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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orde

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by

Laura Vallejo

on 23 December 2015

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Transcript of Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orde

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
Movimiento amortiguado
Describe la siguiente ecuación
Movimiento forzado
En este caso se considera que una fuerza externa f(t) actua sobre una masa vibrante en un resorte.
Dividiendo la ecuación anterior
entre la masa (m), se encuentra la ecuación
diferencial del movimiento libre amortiguado:
Segunda ley de Newton
La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre el mismo

Movimiento libre amortiguado
Este movimiento es netamente ideal, ya que no se considera la resistencia del aire ni aplicación de una fuerza adicional.
Ley de Hooke
como en este movimiento consideramos netamente ideal a=0

dividimos para la masa
donde:

polinomio característico:
Periodo
Frecuencia
tiempo en que demora dar una oscilación completa
El numero de ciclos completado cada segundo

Forma alternativa de x(t)

Donde:
A es amplitud
es ángulo de fase
Amplitud
Se define como la elongación máxima
Caso 1
Debido a que el coeficiente de amortiguamiento (β) posee un valor mayor que la constante del resorte (k). La solución al sistema es:

Donde:
El polinomio característico es:

Caso 2
Si existe cualquier ligera disminución en la F de amortiguamiento se puede dar un mov. oscilatorio, por esta razón se conoce como sistema críticamente amortiguado.
Caso 3
Debido a que el coeficiente de amortiguamiento es de menor valor que la constante de elasticidad del resorte, incluyendo ahora raíces complejas siendo la solución de la ecuación la siguiente:

La solución general esta dada por la
siguiente ecuación:
Donde:
Ecuación Diferencial de movimiento forzado sin amortiguamiento

En este tipo de ecuaciones no hay termino transitorio en la solución del problema
Resonancia Pura
En la ecuación general para el movimiento forzado
Circuito en serie análogo
también se lo llama circuito de segundo orden, puesto que aplica la ecuación de Kirchhoff.
Tipos de circuitos
Caso 1: Sobreamortiguado

Ecuaciones para la carga q y la corriente i

aplicando la segunda ley de Kirchhoff
Como:
Cuando las vibraciones eléctricas del circuito son libres entonces E(t)=0, por lo que se tomara en cuenta la siguiente ecuación.

Caso 2: Criticamente amortiguado

Caso 3: Subamortiguado

Si un circuito no tiene condensador, la ecuación sera:

Si el circuito tiene inductor la ecuación sera:

Aplicación en la ingeniería mecánica
MODELAMIENTO DE SISTEMAS VIBRATORIOS - Método de Balance de Fuerzas

Realizamos el diagrama de cuerpo libre del resorte:
Según la geometría del movimiento tenemos:
Derivamos respecto al tiempo:

Realizamos el diagrama de cuerpo libre del amortiguador:
Reemplazamos los valores de velocidad y aceleración angular:

Una vez obtenida la ecuación diferencial procedemos a dar valores ya que este es un modelo general para cualquier sistema vibratorio que tenga similares características:

Datos
Reemplazamos datos:

Solución
Integrantes: Jennifer Muñoz, Erika Muñoz, Andrea Pumisacho, Esteban Sandoval, Miguel Tupiza, Laura Vallejo.
NRC: 1116
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