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Algoritmo Karatsuba

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by

Carlos Vega

on 7 April 2014

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Transcript of Algoritmo Karatsuba

En general...
Introducción
El algoritmo Karatsuba es un algoritmo de multiplicación rápida. Fue inventado por
Anatolii Alexeevitch Karatsuba
en
1960
y publicado en
1962
.


Reduce la multiplicación de dos números
de n dígitos, como máximo, multiplicaciones de un dígito en general.
Multiplicación de enteros grandes
La técnica “divide y vencerás”:
Descomponer el problema en cierto número de
subproblemas
más pequeños del mismo tipo y resolverlos de forma independiente para despues
combinar
las soluciones obtenidas para obtener la solución del problema original.

Características
El problema se puede descomponer en otros del mismo tipo pero más pequeños.
Los subproblemas resolverse de manera independiente.
La solución final se puede expresar como combinación de las soluciones de los subproblemas.
Si sus operandos (a, b, c, d) son:

“pequeños”:
entonces se multiplican de la forma clásica.


“suficientemente grandes”
se aplica de nuevo la descomposición anterior, y calculamos recursivamente las multiplicaciones de los respectivos sumandos

Multiplicación de Enteros de n cifras
1. Dividir
Dado que se necesitan realizar cuatro multiplicaciones de tamaño mitad, no se mejora el tiempo de ejecución respecto a los algoritmos clásicos. Para intentar reducirlo, es preciso evitar alguna de esas multiplicaciones.

La clave de la mejora consiste en advertir que no es necesario calcular
ad y bc
, si no la suma de ambos. Así, se considera

(a + b)·(c + d) = ac + (a·d + b·c) + b·d
,
con los que las multiplicaciones a realizar son:
p = b·d
q = a·c
r = (a + b)·(c + d)
hallando la suma de la siguiente forma:
(a·d + b·c) = r – p -q

Algoritmo Karatsuba
Ramírez Dorantes Alexis Adrián
Piña Márquez Zeltzin
Torres Rodríguez Esteban Alberto
Vega Bocanegra Carlos

3CM5
Algoritmo divide y vencerás simple
2. Combinar
Código...

(4 llamadas
recursivas)
Análisis...
Complejidad T(n)=4T(n/2)+n => T(n)=O(n^2)
Consideraciones
Si X y Y son de distinta longitud (m y n respectivamente, con m < n), entonces:

Si no difieren en más de un factor de 2, se rellena el operando más pequeño con ceros no significativos e igualar las longitudes.

Pruebas...
Método general “divide y vencerás”








Ejemplo: Multiplicar 12345678 x 24680135
A continuación....
x = 5678
y = 1234
a = 56
b = 78
c = 12
d = 34
Paso 1: ac =
672

Paso 2: bd =
2652

Paso 3: (a+b)(c+d): 134*46 = 6164

Paso 4: P3 - P2 - P1 =
2840
672
0000

2652
28400
00
+
7006652
ac * 10^n + (ad + bc)*10^n/2 + bd
Pseudocódigo (3 llamadas recursivas)
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