanarias esta dada por el segmento del radio o de su prolongación entre el punto y la circunferencia.
Relación Ángulos vr Arcos
En circunferencias congruentes:
1. Si dos ángulos centrales son congruentes entonces los arcos interceptados son congruentes.
2. Si dos ángulos centrales no son congruentes entonces el ángulo mayor intercepta al arco mayor.
Recíproco del teorema 7, Relación Arcos vs Ángulos
1. Si dos arcos son congruentes entonce los ángulos centrales que los interceptan tambien son congruentes
2. Si dos arcos no son congruentes entonces en arco mayor es interceptado por el ángulo mayor
Relaciones Ángulos Vs cuerdas y Curdas Vs Ángulos
En circunferencias congruentes:
1. Si dos ángulos centrales son congruentes entonces las cuerdas interceptadas son congruentes
2. Si dos ángulos centrales no son congruentes en tonces el ángulo mayor intercepta a la cuerda mayor
Relación Arcos vs Cuerdas y Curdas vs Arcos
Todo radio perpendicular a una cuerda biseca a la cuerda y respectivamente biseca al arco subtendido por esta cuerda
Teorema 12
Dos circunferencias coplanarias y distintas tienen a lo sumo dos puntos comunes
Teorema 13
En circunferencias congruentes:
1. Dos cuerdas congruentes equidistan del centro
2. Si las dos cuerdas no son congruentes, la mayor dista menos del centro
Teorema 14
Recíproco del teorema 13
Teorema 15
Los arcos determinados entre rectas paralelas son congruentes
Teorema 16
Medida del ángulo inscrito: la medida del ángulo inscrito en un arco es igual a la mitad de la medida del arco interceptado por dicho ángulo
Teorema 17
1. Desde un punto S exterior a una circunferencia y coplanario con ella, se pueden trazar dos y unicamente dos rectas tang a la circunferncia
2. Los segmentos determinados entre s y los puntos tangentes a la circunferencia son congruentes
3. El segmento determinado por el centro y el punto S es la bisectriz del ángulo determinado por las tangentes a a circunferencia.
Teorema 18
La medida de un ángulo semi inscrito es igual a la mitad de la medida de un arco interceptado
POLÍGONOS SEMEJANTES
Recordar...
Propiedades básicas de las fracciones
Definiciones
Razón: el cociente de dos cantidades expresada en la misma unidad de medida, se representa así:
a
b
c
d
y
Proporción: se presenta cuando dos fracciones son iguales, se representa así:
a
b
c
d
=
Segmentos proporcionales: si la razón de la medida de un segmento es igual a la razón de la medida de otros segmentos, entonces los cuatro segmentos son proporcionales
A
B
C
D
F
G
Si B y F dividen a AC y DG en segmentos proporcionales, entonces
AB
BC
DF
FG
=
NOCIONES
Teorema 1:
Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo y que corta los otros dos, divide a estos lados en segmentos proporcionales.
Teorema 2:
Teorema fundamental de la proporcionalidad:
Los segmentos determinados en dos rectas secantes por tres o mas paralelas son proporcionales
Teorema 3:
Recíproco del teorema 1.
Si una recta divide dos lados de una triángulo en segmentos proporcionales, es paralela al tercer lado.
La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Teorema 4:
Teorema 5:
Recíproco del teorema 4.
Si una recta pasa por el vértice de un triángulo y corta interiormente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo, entonces la recta es bisectriz del ángulo interior asociado a dicho vértice.
A
B
C
D
E
AD
DB
AE
EC
=
A
A
A
1
2
3
B
B
B
1
2
3
l
2
1
3
l
l
t
t
1
2
A
A
1
2
A
A
2
3
B
B
B
B
1
2
2
3
=
A
B
C
D
E
AD
DB
AE
EC
=
Si se cumple que
Entonces
DE
BC
A
B
C
D
AD
DB
CA
CB
=
Teorema 6:
Teorema 7:
La bisectriz de un ángulos exterior de un triángulo, que no es paralela al lado opuesto, divide exteriormente el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados
Recírpoco del teorema 6
C
B
A
M
AM
MB
CA
CB
=
SEMEJANZA ENTRE POLÍGONOS
Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes si:
Se puede establecer una biyección en la cual todos los lados asociados son respectivamente proporcionales.
Los lados asociados mediante esta correspondencia se denominan homólogos y el cociente se denomina razón de semejanza
Los ángulos formados por cada par de lados adyacentes del polígono son congruentes con los correspondientes a los determinados por sus respectivos homólogos en el otro polígono.
Los ángulos que se corresponden se denominan ángulos homólogos
C
A
B
D
E
Simbolo de semejanza ~
Teorema 8:
Dos polígonos semejantes son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente con su homólogo
Teorema 9:
Primer caso de semejanza de triángulos, caso Ángulo-Ángulo.
Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente congruentes, son semejantes
Corolarios
1. Toda recta que intercepta a dos lados de un triángulo y es paralela al tercero, determina un trángulo semejante al primero
2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo respectivamente congruente, son semejantes
3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes, estan en la misma razón que la de dos lados homólogos
4. Todos los triángulos equilateros son semejantes.
Segundo caso de semejanza de triángulos, Lado-Ángulo-Lado
Si dos triángulos tienen un ángulo congrente, comprendido entre lados respectivamente proporcionales, entonces son semejantes
Teorema 10:
Teorema 12:
Teorema 11:
Tercer caso de semejanza de triángulos. Caso Lado-Lado-Lado
Si los tres ladoss de un triángulo son respectivamente semejantes a los tres lados de otro triángulo, los dos triángulos son semejantes
Dos triángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares son semejantes
Si en un triángulo rectangulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces
Teorema 13:
i. Los dos nuevos triángulos que se originan son semejantes entre si y semejantes al triángulo inicial
ii. La altura es media proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa
iii. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre esta
Teorema 14:
Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
Teorema 15:
Recíproco del teorema 14: si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a suma de los cuadrados de los otros dos, entonces el triángulo es rectángulo.
Teorema 16:
En todo triángulo obtusangulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas el doble de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él
Teorema 17:
En todo triángulo obtusangulo, el cuadrado de un lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre el
Teorema 18
Teorema de Stewart
Teorema 19:
Si dos cuerdas de un a circunferencia se intersectan, el producto de las medidas de los segmentos determinados en una de ellas, es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra.
Axioma I-1:
a. Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la que pertenecen.
b. Por un punto pasa al menos una recta
Axioma I-2:
A toda recta pertenecen al menos dos puntos
Axioma I-3:
Dada una recta, existe al menos un punto en el espacio que no esta en la recta
Axioma I-4:
Tres puntos que no están en una misma recta determinan un plano y solo uno al que pertenecen
Axioma I-5
A todo plano pertenecen al menos tres puntos no colineales
Axioma I-6:
Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el plano
Axioma I-7:
Si dos planos diferentes se cortan su intersección es una recta.
De igual manera, si dos planos tienen un punto en común tienen un segundo punto en común
Axioma I-8:
Dado un plano, existe por lo menos un punto en el espacio que no está en el plano
"Determinación"
Definición 1:
Puntos colineales
Son puntos que están contenidos en la misma recta
Definición 2:
Puntos coplanares
Son puntos que están contenidos en el mismo plano
TEOREMA 1:
Si dos rectas distintas se intersectan, entonces su intersección es un punto único
P
l
k
TEOREMA 2:
Si dos rectas diferentes se intersectan, entonces existe un plano único que contiene a ambas rectas
P
l
k
TEOREMA 3:
Forma alterna de la determinación del plano
P
l
Si existe una recta y un punto que no pertenece a dicha recta, entonces existe un plano único que contiene a la recta y al cual pertenece el punto
Axioma II-1:
Relación "Estar entre" involucra tres puntos distintos e implica su colinealidad
Axioma II-2:
Dados dos puntos distintos A y C existe al menos un punto B sobre la recta AC tal que B esta entre A y C
Axioma II-3:
Dados dos puntos distintos A y C existe al menos un punto D sobre AC, tal que C esta entre A y D
Axioma II-4:
Dados tres puntos distintos de una recta uno y solo uno de ellos esta entre los otros dos.
Axioma II-5:
Si D esta entre A y C, y X esta entre D y C, entonces X esta entre A y C
Axioma II-6: Axioma de separación de la recta
Un punto cualquiera de una recta divide a todos los demás puntos en dos conjuntos no vacios.
A esto se le llama partición de la recta en conjuntos
Axioma II-7: Axioma de separación del plano
Cada recta contenida en un plano divide los puntos de este plano que no le pertenecen en dos conjuntos no vacíos.
Axioma II-8: Axioma de separación del espacio
Todo plano divide los puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no vacios.
Definición 3
Segmento
Es el conjunto formado por los puntos A y B y todos los puntos entre A y B
Notación:
AB o BA
Definición 4
Figura
Conjunto no vacío de puntos
Definición 5
Figuara convexa
Cuando para dos puntos cualquiera de ella, el segmento que determinan esta siempre incluido entre la figura
Convexa
No convexa
A
B
P
Q
TEOREMA 4:
la intersección no vacía de dos figuras convexas es también una figura convexa
Nota: La unión de dos figuras convexas puede o no ser una figura convexa. Se demuestra con un contraejemplo
P
A
B
TEOREMA 5
Si P es un punto sobre una recta y Q es un punto que no esta en dicha recta, entonces la semirrecta PQ esta contenida en : Q
l
l
l
P
Q
Corolario: La semirrecta que tiene su origen en el vértice de un ángulo no nulo y un punto en el interior de dicho ángulo, está contenido en el interior del ángulo
D
A
B
O
Definición 9
Ángulo
Conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen.
Ángulo nulo: si las semirrectas coinciden
Ángulo llano: si están sobre una misma recta
Notación: AOB, AOB, (OA, OB)
O
A
B
AOB
O
B
A
O
B
A
Definición 6
Ubicación de los puntos en la recta
Tomando como referencia un punto X, los demás puntos de la recta pueden estar a un mismo lado de x o en lados opuestos de X
Definición 7
Semirrecta
Sean A, O, B putos distintos pertenecientes a una recta . El conjunto de todos los puntos que estan en el mismo lado de A respecto a O, incluyendo el punto A se denominan semirrecta de origen O y que pasa por A.
Notación: OA
Definición 8
Semiplano
Dado el plano , contenido en , A que pertenece a y que a su vez no pertenece a
l
O
A
B
l
l
l
1.
: A Semiplano de frontera o borde en y que contiene a A
l
2.
: ~A Semiplano de frontera o borde en y que contiene a A
l
l
A
1.
2.
l
l
TEOREMA 6:
Dado un ángulo BAC, los puntos interiores del segmento BC están en el interior de dicho ángulo
C
A
B
D
TEOREMA 7:
Sean BAC un ángulo no nulo y no llano; D un punto interior a dicho ángulo. Si F es un punto tal que A está entre F y C, entonces los puntos B y F están en el mismo semiplano determinado por la recta AD
C
A
B
F
D
TEOREMA 8: Teorema de la barra transversal
Si D es un punto que está en el interior de BAC, entonces AD intersecta a BC
C
A
B
F
D
Axioma III.1: Axioma de la construcción del segmento.
Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C. Entonces existe en CE un único punto D tal que AB CD
Axioma III.2: Propiedades de los segmentos.
Propiedad reflexiva: cada segmento es congruente con sigo mismo, es decir, AB AB
Propiedad simétrica: Si AB CD, entonces CD AB
Propiedad transitiva: Si AB CD y CD EF entonces AB EF
Axioma III.3: Sean
A, B, C
putos de una recta
a
y
A´, B´, C
´ puntos de otra recta
b
, tales que
B
está entre
A
y
C
y
B
´ está entre

y

.
Si AB A´B´ y BC B´C´ entonces AC A´C´
Si AB A´B´ y AC A´C´ entonces BC B´C´
Axioma III.4: Axioma de la construcción del ángulo
Sea AOB no nulo y no llano, un plano cualquiera,
l
c , O´, B´pertenecen a
l
, uno de los semiplanos en que
l
separa al plano entonces, existe O´A´ y O´A´esta contenido en el semiplano , tal que AOB A´O´B´
1
Axioma III. 5: Propiedades de los ángulos.
Propiedad reflexiva: cada ángulos es congruente con sigo mismo es decir, AOB AOB
Propiedad simétrica: si AOB PQR, entonces PQR AOB
Propiedad transitiva: si AOB PQR y PQR MNS entonces AOB MNS
Axioma III.6: Adición y sustracción entre ángulos respectivamente congruentes.
Sean AOB, A´O´B´ no nulos y no llanos, OC c Int(AOB), O´C´ c Int(A´O´B´)

Si AOB A´O´B´ y AOC A´O´C´entonces BOC B´O´C´
Si AOC A´O´C´ y COB C´O´B´ entonces AOB A´O´B´
Axioma III.7: Axioma Lado - Ángulo - Lado (L-A-L).
Dos triángulos son congruentes si en uno de ellos existe dos lados y un ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruente a dos lados y un ángulo comprendido entre ellos del otro triángulo
Definición 10: Triángulo
Figura constituida por tres segmentos

Todo triángulo está contenido en un plano donde están contenidos sus puntos ABC c A,B,C
Vértice del triángulo: A, B, C
Lados del triángulo: AB, BC, CA
Ángulos del triángulo: BAC, ABC, ACB
Definición 11: Triángulos congruentes
ABC A´B´C´ si y solo si:
1. AB A´B´
2. BC B´C´
3. AC A´C´
4. C C´
5. A A´
6. B B´
A
B
C



TEOREMA 9
TEOREMA 10
TEOREMA 11: CASO ÁNGULO - LADO - ÁNGULO (A-L-A)
TEOREMA 12
TEOREMA 13
Sean
A, B, C tres puntos de una recta a
A´, B´, C´ tres putos de una recta b
AB A´B´ y AC A´C´

Si B está entre A y C, y B´ está al mismo lado de C´ con respecto a A´ entonces B´ está entre A´y C´
A
B
C



Sean:
OH, OK, OL con origen O
O´H´, O´K´, O´L´ con origen O´
OK, OL están al mismo lado de OH
O´K´, O´L´ están al mismo lado de O´H´
HOK H´O´K´ y HOL H´O´L´
Si OK c HOL entonces O´K´ c H´O´L´
O

H
K
L



Si un triángulo tiene un lado y sus ángulos adyacentes respectivamente congruentes al lado y los ángulos adyacentes de otro triángulo entonces ambos triángulos son congruentes
En todo triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son congruentes
Definición 12: Triángulo Isósceles
Definición 13:
A
B
C
P
Q
R
Es aquel que tiene dos lados congruentes
i. Ángulos adyacentes: tienen el mismo vértice, un lado en común y ninguno de los lados de uno está dentro del otro.
ii. Par Lineal de ángulos: son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes están en línea recta
iii. Ángulos opuestos por el vértice: comparten el mismo vértice y sus lados forman dos líneas rectas.
Si uno de los ángulos de un par lineal es congruente a uno de los ángulos de otro par lineal, entonces los otros dos ángulos son congruentes.
TEOREMA 14
Recíproco del teorema 12.
Todo triángulo que tenga dos de sus ángulos congruentes es isósceles
TEOREMA 15
Reúne los teoremas 12 y 14
Un triángulo es isósceles si y solo si dos de sus ángulos son congruentes
Corolario:
Un triángulo es equilátero si y solo si sus ángulos interiores son congruentes.

Tarea: demostrar este teorema
Definición 14: Triángulo equilátero
Es aquel que tiene todos sus lados congruentes
TEOREMA 16: LADO - LADO - LADO
(L-L-L)
Si un triángulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes
A
B
C
P
Q
R
Definición 15:
Ángulo recto
Si los ángulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama ángulo recto
TEOREMA 17
Existen ángulos rectos
TEOREMA 18
Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
Definición 16:
Triángulo rectángulo
Un triángulo se llama rectángulo si alguno de sus ángulos es recto
Definición 17:
Punto medio de un segmento
Sea AB no nulo. Si M pertenece al interior de AB y AM es congruente con MB entonces M es punto medio
A
M
B
TEOREMA 19: Perpendicular levantada
Por un punto de una recta dad pasa una y solo una perpendicular a dicha recta.
A
l
Definición 18: Bisectriz de un ángulo
Genera dos ángulos congruentes
Definición 19:
Perpendicularidad
Sean a y b dos rectas distintas. La recta a es perpendicular a b si a corta a b formando ángulo recto.
Definición 20:
Segmentos notables
Altura
Mediana
Bisectriz
TEOREMA 20
En un triángulo isósceles la mediana correspondiente a la base es altura, bisectriz y está contenida en la mediatriz del segmento correspondiente a la base
TEOREMA 20 A: Recíproco del 20
Si en un triángulo dos segmentos notables coinciden o un segmento está contenido en una recta notable entonces el triángulo es isósceles.
Definición 21:
Relación mayor que
Sean AB, PQ decimos que
AB > PQ, si existe S que pertenece al interior de AB, tal que PQ es congruente con AS
A
S
B
P
Q
i
Definición 21:
Relación mayor que
Sean AOB, PQR no nulos y no llanos, decimos que AOB > PQR, si existe OS que pertenece al interior de AOB, tal que PQR es congruente con AOS
A
S
B
P
Q
ii
O
R
TEOREMA 21: Relación de tricotomía para segmentos
Dados dos segmentos AB y CD siempre se cumple una de las siguientes relaciones
i. AB > CD
ii. AB < CD
iii. AB CD
IV. Axiomas de Continuidad
Arquímedes
TEOREMA 22: Propiedad transitiva
Sean AB < CD y CD < EF entonces
AB < EF
Corolarios:
1. Si AB CD y CD < EF entonces AB < EF
2. Si el segmento CD está contenido en el segmento AB, entonces CD < AB
Observación: los mismos teoremas 21 y 22, y corolarios aplican para los ángulos.
TEOREMA 23: Relación de tricotomía para ángulos
O de Medida
Axiomas de continuidad o de medida:
Permiten eligiendo una unidad lineal, asignar o definir, para cada segmento, un número real no negativo llamado longitud del segmento y posteriormente definir la existencia de otro segmento con una medida igual al segmento dado.
IV. 1 Axioma de Arquímedes
Sean AB y CD segmentos arbitrarios. Entonces, sobre una recta AB existen un número infinito de puntos A , A ,..., A situados de manera que A está entre A y A , A está entre A y A y así sucesivamente. Tales que los segmentos AA , A A , ...., A A son congruentes a CD y B está entre A y A .
1
2
n
1
2
2
1
3
1
1
2
n-1
n
n
A
A
A
A
B
A
C
D
1
2
n-1
n
m(CD)=1
IV. 2 Axioma de Cantor
Georg Cantor
Recíproco del axioma uno de continuidad
Definición 22: Desigualdad triangular
La suma de la medida de los catetos de un triángulo siempre es mayor que la medida de la hipotenusa.
PROCESO DE MEDICIÓN
Medida del segmento
Definición 23: La medida del segmento es una función que asigna a cada segmento un valor real no negativo
Observaciones:
i. Para un segmento CD, fijado arbitrariamente m(CD)=1
ii. m(AB) = m(A'B') si y solo si AB A'B' (Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida)
iii. Si B está entre A y C entonces m(AC) = m (AB)+m(BC)
iv. m(AB)=0 si y solo si A coincide con B
v. Todo segmento no nulo se puede dividir en n segmentos congruentes
vi. Si dos segmentos son congruentes, sus puntos medios determinan 4 segmentos congruentes con iguales medidas
vii. Si AB > PQ, entonces m(AB) > m(PQ)
Medida de ángulos
Definición 24: La medida de un ángulo es una función que asigna a cada ángulo un número real no negativo
Observaciones:
i. Para un ángulo PQR, fijado arbitrariamente mPQR=1 (PQR es llamado ángulo unitario)
ii. m ABC= m A'B'C' si y solo si ABC A'B'C'
iii. Si BAC y CAD son adyacentes entonces m BAC + m CAD = m BAD
iv. Todo ángulo no nulo se puede dividir en n ángulos congruentes
v. Si dos ángulos son congruentes al trazar su bisectriz se generan 4 ángulos congruentes
vi. Si AOB > PQR entonces m (AOB) > m (PQR)
vii. Si dos ángulos están haciendo par lineal su medida total es igual a la de un ángulo llano
viii. Unidades:
Grado sexagesimal
Radianes
Grado centesimal o gradianes
Revolución
Definición 25:
Los ángulos complementarios son aquellos que suman 90°

Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180°
TEOREMA 24
1. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes

2. Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes
Definición 26:
Sean , , C C
Decimos es II a y lo notamos
II si:
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
=
l
U
l
1.
2.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
= conjunto vacío
Definición 27:
Dados dos rectas cualquiera cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos internos aquellos que:
1. Tienen un segmento común
2. Sus interiores no se intersectan
3. No son adyacentes
TEOREMA 25
Los ángulos alternos internos son congruentes
Corolarios:
1. Si dos rectas cortadas por una secante forman ángulos correspondientes congruentes entonces son paralelas
2. Si dos rectas cortadas por una secante forman ángulos alternos internos congruentes entonces son paralelas
3. Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
Definición 28:
Ángulos exteriores a un triángulo:
Es todo ángulo que hace par lineas con cualquier ángulo interior.
TEOREMA 26
Teorema del ángulo exterior del ángulo:
Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cada uno de los ángulos interiores no adyacentes a él
Corolarios:
Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo recto pues los otros dos ángulos internos son agudos
TEOREMA 27
Perpendicular única bajada por un punto exterior a una recta dada.
P
l
Definición 29:
Distancia de un punto a una recta:
Es la medida del segmento perpendicular entre un punto y una recta.
TEOREMA 28
Paralela única generada por un punto exterior a una recta
P
l
TEOREMA 29: Lado-Ángulo- Ángulo (L-A-A)
Cuarto caso de congruencia de triángulos
TEOREMA 30:
Cuatro casos de congruencia del triángulo rectángulo
L-A-L cateto-ángulo recto-cateto


A-L-A ángulo-cateto-ángulo recto


L-L-L cateto-cateto-hipotenusa


L-A-A cateto o hipotenusa-ángulo . recto- ángulo
Corolarios: propiedades alternas a la bisectriz de un ángulo
i. Si un punto pertenece a la bisectriz de un ángulo, entonces dicho punto equidista de los lados del ángulo
ii. Si un punto que pertenece al interior de un ángulo, tiene la propiedad que equidista de los lados, entonces dicho punto pertenece a la bisectriz del ángulo
Caso adicional de congruencia de triángulos rectángulos
L-L-A
No es un caso general pero se cumple para triángulos rectángulos
QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES
Si dos rectas l y l se cortan con una secante t y forman con ella en el semiplano con borde t que contiene a Q, dos ángulos interiores cuya suma sea menor que 180°, entonces las dos rectas se cortan en algún punto del semiplano.
1
2
beta
alfa
alfa + beta <180°
Teorema 31: Paralela única de Playfair
Por un punto exterior a una recta dada pasa una paralela a la recta y solo una
Teorema 32:
Si dos rectas distintas son paralelas, entonces toda secante que corte a una de ellas corta a la otra
l
s
t
TEOREMA 33:
El paralelismo de rectas es una relación de equivalencia:
i. Reflexiva
ii. Simétrica
iii. Transitiva
TEOREMA 34:
Si dos rectas distintas son paralelas, entonces toda recta perpendicular a una de ellas es paralela a la otra, siempre y cuando las tres sean coplanares.
TEOREMA 35:
Recíproco del teorema de ángulos alternos internos congruentes.
Si dos rectas distintas son paralelas entonces los ángulos alternos internos, determinados por cualquier secante a ellas son congruentes
Corolario
Dos rectas perpendiculares a dos rectas que se cortan también se cortan
Corolarios:
1. Si dos rectas distintas son paralelas, entonces los ángulos alternos externos determinados por cualquier secante común son congruentes
2. Si dos rectas distintas son paralelas, entonces los ángulos correspondientes determinados por cualquier secante común son congruentes
TEOREMA 36:
Si dos ángulos coplanarios tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendiculares, entonces ellos son congruentes o suplementarios.
Suplementario
Congruente
TEOREMA 37:
Si dos rectas distintas y paralelas se intersectan en otras dos rectas distintas y paralelas, entonces los segmentos opuestos son respectivamente congruentes
Corolario
La distancia entre dos retas paralelas es siempre constante
TEOREMA 38:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°
Corolarios
1. Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes
2.En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90°
3. Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes, entonces los otros ángulos son respectivamente congruentes.
TEOREMA 39: Paralela media
i. El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida su mitad
ii. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado, dicha paralela biseca al otro lado.
· En todo triángulo rectángulo, la mediana asociada a la hipotenusa, es igual a la mitad de la hipotenusa.
· Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de medida 60º si y solo si un cateto es igual a la mitad de la hipotenusa.
Corolarios
TEOREMA 40:
Si el pie de la mediana de un triángulo equidista de los tres vértices, entonces, el triángulo es rectángulo.
TEOREMA 41: Propiedades de los puntos notables de un Triángulo
1. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior del triángulo llamado Incentro. Este punto equidista de los tres lados del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

2. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior del triángulo llamado Baricentro. Este punto se encuentra sobre cada mediana, a un tercio del lado sobre el cual incide y a dos tercios del vértice.

3. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. (no necesariamente pertenece al interior del triángulo). Este punto equidista de los tres vértices del triángulo.

4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado Ortocentro. (no necesariamente pertenece al interior del triángulo).
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