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Matematica financiera para dummies

Explicar como se utiliza en la cotidianidad de cualquier persona la matematica financiera
by

Luz Sánchez

on 22 September 2014

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Transcript of Matematica financiera para dummies

Y qué es eso
de matemática financiera?
Valores presente y futuro
Interés
Compuesto

Matemáticas Financieras
Para Dummies

Notes
Elaborado para la
materia matematica
financiera- Profesor
Villafane
Realizado por
Luz Sánchez
Anualidades
(cc) photo by Metro Centric on Flickr
(cc) photo by Franco Folini on Flickr
(cc) photo by jimmyharris on Flickr
(cc) photo by Metro Centric on Flickr
Las matemáticas financieras nos permiten determinar el cambio que sufre el dinero en el tiempo combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.

Principalmente debes entender que este tema nos afecta de manera directa y es necesario verificar qué valor se esta pagando al final del crédito, ya que muchas veces no tenemos idea de cuánto fue lo que terminamos pagando.
Es necesario que tengas en cuenta lo siguiente:
S
: Valor futuro
P
: Valor presente (Capital)
i
: tasa de interes
n
: tiempo
I
: Interés
Es utilizado principalmente por las entidades
financieras, ya que capitaliza los intereses devengados
en el periodo inmediatamente anterior, esto quiere decir
qie los intereses obtenidos en un periodo, ganan intereses en el periodo siguiente, y por esta razon se habla de interes sobre interes, lo que financieramente se conoce con el nombre de capitalizacion.


S=p (1+i) n
Interés compuesto
Valor Presente
Una persona tiene una obligacion para cancelar durante
2 años y medio (30 meses) por valor de $629.270 con una tasa de interes de 2.5% efectivo mensual. Si esta persona desea cancelar la deuda hoy ¿ cual es el valor de este pago?
Lo primero que debemos hacer es diferenciar cada una de las variables que anteriormente habiamos mencionado

S= $629.270
i= 2.5 % Efectivo Mensual
n= 30 Meses
P=
En este caso hallaremos el valor presente, con la formula de VP

VP= S (1+i) -n
VP=629.270 (1+0.025)
P= $300.000
Ejemplo:
Agradecimientos
details
Gradientes
2
1
3
5
El interes simple:
Los intereses devengados en el periodo no ganan interes en el periodo siguiente. Es la tasa de interes que al final de cada periodo se aplica únicamente sobre el capital inicial

Por ejemplo:
Debemos suponer que un vecino nos hizo el favor de prestarnos $1.000.000 y te dice que le debes pagar un interés del 6% mensual prestado por 5 meses.

En este caso tomamos el valor total del prestamo y lo multiplicaremos por el interes y luego lo multiplicaremos por el número de meses (1.000.000*0.06)*5= 300.000. (S*i)*n

Durante estos 5 meses tu vecino gano $300.000 solo por prestarte el dinero, lo cual le genero a él un rendimiento del 30% .
¿Qué es la tasa de Interes?
Corresponde a la renta que se paga por el uso del capital durante un determinado tiempo.
Las tasas de interés pueden estar expresadas en términos nominales o efectivos, esta expresada por la letra (i)
Periodos
Mensual
Bimensual
Trimestral
Semestral
Diaria
Cantidad
12
6
4
2
360
Debes recordar los periodos
de capitalizacion
Equivalencia de tasas
Dos tasas son equivalentes cuando con diferentes periodos de conversión nos producen el mismo rendimiento
Tasa de interés compuesta nominal (j)
¿Sabes que significa la palabra nominal?
Se define como; pretendida, sostenible o profesada y no es una tasa real ya que esta no tiene en cuenta factores como el valor del dinero en el tiempo, por esta razón es necesario que se deban convertir todas las tasas en efectivas con el fin de reflejar en forma precisa combinaciones del valor del tiempo, es expresada con la letra j.



j= i * m
j: Tasa nominal
i: Tasa efectiva
m: periodos
Tasa de interés compuesta efectiva
Esta tasa es realmente aplicable al mundo
financiero, ya que muestra realmente lo que se
terminará pagando en una tasa de interés.
y se aplica en el periodo de capitalización sobre
el capital, para calcular los intereses

i= j/m

j: tasa nominal
i: tasa efectiva
m: periodos
Es el valor actual o presente de una suma, que vence en una fecha futura o , es aquel capital que a una tasa y en que el periodo comprendido hasta la fecha de vencimiento alcanzara un monto igual a la suma futura


VP= S(1+i) -n
Donde:
P: Valor presente
S: Valor futuro
n: Número de periodos
-30
Valor Futuro
Este es el dinero que se desea obtener al final de la transaccion o periodo, tambien es conocido como monto (S) ó (F)


VF= P (1+ i) n
Estas son las fórmulas que utilizaremos para realizar equivalencia de tasas.
Ejemplo:
Una persona hace los siguientes depositos
en una cuenta de ahorros que paga el 2.5%
mensual, $30000 dentro de tres meses, $42000
dentro de 5 meses y $28000 dentro de un año
debemos hallar
A. la cantidad total acumulada en la cuenta de ahorros
dentro de un año
B. ¿que depositos único hoy es equivalente a los 3 depositos
realizados?

El diagrama de flujo de caja para este ejemplo es el siguiente:
La amortizacion de una obligacion o deuda es el proceso mediante el cual se cancela la misma junto con sus intereses, en una serie de pagos en un tiempo .
A. la cantidad total acumulada dentro de un año corresponde
a un valor futuro en esa fecha de los 3 depositos realizados.
Entonces una tasa de 2.5% mensual se tiene que:
S= 30000( 1+0,025)+ 42000(1+0,025)+ 28000
S= 115390
Este es el valor que una persona tendra dentro de un año en la
cuenta de ahorros.
B. El deposito único hoy (punto cero) equivalente a los 3 depositos es el valor presente de estos depositos es el valor presente de estos depositos
P=30.000(1+0,025) + 42000 (1.0025) + 28000(1+0.025)
P= $85.799
Este mismo valor también se puede obtener como el valor presente de
$115.390 de la parte a:
P= 115.390 ( 1+0,025)
P= $85.799
Para poner algunos ejemplos unicamente vayámonos
al hecho de adquirir una vivienda financiada, las cuotas que se pagan al adquirir un pago, un electrodoméstico, etc; Cuando toda la deuda o solo una parte ha sifo financiada a cierto plazo...
Sistemas de
Amortización

1.Conversión Tasa Nominal a Efectiva Equivalente
Un sistema puede ser de cuotas mensuales iguales,este caso, corresponde a una anualidad, y para calcular esta lo realizamos mediante las siguientes formulas:
A continuación hallaremos una tasa efectiva equivalente a 18% capitalizable semestralmente
i = ( j x m )
i= 18% / 2 = 9% Efectiva Semestral
(ES)
2. Conversión de una
tasa efectiva a una nominal
Hallemos una tasa de interés nomunal trimestral de 2.3% Efectiva Mensual (EM)
j = i x m
j=2.3% x 4= 9.2% CT
VP= Valor presente
VF= Valor futuro
R= Valor de la cuota
Otro sistema puede ser en cuotas mensuales que aumenten , por ejemplo en $2.000.000 cada mes; Este proceso lo conocemos como gradiente aridmetico creciente
Ejemplo:
Cuanto dinero fue colocado a 1,5% EM
durante 2 años y medio para retirar
$2.500.000
3. Conversión de una tasa de interés efectiva a otra efectiva equivalente
Si por el contrario las cuotas disminuyen
corresponderan a un gradiente
aritmetico decreciente

Cuando nos sugieren una tasa de interés efectiva pero esta no está en el mismo tiempo de operación se sugiere cambiar el tiempo a la misma tasa de interés o ésta cambiarla al mismo tiempo que ofrecen el servicio.
Sistemas de amortizacion basicas
i: 1,5%
n: 2 años y 6 meses
s: 2´500.000

P: 2´500.OOO (1+0,015)
P: 1´599.406
Existe un sin numero de formas de amortizar un prestamo debido a la forma en como acreedores y deudores pueden pactar libremente las condiciones entre esas formas se tienen:
Un pago unico al final
Ejemplo: Hallar una tasa de interés efectiva equivalente mensual de 4.3% efectiva trimestral. Teniendo en cuenta la tabla, usaremos la siguiente fórmula:
pAGO DE INTERES PERIODICAMENTE Y PAGO DEL CAPITAL AL FINAL
Si tienes pensado realizar estas operaciones
en calculadora, debes tener en cuenta que debe
ser una calculadora de funciones ..
Para elevar debes usar ^el simbolo de elevar.
Además de esto las entidades financieras
cuenta con simuladores para que puedas
verificar la informacion
PAGO DE CAPITAL EN CUOTAS IGUALES E INTERES SOBRE SALDOS
SERIE UNIFORME DE PAGOS
Nos piden convertir una tasa trimestral (4 trimestres en el año) en una tasa de interés mensual (12 meses), y obtenemos:
Sabes qué son las
anualidades?
E
n general se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son :
1. Pagos mensuales por renta
2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales a una cuenta de crédito
4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.
Intervalo o periodo de pago.-Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro.
Plazo de una anualidad.- es el tiempo que transcurre entre el inicio del primer pago y el final o ultimo.
Renta.- es el nombre que se da al pago periódico que se hace.
También hay ocasiones en que se habla de anualidades que no tienen pagos iguales, o no se realizan todos los pagos a intervalos iguales. Estos casos se manejan de forma especial
Fórmulas de anualidades
donde: M es el monto de la anualidad
R el pago periódico
i la tasa periódica
n el total de pagos
Nota aclaratoria: Estas fórmulas aplican a anualidades definidas, ordinarias y simples. En este módulo se asume que las anualidades presentadas son de este tipo.
Ejemplo
Mensualidad de una casa

José desea comprar una casa valorada en $60.000.000. Tiene $10.000.000 para dar de inmediato y consigue un préstamo por 20 años al 0,7% efectivo mensual ¿A cuanto equivale la mensualidad que debe cancelar José para comprar la casa y cuanto es el valor total de la misma al final del pago total??
Diagrama de la situación
Para buscar el pago periódico (R) de la anualidad se debe usar la siguiente fórmula:
donde “P” es el valor presente, “i” la tasa periódioca y “n” el total de pagos
P
mes
1
2
R
R
R
R
360
3
240
Ejemplo
Solución: Los valores a sustituir en la fórmula son:
P: el valor presente de la anualidad por pagar ( o sea, la deuda que quede después de pagar el pronto). En este caso es 50.000.000 (60.000.000 – 10.000.000)
i: la tasa periódica en este caso es 0,007 % EM.
n: total de pagos. En este caso es 240.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Conclusión


La cuota mensual que deberá cancelar José es de $430,752,2477. El total del valor de la casa en 20 años es de $113,380,539 equivalentes a las 240 cuotas mensuales más el aporte inicial que fueron $10.000.000.

José ál final estará cancelando casi el doble del valor inicial de la casa de acuerdo a las condiciones inicialmente planteadas.
En ocasiones se pueden presentar flujos periódicos que cambian periodo a periodo en una determinada cantidad o porcentaje; en éstos casos se dice que existe un GRADIENTE.

Analizando la forma de aumento (o disminución) del flujo podemos clasificar el gradiente como Gradiente Aritmético o Gradiente Geométrico.


Un gradiente, a diferencia de una serie uniforme, es un flujo que varia cada periodo.

Si la variación periodo a periodo es un valor constante G se dice que es un gradiente aritmético y si dicha variación fuere porcentual tomaría el nombre de gradiente geométrico.

Tomemos inicialmente el caso del gradiente aritmético y específicamente del gradiente aritmético positivo (o creciente) que se presenta cuando el flujo crece tal como se observa en la siguiente gráfica.
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor futuro (F)
Donde:

G : Valor del Gradiente
F: Valor futuro
i : Tasa de interés compuesto por periodo
n : número de periodos
GRADIENTE ARITMÉTICO (G)
Y despejando i, obtenemos:
Tasa de Interés 30.6050% E.A
.
Es decir 2.25% EM.
A continuación, veremos un ejemplo tomado de la página de Codensa donde realizaremos una compra por $1.000.000 a 6 meses-
Cuota de manejo $5.800 y se factura sólo si existe saldo pendiente por facturar sin importar el número de compras activas.
http://www.codensa.com.co/paginas.aspx?cat_id=90&pub_id=594
PAGOS CON PERIODOS DE GRACIA
Adjunto a este archivo encontraras 2 simluadores de excel sobre la tabla de amortizacion y gradientes la cual esperamos te ayude a llevar mejor tus prestamos :)
...QUE LO APROVECHES Y LO DISFRUTES !!!

Un ejemplo de la vida Real ....
Como podemos ver en este ejemplo, es importante conocer las tasas de interés, pues nos permitirán determinar cuanto es lo que realmente estamos pagando por un prducto o servicio comprado a crédito.
Amortizacion
amortizacion
Amortizacion
Analicemos cada uno de los flujos:

Para el segundo periodo en el que se presenta el primer flujo (G) y tomando este G como un valor presente, el valor futuro generado sería:

F = G * ( 1+i )^( n-2 )

(n-2 es el número de periodos entre el primer flujo G y el periodo final n).

Para el tercer periodo en el que se presenta un flujo de valor 2G; el valor futuro generado sería:

F = 2 * G * ( 1+i )^( n-3 )

(n-3 puesto que el interés se genera a partir del periodo 3).

Para el periodo n-1 el flujo es (n-2)G, por tanto, el valor futuro generado es:

(2) F = (n-2) * G * (1+i)^(n - (n-1)) = (n-2) * G * (1+i)

En el periodo n, el flujo (n-1)G es el mismo valor futuro puesto que no genera interés.
El valor futuro generado por el Gradiente Aritmético es la suma de cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos.

Obtendremos:

(3) F= G * ( 1+i )^(n-2) + 2G * (1+i)^(n-3) + ... + (n-2)G * (1+i) + (n-1) * G

Multiplicando por el factor (1+i)

(4) F(1+i)= G(1+i)^(n-1) + 2G(1+i)^(n-2) +...+ (n-2)G(1+i)^2 + (n-1)G(1+i)

Restando (3) de (4) se obtiene:

(5) F(i) = [G(1+i)^(n-1) + G(1+i)^(n-2) +...+ G(1+i)^2 + G(1+i) + G] – Ng

Obsérvese que la parte señalada (con letra inclinada) es similar a la ecuación (1) obtenida en el análisis de la serie uniforme cuya fórmula general es [3].
Podemos escribir:
Finalmente despejamos:
E inversamente:
GRACIAS!
Universidad Colegio Mayor de Cundinamarca
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