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Cálculo

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by

Marcos Alfred Brehm

on 5 October 2016

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Transcript of Cálculo

Cálculo
y=x*sin(x^2)+1


y=2*x*(cos (x^2))*x + sin (x^2)
1665 e 1666
Montesquieu
(Charles-Louis de Secondat, barão de La Brède e de Montesquieu) (1689-1755), filósofo francês. Defendia a ideia de que o governo deveria ser exercido por

três poderes independentes (Legislativo, Executivo e Judiciario)
, a qual exerceu importante influência sobre diversos textos constitucionais modernos e contemporâneos. Escrito mais importante:
Do Espírito das Leis
(1748).
"A ignorância é a mãe das tradições"
"A injustiça que se faz a um é uma ameaça que se faz a todos"


Voltaire
(pseudónimo de François-Marie Arouet) (1694-1778), Notabilizou-se pela sua
oposição ao pensamento religioso e pela defesa da liberdade intelectual
. Um polemista satírico, ele frequentemente usou suas obras para criticar a Igreja Católica e as instituições francesas do seu tempo.Escritos mais importantes:
Ensaio sobre os costumes
(1756);
Dicionário Filosófico
(1764)
"O povo não lê nada. O povo trabalha seis dias por semana e no sétimo vai ao prostíbulo."


Benjamin Franklin
(1706-1790), político, cientista e filósofo estadunidense. Participou ativamente dos eventos que levaram à independência dos Estados Unidos e da elaboração da constituição de 1787.

"Aqueles que abrem mão da liberdade essencial por um pouco de segurança temporária não merecem nem liberdade nem segurança"
Jean-Jacques Rousseau
(1712-1778), filósofo suíço. Era favorável à participação do povo na vida pública, por meio da eleição de seus representantes políticos.
Defendia a necessidade de reformas sociais, e criticava a nobreza e a burguesia.
Escrito mais importante:
Do Contrato Social.
"O homem verdadeiramente livre apenas quer o que pode e faz o que lhe agrada."
Denis Diderot
(1713-1784), filósofo francês. Elaborou juntamente com D'Alembert a "
Enciclopédia ou Dicionário racional das ciências, das artes e dos ofícios
", composta de 33 volumes, com o propósito de sintetizar os principais conhecimentos acumulados pela humanidade. Também se dedicou à teoria da literatura e à ética trabalhista.
"Coisas das quais nunca se duvidou, jamais foram provadas."
"Apenas há um dever: o de sermos felizes."

Adam Smith
(1723-1790), economista e filósofo escocês. O seu escrito mais famoso é
A Riqueza das Nações
em que ele propunha o fim dos monopólios e da política mercantilista.
"A riqueza de uma nação se mede pela riqueza do povo e não pela riqueza dos príncipes."

Immanuel Kant
(1724-1804), filósofo alemão. Fundamentou sistematicamente a
filosofia crítica
, tendo realizado investigações também no campo da
física teórica e da filosofia moral.
"Faça de maneira que a máxima de tua vontade possa ser o tempo todo princípio de uma lei geral."
"Entendo por razão, não a faculdade de raciocinar, que pode ser bem ou mal utilizada, mas o
encadeamento das verdades que só pode produzir verdades
, e uma verdade não pode ser contrária a outra."
"Se vi mais longe foi por estar de pé sobre ombros de gigantes."
Fritz
, que
completa 48 anos hoje
, come religiosamente
5 rollmops por dia
, sempre após as refeições,
desde seus 4 anos
, quando experimentou o petisco pela primeira vez.
Seu filho
Hans
, que coincidentemente
completa 14 anos hoje
, aprecia ainda mais o rollmops: come religiosamente
9 rollmops ao dia desde que completou 8 anos de idade
, quando provou a iguaria pela primeira vez.

1.1 Quantos rollmops Fritz comeu durante a vida até hoje?
1.2 Quantos rollmops Hans comeu durante a vida até hoje?
1.3 Qual é a taxa de ingestão de rollmops de Fritz? Use a unidade: rollmops / semana.
1.4 Qual é a taxa de ingestão de rollmops de Hans? Use a unidade: rollmops / semana.
1.5 Qual é a função F(s) que representa a quantidade total de rollmps já comidos durante a vida de Fritz a cada semana, iniciando a partir de hoje?
1.6 Qual é a função H(s) que representa a quantidade total de rollmps já comidos durante a vida de Hans a cada semana, iniciando a partir de hoje?
1.7 Quantos anos terão se passado até que Hans tenha comido mais que Fritz?

1 ano = 52,14 semanas




1.1 80300
1.2 19710
1.3 35
1.4 63
1.5 F(s) = 35s + 80300
1.6 H(s) = 63s + 19710

1.7
F(s) = H(s)

35s + 80300 = 63s + 19710
s = 2163,928571 semanas
Aprox. 41,5 anos

CUSTO MARGINAL
é a mudança no custo total de produção advinda da
variação em uma unidade da quantidade produzida
.

RECEITA MARGINAL
é a mudança na receita total de produção advinda da
variação em uma unidade da quantidade produzida
.

DERIVAÇÃO
É possível usar o conceito de derivada para encontrar facilmente as funções de custo marginal
C'(q)
e receita marginal
R'(q)
a partir das funções de custo
C(q)
e de receita
R(q)
onde
'q' é a quantidade de unidades produzidas.


Como a função
Lucro L(q)
é dada pela função de receita R(q) menos a função de custo C(q), temos que:
L(q)
=
R(q)
-
C(q)

Usualmente
há um ponto onde o lucro será máximo nesse tipo de função
, e para encontrar este ponto pode-se derivar a função
L(q) e fazer L'(q)=0

Como
L'(q)
=
R'(q)
-
C'(q)
quando
L'(q)=0
temos 0 =
R'(q)
-
C'(q)
Logo, usualmente o lucro será máximo quando o custo marginal igualar o custo marginal, ou seja:
R'(q)
=
C'(q)


Um fabricante determinou suas funções de
Receita R(q)
e de
Custo C(q)
em função da
quantidade produzida 'q'
, em unidades de um certo produto, conforme a seguir. A partir destas informações, responda as perguntas a seguir.

1) Determine a função L(q) que fornece o lucro a partir da quantidade produzida 'q'.


2) Determine a função R'(q), que representa a receita marginal para a quantidade produzida 'q' e indique a unidade de medida.


3) Determine a função C'(q), que representa o custo marginal para a quantidade produzida 'q' e indique a unidade de medida.


4) Determine a função L'(q), que representa o lucro marginal para a quantidade produzida 'q' e indique a unidade de medida.



6) Trace as funções de
receita marginal R'(q)
e de
custo marginal C'(q)
no mesmo sistema cartesiano, indicando a coordenada do ponto onde a função
R'(q)
cruza com a função
C'(q).



7) Trace as funções de lucro
L(q),
de receita
R(q)
e de custo
C(q)
no mesmo sistema cartesiano, indicando as coordenadas do ponto onde a função de
R(q)
cruza com a função
C(q)
e do ponto onde a função
L(q)
é igual a zero.
1. É possível usar o conceito de
anti-derivada
para encontrar facilmente as
funções de
custo
e
receita
a partir das funções de
custo marginal
e de
receita marginal.

Um fabricante estima que a sua
receita marginal
é
R'(q)
reais quando o nível de produção é
'q' unidades.
O
custo marginal
correspondente é dado por
C'(q).
O
lucro do fabricante é de R$ 735
quando o nível de produção é
de 26 unidades.
Dadas as funções a seguir, responda as perguntas.

7) Determine qual será a quantidade de peças produzidas para que o lucro seja máximo.

3) Calcule L(12), ou seja, o lucro para uma produção de 12 unidades.

4) Calcule L(15), ou seja, o lucro para uma produção de 15 unidades.

5) Calcule L(24), ou seja, o lucro para uma produção de 24 unidades.

6) Calcule L(27), ou seja, o lucro para uma produção de 27 unidades.
1) Determine o lucro quando a produção é de zero unidades.

2) Determine a função L(q) que expressa o lucro do fabricante quando a produção é de 'q' unidades.
L'(q)=0 (máximo)
quando q=18,52

Antiderivadas

Por exemplo, suponha R$12 são distribuídos entre cinco pessoas da seguinte forma:

duas pessoas recebem R$3
três pessoas recebem R$2
Neste cenário,

Um grupo dos 20% das pessoas (mais pobres) recebem R$2, ou 16,7 % da riqueza
Um grupo dos 40 % das pessoas (mais pobres) recebem R$ 4, ou 33,3 % da riqueza
Um grupo dos 60 % das pessoas (mais pobres) recebem R$ 6, ou 50 % da riqueza
Um grupo dos 80 % das pessoas (mais pobres) recebem R$ 9, ou 75 % da riqueza
Um grupo dos 100% (total) recebe os R$12,
ou 100 % da riqueza


Uma distribuidora estoca
4394
caixas de seu principal produto para as vendas de natal. Em geral, as vendas são baixas no início do mês de dezembro e à medida que se aproxima o
dia 24
, as vendas aumentam de tal modo que no dia 'x' de Dezembro o estoque é dado por:






1) Qual será o estoque no dia 7 de Dezembro?

2) Em que dia de Dezembro o estoque será de zero unidades?

3) Encontre o domínio da função e(x) no mês de Dezembro.
4) Determine o número médio de caixas disponíveis no período do dia primeiro de Dezembro ao dia 7 de Dezembro.

5) Determine o número médio de caixas disponíveis no período do dia 8 de Dezembro ao dia 13 de Dezembro.
6) Determine o número médio de caixas disponíveis no período do dia primeiro de Dezembro ao dia 13 de Dezembro.


A Curva de Lorenz foi desenvolvida pelo economista estadunidense
Max O. Lorenz em 1905
e é um
gráfico
usualmente utilizado para
representar a distribuição de renda de um conjunto de pessoas
de uma região, de determinada profissão, etc.
A curva é traçada considerando-se a
percentagem acumulada das pessoas menos remuneradas no eixo 'x'
e a
percentagem acumulada de renda total no eixo 'y'.
O Coeficiente de Gini foi desenvolvido em
1912 pelo italiano Corrado Gini
, e consiste em um
número entre 0 e 1
, onde
0 corresponde à completa igualdade
(toda a população recebe o mesmo salário) e
1 corresponde à completa desigualdade
(uma pessoa recebe todo a riqueza e as demais nada recebem).
É possível chegar ao Índice de Gini a partir de uma curva de Lorentz qualquer L(x) usando a equação abaixo.
Dadas as curvas de Lorentz:

A(x)=0,7x³+0,3x²
(fornece a distribuição de riqueza do país 'A')

B(x)=0,9x²+0,1x
(fornece a distribuição de riqueza do país 'B'),

Calcule os coeficientes de Gini e indique qual país é menos desigual.
O coeficiente de Gini do país 'A' é de 0,45 e o coeficiente de Gini do país 'B' é de 0,3. Portanto o país 'A' é mais desigual.

+C
Aplicação da
integral definida
Aplicação da
integral definida
Aplicação da
integral definida
Aplicação da
integral definida
onde
TEOREMA
FUNDAMENTAL
DO CÁLCULO
Outras propriedades
Aplicação da integral definida
MÉDIA
(entre
a
e
b
)
=
+C
Derivadas e Integrais
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