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MEFLU :: 3. Relações Integrais em Volumes de Controlo

Lic. Eng. Mecânica, Regime Noturno, DEM-ISEP
by

Carlos Santos

on 23 June 2016

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Transcript of MEFLU :: 3. Relações Integrais em Volumes de Controlo

Superfícies sólidas. Nas superfícies sólidas que fazem parte de SC, a velocidade é igual a 0, pelo que
Um balão está a ser enchido pela secção 1. A massa volúmica média do balão no instante t é .

Determine uma expressão para a taxa de variação da massa do sistema dentro do balão.
Notem que estamos a assumir que o escoamento é uni-dimensional, i.e. V é constante ao longo da secção a e da secção b.
Mas, , pelo que podemos escrever,
Pela figura podemos identificar 3 possíveis mudanças no valor de B:
MEFLU :: Mecânica dos Fluidos
Carlos Silva Santos, cmi@isep.ipp.pt
Licenciatura em Engenharia Mecânica
Regime Noturno
3. Relações Integrais em
Volumes de Controlo
Dinâmica dos Fluidos. Equações Fundamentais.
conservação de massa
Equações Fundamentais em Sistemas.
as equações estão escritas para sistemas

um sistema é um conjunto definido de matéria (massa)

queremos escrever as equações não para partículas definidas de um fluido mas para volumes de controlo
(i.e. transformar equações diferenciais em equações integrais)

à ferramenta que permite a conversão de sistema para volume de controlo chama-se
Teorema de Transporte de Reynolds
quantidade de movimento linear, 2ª lei de Newton
quantidade de movimento angular
conservação de quantidade de movimento
conservação de energia
1ª lei da termodinâmica
Conservação de Massa.
Q aqui é calor!
Caudal Volúmico
Definições.
Caudal Mássico
denota é o volume de fluido
é a magnitude da velocidade normal à superfície S
Unidades = m/s x m^2 = m^3/s
Unidades = kg/m^3 x m/s x m^2 = kg/s
Teorema de Transporte de Reynolds.
a definição do volume de controlo depende do problema que queremos resolver

a conversão das equações fundamentais em equações para o nosso volume de controlo irá depender se o volume de controlo estiver fixo, com velocidade constante, a acelerar ou a mudar de volume ou forma com o tempo
Volume de controlo fixo, englobando
a área de interesse.
Permite, por exemplo, calcular a mudança de velocidade do fluido e a força a que os parafusos são sujeitos.
Aqui o que nos interessa é o navio, pelo que o volume de controlo o acompanha com velocidade constante V. Se V variar no tempo, o problema é transiente, i.e. varia no tempo.
Volume de controlo cuja forma varia no tempo. É necessário ter em conta a velocidade do fluido relativa à velocidade das fronteiras e a variação da forma do VC no tempo.
Teorema de Transporte de Reynolds.
Caso uni-dimensional,
Consideremos uma propriedade, B do fluido (energia, quantidade de movimento, etc.)
&
&
entrada de B:
saída de B:
mudança no valor de B dentro do volume de controlo,
Teorema de Transporte de Reynolds.
A. Caso uni-dimensional, em x,
Teorema de Transporte de Reynolds.
B. Volume de controlo fixo de forma arbitrária
Teorema de Transporte de Reynolds.
C. Volume de controlo em movimento
SC = superfície do volume de controlo
velocidade do fluido relativa ao VC:
notem que nesta formulação o volume pode variar com o tempo, pelo que se aplica também a VC que se deformem no tempo
formulação simplificada para volumes de controlo em repouso de forma fixa
Teorema de Transporte de Reynolds.
Aproximações Uni-dimensionais dos Fluxos
Teorema de Transporte de Reynolds.
Exemplo 1. Escoamento Estacionário em VC fixo não deformável.
Teorema de Transporte de Reynolds.
Exemplo 2. Volume de controlo deformável
Conservação de Massa.
Para um volume de controlo em movimento,
Para um volume de controlo fixo,
Volume de controlo fixo, fluxos uni-dimensonais
se o escoamento for estacionário
se o fluido for incompressível
i.e.
i.e.
Conservação de Massa.
Exemplo Uni-dimensional.
Teorema de Transporte de Reynolds, VC uni-dimensional
Teorema de Transporte de Reynolds, VC de forma arbitrária
Teorema de Transporte de Reynolds, VC arbitrário, deformável e em movimento
Teorema de Transporte de Reynolds, VC não deformável em movimento
TERMOS DE FLUXO:
contém fluxos de entrada e de saída
Em muitos problemas de engenharia, o fluido atravessa a fronteira do VC (a superfície de controlo) por entradas e saídas quase uni-dimensionais, i.e. a
velocidade pode ser considerada uniforme,
nas secções de entrada e saída.
Os termos de fluxo podem então ser aproximados por uma soma de saídas (
sinal positivo
) e entradas (
sinal negativo
) de fluido, usando-se as propriedades médias do fluido em cada secção:
Um volume de controlo fixo tem 3 entradas e saídas
uni-dimensionais
.
O escoamento é
estacionário.
As propriedades do fluido à entrada/saída do VC são dadas na tabela.
Calcule a taxa de variação de energia do sistema que ocupa o volume de controlo.
Teorema de Transporte de Reynolds, VC de forma arbitrária
Como o escoamento é estacionário,
A variável de interesse é a massa, pelo que
Teorema de Transporte de Reynolds, VC de forma arbitrária
Como só há uma entrada para o VC e nenhuma saída, ficamos com,
Volume de uma esfera:
Determine a relação entre as velocidades da entrada e saída do tubo, assumindo que estas são uni-dimensionais.
Caudal mássico
Caudal volúmico (fluido incompressível)
Relação entre as velocidades
se a secção for circular com diâmetro D ou raio r,
vector velocidade
vector normal à superfície a apontar para fora
Conservação de Massa.
Exemplo Bi-dimensional.
Teorema de Transporte de Reynolds.
Conservação de Massa.
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Transiente, VC deformável, em movimento, fluido compressível.
VC fixo
VC não-deformável
regime estacionário
fluido incompressível
Consideremos um perfil de velocidade mais realista dentro de um tubo, que é aproximado por,
i.e. u=0 para r=R ou r=-R
u=U0 para r=0
o exponencial 'm' determina a forma do perfil:
escoamento laminar:
escoamento turbulento:
Conservação de Massa.
Exemplo Bi-dimensional.
Se conhecermos o perfil do escoamento, podemos calcular a velocidade média para calcularmos os fluxos à entrada e saída de volumes de controlo
Integrando , ao longo da área da secção:
quantidade de movimento linear, 2ª lei de Newton
Teorema de Transporte de Reynolds
Para a quantidade de movimento linear, a nossa propriedade genérica B é,
Logo, o Teorema de Transporte de Reynolds fica,
Reparem que as equações que estamos a derivar se aplicam ao sistema de massa de fluido dentro do VC. Logo, as forças serão forças SOBRE o fluido.
VC fixo, deformável para um fluido compressível
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Assim como para a conservação de massa, teremos equações de quantidade de movimento mais simples:
se o regime for estacionário (=permanente)
se o VC for fixo e/ou não-deformável,
se o fluido for incompressível.
Para entradas e saídas uni-dimensionais, as forças são facilmente calculadas através dos
fluxos de quantidade de movimento
,
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Regime permanente, saídas e entradas uni-dimensionais, VC fixo
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Regime permanente, saídas e entradas uni-dimensionais, VC fixo
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Regime permanente, saídas e entradas uni-dimensionais, VC fixo
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Há 3 tipos de forças a atuar sobre os fluidos:

forças mecânicas
forças de pressão
forças gravíticas
Geralmente o que queremos saber são apenas as forças mecânicas, i.e. as forças exercidas pelo fluido sobre um sólido ou vice-versa.
Fp = 0 porque a pressão é igual ao longo de toda a superfície
Fp = soma das pressões relativas x área de atuação destas
x
y
NÃO ESQUECER: AS EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO DÃO-NOS AS FORÇAS SOBRE O FLUIDO!
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Factores de Correcção.
A soma dos quadrados é diferente do quadrado da média
Logo, introduzimos um factor de correcção que vai depender da forma do perfil de velocidades.
Regime Laminar:
Regime Turbulento:
ATENÇÃO, diferente do beta anterior
(melhor aproximação ao perfil do que a que vimos antes)
O fluxo mássico seria pois,
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Exemplo: Regime permanente, saídas e entradas uni-dimensionais, VC móvel
Conservação de Quantidade de Movimento Angular.
quantidade de movimento angular
Teorema de Transporte de Reynolds
Para a quantidade de movimento angular, a nossa propriedade genérica B é,
Logo, o Teorema de Transporte de Reynolds fica,
VC em movimento, deformável para um fluido incompressível
quantidade de movimento angular em relação a O
momento em torno do ponto O
vector posição em relação ao ponto O
Comparando os Teoremas de Transporte de Reynolds para as quantidades de movimento linear & angular,
Para um regime
permanente
, fluido
incompressível
, volume de controlo
fixo
,
não-deformável
, com entradas e saídas
uni-dimensionais
=0
em que o integral ao longo de SC, é obtido pela soma dos fluxos,
Conservação de Quantidade de Movimento Angular.
Exemplo.
Conservação de Energia.
equação de energia, 1ª Lei da Termodinâmica
Teorema de Transporte de Reynolds
Para a equação de energia, a nossa propriedade genérica B é,
Logo, o Teorema de Transporte de Reynolds fica,
VC em movimento, deformável para um fluido incompressível
Comparando os Teoremas de Transporte de Reynolds para as quantidades de movimento linear & angular,
total = interna + cinética + potencial
[a nossa análise não contempla reações químicas, nucleares, e forças eletromagnéticas]
Conservação de Energia.
equação de energia, 1ª Lei da Termodinâmica
Taxa de transferência de calor para o fluido
(condução, convecção, radiação)
> 0 se a transferência de calor for PARA o fluido
< 0 se DO fluido para o exterior

Não faz parte da maior parte dos problemas em MEFLU
Conservação de Energia.
equação de energia, 1ª Lei da Termodinâmica
Taxa de trabalho
> 0 se o trabalho for efetuado PELO fluido
< 0 se o trabalho for efectuado SOBRE o fluido
Trabalho mecânico efetuado por turbinas, bombas, pistões, etc.
Trabalho efetuado por forças de pressão a atuar na superfície do VC
Trabalho efetuado por forças viscosas
Trabalho efetuado por forças de pressão.
Apenas pressões a atuar na superfície do VC efetuam trabalho: as forças de pressão internas não efetuam trabalho porque se cancelam umas às outras.
vetor normal à superfície a apontar para fora
NOTA: Se a superfície do volume de controlo coincidir com a superfície de um componente de uma máquina de fluxo, a contribuição do trabalho dessa pressão deverá ser incluida em Wveio, em vez de Wp.
Trabalho efetuado por forças viscosas.
Também o trabalho das forças viscosas, Wvis, ocorre apenas na superfície do volume de controlo (as contribuições internas cancelam-se).
Ao longo de linhas de corrente, o trabalho das tensões viscosas pode não ser desprezável.
Superfície de uma máquina de fluxo. A contribuição viscosa é adicionada a Wv
Conservação de Energia.
1
Juntando as contribuições:
> 0 porque é trabalho feito PELO fluido
< 0 porque é trabalho feito SOBRE o fluido
Como a entalpia é a energia total é ficamos com,
Conservação de Energia.
Equação de Energia, 1ª Lei da Termodinâmica: regime PERMANENTE, CV FIXO, fluido INCOMPRESSÍVEL, entradas e saídas UNI-DIMENSIONAIS
Fluxos de energia à entrada e saída do VC
Conservação de Energia.
Equação de Energia, 1ª Lei da Termodinâmica: regime PERMANENTE, CV FIXO, fluido INCOMPRESSÍVEL, relação entre 2 PONTOS
em que,

(q > 0 se houver transferência de calor PARA o fluido, e os termos de trabalho > 0 se o trabalho for efetuado PELO fluido)
unidades [J/kg]
Conservação de Energia.
Equação de Energia, 1ª Lei da Termodinâmica: regime PERMANENTE, CV FIXO, fluido INCOMPRESSÍVEL, relação entre 2 PONTOS
Multiplicando a equação anterior pela massa volúmica, temos
unidades [Pa=N/m^2]
Dividindo a equação anterior por , temos
unidades [m]
Conservação de Quantidade de Movimento Angular.
Entrada e saída do CV. Como a velocidade é essencialmente normal à área, as tensões viscosas são normais e extremamente baixas.
Conservação de Energia.
Equação de Energia, 1ª Lei da Termodinâmica: regime PERMANENTE, CV FIXO, fluido INCOMPRESSÍVEL, relação entre 2 PONTOS
Para o tipo de escoamentos que vamos analisar, em condutas, a equação anterior é escrita mais claramente, da seguinte forma:
'altura disponível em 1'
'altura disponível em 2'
perdas
ganhos
Exemplo 1.
Conservação de Quantidade de Movimento Angular.
Exemplo 2.
Magnitude:
Sentido: anti-horário
Conservação de Energia.
Factores de Correcção da Energia Cinética.
A soma dos cubos é diferente do cubo da média
Logo, como para a quantidade de movimento, introduzimos um factor de correcção que vai depender da forma do perfil de velocidades.
Regime Laminar:
Regime Turbulento:
ATENÇÃO, diferente do beta anterior
Factores de correcção da energia cinética para regime turbulento com perfil,
Exemplo:
Conservação de Energia.
Exemplo #1.
Equação de Bernoulli.
Derivada a partir das equações de conservação de massa e quantidade de movimento.
unidades [Pa]
unidades [m]
RESTRIÇÕES:
regime permanente
escoamento incompressível
escoamento sem perdas por atrito
sem trabalho nem transferência de calor
escoamento ao longo de uma linha de corrente
Equação de Bernoulli.
Equação de Bernoulli.
Fricção
Transferência de Calor
Trabalho
Equação de Bernoulli.
Exemplo 1.
'pressão disponível em 1'
'pressão disponível em 2'
perdas
ganhos
Cf. equação de energia:
Nas condições em que podemos aplicar a equação de Bernoulli
, a energia do fluido mantém-se constante ao longo do seu percurso (linha de corrente).

Haverá conversões de energia (entre pressão, energia potencial e cinética) mantendo-se a sua soma constante.
Departamento de Engenharia Mecânica
Instituto Superior de Engenharia do Porto
Conservação de Quantidade de Movimento Linear.
Contabilizando as forças de pressão:
Geralmente o que queremos saber são apenas as forças mecânicas, i.e. as forças exercidas pelo fluido sobre um sólido ou vice-versa.
Exemplo:
Capítulo 3. Exercício de Exame.
Água (ρ =998 kg·m−3) em circulaç̃ao num tubo horizontal de 30 cm de diâmetro e pressão relativa de 300 kPa entra numa secção de reduç̃ao com curva a 90º, ligando-se depois a um tubo vertical de 15 cm de diâmetro, como representado na figura. A entrada da curva situa-se 50 cm acima da saída, onde a pressão relativa da água é de 117 kPa. Desprezando efeitos de atrito e gravitacionais, determine a força resultante (magnitude e direção) exercida pela água na secção de redução (β =1). (5 valores)

Capítulo 3. Exercício de Exame.
Conservação de Energia.
Exemplo #2.
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