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MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON

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by

Franklin Vega Hidalgo

on 5 July 2012

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Transcript of MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON

UNIDAD: ANÁLISIS NÚMERICO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
MÓDULO VIII "B"

TEMA:
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
AUTORES:
GABRIELA PARDO C.
CARLOS SALAS M.
FRANKLIN VEGA H.

DOCENTE:
ING. MARCO OCAMPO
El método de Isaac Newton fue descrito en dos publicaciones: en De la realización del análisis por terminorum Infinitas numero aequationes (escrita en 1669 , publicado en 1711 por William Jones ) y en De fluxionum metodis et infinitarum serierum (escrita en 1671 , traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson ).
HISTORIA:
Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.
El método de Newton es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones de una variable
QUÉ ES EL MÉTODO NEWTON-RAPHSON ?
ALGORITMO
La determinación de la fórmula que define el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación F(x)=0, puede hacerce de otra manera mucho más simple, pero menos intuitiva y con una pérdida del significado del método.
Aceptando que la función F(x) tiene derivadas de todas las órdenes en el intervalo que contiene a X0,X1,X2,X3,...Xn, a se puede desarrollar la función en series de potencias por medio de la fórmula de Taylor* usando esta fórmula para obtener el valor F(Xn+1) en términos de la función F(x) y sus derivados en Xn se tiene que:
Admitiendo que Xn+1 es un valor aproximado de la raíz a, se puede escribir que:
DETERMINACIÓN DE LA FÓRMULA
Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia.

Existen casos en los que f´ (x)=0, en los cuales se tendrá una error de división por cero, y no se podrá proceder.

Existen ecuaciones que son bastante complejas. No es posible resolverlas algebraicamente, para lo cual se debe usar un método numérico. El método de Newton-Raphson es la manera más fácil y fehaciente de resolverlas, aunque las ecuaciones y sus derivadas puedan parecer realmente intimidantes.
PROBLEMA
DETERMINACION DE LA FORMULA
DIAGRAMA DE FLUJO
Introducir la ecuación a resolver f(x)
Introducir la derivada de la función a resolver f ‘ (x)
Introducir el máximo número de iteraciones Nmax
Introducir el valor máximo del error porcentual aproximado Tmax.
Seleccionar una aproximación inicial cercana a la raíz xi
Inicializar el contador i=1
Mientras que i <= Nmax continuar los pasos 8 al 11
Calcular la aproximación a la raíz mediante la ecuación predictiva de Newton–Raphson
Calcular el error porcentual aproximado
Verificar que se cumpla la condición |ep| <= Tmax. Si se cumple, entonces se ha encontrado la aproximación final, ir al paso 13 de lo contrario continuar.
Hacer i = i+1
Verificar si se cumple la condición i<= Nmax. Si después de Nmax iteraciones no se ha cumplido que |ep| <= Tmax, el método ha fracasado. Terminar la ejecución del algoritmo.
Imprimir los resultados
LOJA - ECUADOR
2012
EJERCICIO
El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados.

El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.

El método no puede ser utilizado para los casos en que f´(x)=0

La eficiencia del método depende del valor inicial elegido.
Son muy variadas las aplicaciones del método de Newton. Este método se puede usar para aproximar las soluciones complejas de una ecuación polinomial de grado n>=2.

Otra aplicación para destacar está en la solución de problemas de flujos de potencia en ingeniería eléctrica. También se encuentran aplicaciones mecánicas en la solución de ecuaciones que determinan la posición en la dinámica de un mecanismo o sistema.
UTILIDAD
Entonces:
Considerando únicamente los dos primeros términos de la serie se tendrá que:
Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1727 ) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiaenaturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y laóptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES
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