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TRIGONOMETRIA - BÁSICO

Conceitos básicos em trigonometria
by

Filipe Amaral

on 5 March 2014

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Transcript of TRIGONOMETRIA - BÁSICO

TRIGONOMETRIA
GEOMETRIA
FILIPE AMARAL
2013
filipeamaral75@gmail.com
INTRODUÇÃO
A trigonometria é um ramo da geometria que estuda relações e razões entre lados e ângulos de figuras geométricas.
O ponto de partida para o estudo da trigonometria é o triângulo retângulo, por ser uma figura elementar.
Pré-requisitos
Ângulo
Definição:
Um ângulo é uma superficie delimitada por duas semiretas com a mesma origem
Pré-requisitos
Medida angular - amplitude
Definição:
A amplitude de um ângulo é uma medida que indica a posição relativa entre as duas semi-retas.
Pré-requisitos
Triângulo Retângulo
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES
Ao cateto 1 chama-se cateto adjacente e ao cateto 2 oposto.
MEDIDAS DE AMPLITUDE
A amplitude de um ângulo pode ser medida em vários tipos de unidades.
Graus
Radianos
º
RAD
A hipotenusa será sempre o lado que ocupa a posição em frente ao ângulo reto.
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES
SENO DE UM ÂNGULO
EXEMPLO
Considere o ângulo α
Como determinar o valor desconhecido no triângulo?
Usando a razão
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES
COSENO DE UM ÂNGULO
EXEMPLO
Como determinar o valor desconhecido no triângulo?
Usando a razão
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES
TANGENTE DE UM ÂNGULO
EXEMPLO
Como determinar o valor desconhecido no triângulo?
Usando a razão
TRIGONOMETRIA
EXERCÍCIOS
TRIGONOMETRIA
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTARES
RESUMO
#1
Uma empresa de parques infantis vai instalar um balancé idêntico ao da imagem ao lado.
A altura máxima de segurança para o balancé na posição indicada é de 2m. Verifica se essa altura foi respeitada.
RESOLUÇÃO
TRIGONOMETRIA
EXERCÍCIOS
#2
Aristarco de Samos foi o primeiro matemático / astrónomo a determinar a dimensão da distância da Terra ao Sol.
RESOLUÇÃO
Para determinar esta distância Aristarco esperou pelo momento em que a Lua estaria 50% iluminada, para que assim formasse com o Sol e a Terra um Triângulo Retângulo e medio, com o auxílio de um aparelho de medida angular a amplitude do ângulo LTS.
A distância da Terra ao Sol é cerca de 19 vezes a distância da Terra à Lua.
Atualmente, sabe-se que esta estimativa está longe da verdade, mas essa diferença deve-se sobretudo por considerar a Terra a Lua e o Sol pontos de um triângulo.
TRIGONOMETRIA
EXERCÍCIOS
#3
Um avião voa a 2000 metros de altitude quando inicia a sua manobra de aterrajem.
O avião desce segundo um ângulo de π/10

A que distância deve estar a pista para que o avião aterre com segurança?
RESOLUÇÃO
Pretende-se determinar o valor da distância avião-pista(A) que corresponde à hipotenusa do triângulo.
FÓRMULA FUNDAMENTAL
TRIGONOMETRIA
Observando novamente a figura e as respetivas razões trigonométricas deduzidas anteriormente, considerando o ângulo α da figura:
Por outro lado pelo Teorema de Pitágoras:
LEI DOS SENOS
TRIGONOMETRIA
Considere-se um triângulo qualquer e os seus respectivos ângulos internos
LEI DOS SENOS

LEI DOS COSENOS
TRIGONOMETRIA
Considere-se um triângulo qualquer e os seus respectivos ângulos internos
LEI DOS COSENOS

TRIGONOMETRIA
EXERCÍCIOS
#4
Um terramoto tem epicentro a 360km da capital do Japão que fica a 320km da cidade de Sendai.
O ângulo α é 20º.
Determine a distância entre o Epicentro e a cidade de Sendai.
RESOLUÇÃO
Aplicando a lei dos cossenos:
TRIGONOMETRIA
EXERCÍCIOS
#5
Três cidades A, B e C encontram-se distanciadas conforme a imagem ao lado.
Determine a distância a cidade B e C.
RESOLUÇÃO
Aplicando a lei dos senos:
Grandes Portugueses
PEDRO NUNES
Pedro Nunes é um dos maiores matemáticos portugueses da História e, provavelmente, o maior da Antiguidade e encontra-se representado no maior monumento de homenagem aos conquistadores portugueses.
Entre muitos outros achados de Pedro Nunes, o Nónio é um instrumento desenvolvido para ser usado na navegação para determinação de amplitudes angulares.
NÓNIO
QUADRANTE
Tal como o Nónio de Pedro Nunes, o quadrante é um aparelho de medida que permite determinar amplitudes de ângulos.
Os "descobrimentos" (ou achamentos)
obrigaram ao desenvolvimento deste tipo de instrumentos (e muitos outros) que se revelavam, absolutamente, cruciais para o sucesso da campanha.
O QUE É, AFINAL, UM QUADRANTE?
QUADRANTE
Um quadrante é, no fundo, um quarto de círculo agrupado a um sistema de medida, que permite determinar a amplitude do ângulo formado pelo observador, a horizontal e o objeto.
De uma forma simples, permite determinar alturas recorrendo a razões trigonomtricas.
PROJETO:
1- CONSTRUÇÃO DE UM QUADRANTE
2 - DETERMINAÇÃO DE ALTURAS RECOORENDO AOS QUADRANTES
PROJETO:
CONSTRUÇÃO DE UM QUADRANTE
MATERIAL:
Cartão duro (ou madeira fina)
Papel.
Fio de pesca (ou fio de norte)
Peso (por exemplo uma anilha de ferro)
Palhinha
Cola
PROJETO:
CONSTRUÇÃO DE UM QUADRANTE
CONSTRUÇÃO:
PROJETO:
DETERMINAÇÃO DE ALTURAS RECOORENDO AOS QUADRANTES
CONSTRUÇÃO:
Recorta-se o cartão com a forma de um quadrado [ABCD] com cerca de 20cm de lado e a mesma figura num papel.
Em seguida desenha-se um sistema de eixos XOY, deixando um rebordo com cerca de 3cm
CONSTRUÇÃO:
Com a ajuda de um transferidor e de um compasso desenha-se o quarto de círculo no papel e cola-se este a uma das faces do cartão.
CONSTRUÇÃO:
Cola-se a palhina, que servirá de mira, num dos bordos, faz-se a graduação do quarto de círculo com a ajuda do transferidor.
Com um objeto perfurante (por exemplo a ponta do compasso) faz-se um furo na origem do sistema de eixos e prende-se o fio com o peso nesse ponto.
O quadrante será finalizado acrescentando pequenos ao nível da graduação, pormenores de cor, pormenores de ornamentação, etc.
O quadrante deverá ficar com um aspeto semelhante ao da figura.
Depois de construido o quadrante será testado o seu funcionamento através da medida das alturas de dois edifícios
1- Altura do edifício da junta de freguesia de Vermoim
Como determinar a altura do edifício da junta de freguesia de Vermoim recorrendo ao Quadrante?
1º - O observador afasta-se da base do edifício 10 passos correspondentes a um deslocamento horizontal de cerca de 10 metros
2º - Mira-se o topo do edifício com o quadrante e regista-se a leitura ângular.
1- Altura do edifício da junta de freguesia de Vermoim
O problema reduz-se a uma resolução triângular.
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