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Regla de Simpson

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by

Jhon Bolaños

on 9 July 2014

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Transcript of Regla de Simpson

Obra

Se le conoce por sus trabajos acerca de la interpolación e integración numérica. Aquí la regla de Simpson lleva su nombre, la que en realidad, aunque en una variante más simple había sido formulada en 1615 por Johannes Kepler como Regla del barril y que se basa en conocimientos que vienen de los trabajos de Newton.

Sin embargo, la forma abstracta del método de Newton es de su autoría y no de Newton. Adicionalmente, Simpson se dedicó a la teoría de la probabilidad y a la teoría de errores.

Se procede a integrar dicho arco de parábola entre los límites descritos se tendrá:
GRACIAS POR SU ATENCIÓN PRESTADA
La función que describe una ecuación cúbica que aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la cúbica que une los cuatro puntos. si tiene cuatro puntos y tres segmentos, la integral se resuelve con regla de Simpson 3/8.
Sea una función f(x), si entre f(a) y f( b) existe un tercer punto, entonces será posible ajustar por ellos una parábola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f (a) y f( b), entonces por esos cuatro puntos se podrá ajustar una curva de grado tres, y así sucesivamente.
Retomando la Ec 1 se puede expresar igualmente de la siguiente manera:
Entonces se tiene como solución de la sub área
2. Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple
3. Regla de Simpson 3/8
Tema:

Regla de Simpson

Métodos Numéricos

Nombres:
Julio Guamán
Edwin Camacho
Milton Jaya
Patricia Hinojosa
Renato Sánchez

La función que es una parábola que aproxima a la función real. En este caso se calcula el área o la integral bajo la parábola que une los tres puntos. si tiene tres puntos y dos segmentos, se resuelve con regla de Simpson 1/3.
REGLA DE SIMPSON
1. Regla de Simpson 1/3
Para efectos de la demostración del método de Simpson, se asume cada sub área como un pequeño arco de parábola de la forma ax2 + bx + c con límites así: Limite inferior en –h, limite superior en h, por ende la mitad de la pequeña sub área se encontrará en el Punto 0, tal como se ilustra
Entonces se podría obtener el siguiente sistemas de ecuaciones, evaluando la ecuación general de la parábola ax2 + bx + c en cada uno de los puntos de la pequeña sub área [–h,0-h]::
f (−h) = ah2 − bh + c , se puede tomar esta altura como
f (0) = c , se toma esta altura como
f (h) = ah2 + bh + c , y esta altura como
Reemplazando las ecuaciones 2 y 3 en la Ec 4 se tiene que:
Ahora, se sabe que el área que se desea encontrar sería la sumatoria de todas las sub áreas que se calculen. Al igual que el método de la regla trapezoidal, entre mas sub áreas tenga la integral a calcular, mas exacto será el valor encontrado.
La aplicación múltiple utiliza la misma idea que la regla de Simpson con la diferencia que se divide el intervalo de integración en muchos segmentos o subintervalos
El área aproximada en el intervalo [a, b] es:
Esta es la regla de Simpson 1/3 de segmentos multiples
El error en este caso es de:
Para la “integración cerrada”, es decir, para cuando los valores de la función en los extremos de los límites de integración son conocidos.
Consiste en remplazar una funcion complicada o un conjunto de datos tabulados por un polinomio de tercer orden, es decir
Después de integrar y reordenar términos, se obtiene la regla de Simpson de 3/8
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:
DESARROLLO DE PROBLEMAS
Integrar la función f(x) desde a=0 hasta b=3
Solución:
Utilizamos la regla de simpson de 1/3 en dos segmentos
f(0)= 2
f(3)= -1
f(1,5)= -4,5625
Usando la regla de Simpson tenemos:
Se tiene un sistema magnético en un transformador, en donde la energía se almacena en la inductancia. Recordemos que la corriente en función de los enlazamientos de flujo es:
Determine la energía almacenada en la inductancia desde λ=20, hasta λ=25Wb. Además encuentre el error estimado usando la regla de Simpson.
Solución:

La energía está dada por la siguiente ecuación:

Sustituyendo la ecuación
Utilizando el método de Simpson 1/3, hacemos la siguiente aproximación:
Determinación de puntos:
Sustituyendo:
El error de truncamiento o error estimado
Sustituyendo la ecuación
Finalmente se obtiene: .
Usando la regla de Simpson tenemos:
Usando la regla de Simpson tenemos:
Usando la regla de Simpson tenemos:
Usando la regla de Simpson tenemos:
Problema Nº 3
La ecuación que relaciona el voltaje de salida con el voltaje de entrada es la siguiente:
Si
Calcule el voltaje de salida en t de 0 a 0.8 segundos.
Se sabe que :
para n=4
Para obtener la integral se utiliza la ecuación:
Por lo tanto el voltaje de salida sería:
Aplicación de la regla de Simpson 3/8.
Para los datos de máximo punto del volumen en un tanque tabulado obtenido en una fábrica de jugos medidos por un sensor cada cierto tiempo
Aplicando Simpson 3/8
Thomas Simpson
Thomas Simpson (20 de agosto de 1710, MarketBosworth, Inglaterra - 14 de mayo de 1761) fue un inventor y matemático inglés.
Thomas Simpson nació en una familia de situación económica modesta. Su padre era un tejedor, él también trabajó inicialmente en este oficio. Las matemáticas las aprendió estudiando por su cuenta, de manera autodidacta. Alrededor de 1725 se mudó a Nuneaton, Warwickshire, para trabajar allí como matemático hasta 1733. A partir de 1743 impartió clases de matemáticas en la Royal MilitaryAcademy en Londres.
De lo anterior se puede decir que:
Se diría que el área del segmento es igual a la función evaluada en el lado izquierdo mas cuatro veces la función evaluada en la parte central de la sub área mas la función evaluada en el lado derecho de la sub área, todo esto multiplicado por el ancho del sub área y dividido por 3.
Donde n sería el número de sub áreas en el cual se ha dividido el área que se desea calcular
A manera de ejemplo, si el área a calcular se hubiera dividido en 4 Sub áreas entonces en términos de y la solución seria:
Bien, dependiendo como se agrupen los términos se llegaría a expresar la solución de dos maneras:
Los primeros términos son los valores de la evaluación de la función en los extremos, el segundo, la suma de los términos de índice impar, y el tercero la suma de los términos de índice par.
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