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Las abejas insignes matemáticas

Esta prezi tiene el objetivo introducir problemas relacionados con las abejas, para iniciar un proyecto con alumnos del CCH sur, sexto semestre..
by

Liev Nikoláievich Tolstói

on 20 December 2015

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Transcript of Las abejas insignes matemáticas

Si el Sol está visible, basta observarlo, pero si el día está nublado, hacen falta otras guías. Esta contingencia no les preocupa, pues su equipo sensorial ha previsto este imprevisto. En caso de que haya algún parche de cielo descubierto, el plano de polarización de la luz proveniente de él les basta para adivinar la posición ocupada por el Sol en ese momento. Y si este recurso llegase a fallar, la poca radiación ultravioleta que se filtra a través de las nubes, para la cual poseen una sensibilidad extraordinaria, les permite completar la información requerida.

Profesor Oscar Valderrama

El biólogo austriaco Karl von Frisch describió en 1945 la danza y encontró, maravillado, la explicación. La abeja danzarina describe con sus movimientos una figura en forma de ocho, como se ilustra en la figura siguiente, y mientras recorre la parte central de la figura, esto es, la parte común a los dos óvalos, el tiempo que tarda en recorrerla es proporcional a la distancia entre el panal y la fuente de alimento.
Danza
Las tres únicas formas de llenar un plano con figuras regulares y sin que queden espacios desperdiciados son las que se muestran aquí: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
Las abejas, célebres matemáticas
Es muy conocida la danza que realizan las abejas exploradoras cuando regresan al colmenar después de haber encontrado alguna fuente abundante de miel.



Danza
Danza
La danza, en consecuencia, contiene toda la información necesaria para localizar inequívocamente la fuente de alimento: esto es, dirección y magnitud del recorrido desde el panal hasta la meta. Las compañeras que presencian el espectáculo sólo necesitan, con el fin de transferir al terreno lo observado y realizar la excursión de aprovisionamiento, identificar la posición del sol en ese preciso momento.
Danza
Actividad
Karl von Frisch
Ahora es tu turno ceceachero
Arquitectura de las celdas
Las abejas han elegido para sus celdas la forma de prisma hexagonal, geometría que les permite construir sus panales sin dejar huecos y que, al mismo tiempo, les proporciona el habitáculo más cómodo y espacioso a las larvas, por disponer de los rincones menos agudos (ángulos internos de 120 grados, contra 90 y 60 en el cuadrado y en el triángulo, respectivamente).
Arquitectura de las celdas
Arquitectura de las celdas
Arquitectura de las celdas
Arquitectura de las celdas
Arquitectura de las celdas
Todos saben que la abeja construye sus panales para depositar en ellos la miel que fabrica. Estos panales están hechos de cera.
Es necesario que la pared de un panal sirva también al panal vecino. Por lo tanto, el panal no puede tener forma cilíndrica.
¿Por qué?
Las celdas se disponen formando dos capas, de tal manera que las bocas de las celdas miran en direcciones opuestas, mientras que sus vértices se acoplan sin dejar espacios vacíos (véase parte izquierda de la figura siguiente), y las paredes de cera sirven para dos celdas simultáneamente, lo que produce una gran economía del material usado.
La abeja busca obtener una forma de panal que sea la más económica posible, es decir que presente el mayor volumen para la menor porción de material empleado.
Las abejas buscaron la forma de un prisma para sus celdas. Los únicos prismas regulares que pueden acomodarse sin dejar huecos son: el triangular, el cuadrangular o el hexagonal. Las abejas eligieron el hexagonal.
Sabes ¿Por qué ceceachero?
Al revisarse los cálculos, se encontró con gran sorpresa que la falla no era de las abejas, sino que estaba escondida en la aproximación de la raíz cuadrada de 3 empleada por Koening. Corregido el pequeño error, los ángulos coincidieron exactamente con los valores medidos en el panal.

El problema que resuelven las abejas de manera óptima es, desde el punto de vista geométrico, equivalente a construir una celda hexagonal de volumen, lado y altura fijos, de tal manera que termine en forma de pirámide triangular y que la superficie lateral total resulte mínima; es decir, que el gasto total de cera sea mínimo.

Los historiadores de la ciencia cuentan que al serle propuesto al joven matemático suizo Samuel Koening -que vivía en el año 1712- el problema anterior, usando los métodos del recién descubierto cálculo infinitesimal, llegó a un resultado que difería, del valor medido en el panal, apenas en dos minutos de arco. De todos modos -pensaría satisfecho Koening-, es ya una hazaña formidable de las abejas haberse acercado a la solución óptima hasta diferir en una cantidad apreciable sólo con instrumentos de precisión.
La gran hazaña de las abejas
Veamos la figura de abajo y nos damos cuenta que el volumen resultante es el mismo del prisma original, independientemente del ángulo de corte, pues las pirámides suprimidas se agregan de nuevo. Pero la superficie lateral total sí cambia al cambiar el ángulo, por lo que tiene pleno sentido preguntar por el valor que debe tomar dicho ángulo para hacer mínima la superficie lateral total de la celda construida de la manera ya descrita.
Se propone ahora determinar el valor del ángulo 
que haga mínima la superficie lateral total del prisma, manteniendo constante el volumen y la longitud de la arista.
Mediante cálculos trigonométricos se obtiene que la superficie de la celda se puede calcular con la siguiente fórmula:
La gran sorpresa es que el valor de ángulo medido en el panal coincide exactamente con el hallado por medio de la geometría y el cálculo diferencial.
Objetivo:
Esta presentación contiene problemas de cálculo diferencial que el alumno deberá resolver, con el fin de justificar que el cálculo diferencial no es un curso más de álgebra, trigonometría y geometría, sino que es el aprendizaje de nuevas técnicas y métodos que nos permiten desarrollar y encontrar la solución de problemas geométricos, físicos, de las ciencias naturales, etc. de una forma sistemática.
La presentación está desarrollada de tal forma que el ceceachero pueda admirar la belleza de la creación sumergida en la precisión.
Arquitectura de las celdas
Problema
Se tienen tres prismas sin tapa: un triangular, un cuadrangular y un hexagonal con capacidad de 5 litros cada uno. Calcule la superficie de cada prisma.
Arquitectura de las celdas
Maqueta 1
Construya los tres prismas con las medidas calculadas. Compruebe su capacidad vertiendo un líquido y tomando fotos o video.
Problema
Encontrar el valor del ángulo que hace la superficie mínima.
Maqueta 2
Construir un panal de abejas con la medida de ángulo calculada.
Elabora un escrito que contenga lo siguiente:
1. Portada
2. Objetivo
3. Marco Teórico
4. Redacción en una cuartilla de lo que aprendiste de la presentación.
5. Respuesta a preguntas
6. Solución de problemas
7. Conclusiones

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