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Problemi di massimo e minimo

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by

Giano Donato

on 29 March 2015

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Transcript of Problemi di massimo e minimo

Il percorso didattico è stato pensato per una classe V.
Vuole essere solo una traccia di intervento riguardo i problemi di massimo e minimo presenti nei programmi scolastici e nelle prove di maturità scientifica.
Prerequisiti:
Funzioni e grafici di funzioni note
Significato e calcolo di limiti, derivate e massimo e minimo di una funzione
Angoli e definizione delle principali funzioni goniometriche
Grandezze, unità di misura, moto rettilineo uniforme
Formule per il calcolo di aree di figure piane e solide
Utilizzo del software GeoGebra
Che cosa:
Saper risolvere problemi a partire da situazioni della realtà, utilizzando i concetti noti di di massimi e minimi di una funzione a valori reali

Perché:

Stimolare la curiosità e l'interesse verso problemi della realtà riguardanti lo spazio massimo/minimo occupato, il percorso da svolgere nel massimo/minimo tempo ecc.
Accrescere la capacità di osservazione e astrazione (introduzione al modello matematico)
Si vuole costruire una scatola tagliando da una lamiera rettangolare di dimensioni 20 cm × 10 cm quattro quadratini e operando successive piegature e saldature. Come si dovrà effettuare il taglio affinché la scatola abbia volume di 100 cm^3?
Indicato con x il lato dei quadratini si ottiene la seguente funzione
(20-2x)(10-2x)x con dominio 0<x<5

inserendo la funzione in Geogebra si ottiene
Le soluzioni sono date dall'intersezione della retta di equazione y=100 con il grafico della funzione. (valori di A e B, C non accettabile)

E' possibile determinare in che modo posso ottenere il volume massimo?, ed il volume minimo?

Utilizzando le funzionalità di Geogebra basta trascinare la retta sul punto di massimo della funzione e in questo modo determiniamo valore massimo del volume e valore del taglio (x).
Un altro problema

Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per delimitare il perimetro di un'aiuola. Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un'aiuola quadrata e un'altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché la somma delle due aree sia minima? E affinché la somma delle due aree sia massima?

Di seguito la rappresentazione del problema con l'uso di Geogebra
Approfondimenti

Sulla riviera romagnola un bagnante, che si trova a b metri dalla riva rischia di affogare e grida aiuto. Il bagnino, nel momento in cui si accorge del pericolo, si trova sulla spiaggia ad a metri dalla riva. In linea d'aria il bagnino e il bagnante distano inizialmente d metri, ma la linea immaginaria che li unisce non è perpendicolare alla riva. Il bagnino può correre sulla spiaggia con una velocità media di 5 m/s, mentre in acqua può nuotare con una velocità media inferiore pari a 2 m/s. Quale percorso deve compiere il bagnino affinchè, a partire dalla sua posizione iniziale, arrivi nel più breve tempo possibile in soccorso del bagnante evitando così che questi affoghi?
una possibile schematizzazione
Problema di minimo tempo Brachistocrona
Soluzione proposta da
Luca Frangella

Nel 1697 Giovanni Bernoulli riuscì a risolvere il problema della brachistocrona, su cui si interrogava già Galileo nel 1638 nei "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai moti locali".
Nel 1744 Eulero aveva già pubblicato il trattato "Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes". Nel 1755, un giovane diciannovenne gli inviò un'epistola nella quale esponeva un metodo superiore al suo. Si trattava di Giuseppe Luigi Lagrange, grande matematico (italiano).
Eulero, con un gesto tipico della sua personalità, rinviò la pubblicazione dei propri lavori in materia al fine di lasciare al giovane il primato di questo metodo, che battezzerà "calcolo delle variazioni".
Questi due straordinari matematici continuarono negli anni successivi ad occuparsene e a svilupparlo: Lagrange negli articoli pubblicati tra il 1758 e il 1761 negli "Atti" dell'Accademia delle Scienze di Torino, ed Eulero nella memoria datata 1766 dal titolo "Elementa calculi variationum".

http://web.geogebra.org/app/?id=691475
http://web.geogebra.org/app/?id=31813
Brachistocrona
http://web.geogebra.org/app/?id=35465
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