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Progressão Geométrica

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by

Leonardo Reis

on 2 October 2013

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Transcript of Progressão Geométrica

Progressão Geométrica
Progressão Geométrica
O que é?
A progressão geométrica é uma sequência de números reais não-nulos, na qual a razão
q
entre um termo qualquer e seu antecessor, a partir do segundo, é constante.
Crescente
Progressões geométricas crescentes são as em que cada termo é o maior que o anterior. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
Decrescente
Uma progressão geométrica é decrescente quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo. Isto ocorre quando
q > 1
e
a1 > 0
, ou quando
0 < q < a1 > 0
.
Alternante
Progressões geométricas alternantes ou oscilantes são aquelas em que cada termo tem o sinal contrário ao termo anterior, ou seja, que
a1<>0
e
q<0
.

Por exemplo (5, -10, 20, -40,...), onde
a1 = 5
e
q = -2
.
Exemplo:
(48, 24, 12, 6, 3,...)

q = a2/a1
q = 24/48
q = 1/2
a1 =
48
onde a2 = 24 (a2 = a1*q -> a2 = 48*1/2 -> a2 =
24
)
a3 = 12 (a3 = a1*q² -> a3 = 48*(1/2)² -> a3 = 48*1/4 -> a3 =
12
)


Constante
Progressões geométricas constantes são aquelas que os termos são iguais, e isso pode ocorrer em duas situações:

P.G. com termos nulos:
a1 = 0
e
q = qualquer
, por exemplo
(0, 0, 0, 0,..., 0)
;
P.G. com termos iguais e não-nulos:
q = 1
, por exemplo
(5, 5, 5, 5,..., 5)
.
Estacionária
Estacionárias são as P.G.s em que
a1 <> 0
e
a2 = a3 = a4 =... = 0
.
Isso ocorre quando
q = 0
.
Interpolação
Interpolar
k
meios geométricos entre os números
a
e
b
significa obter uma P.G. de extremos
a1 = a
e
na = b
, com
n = k+2
termos. Para determinar os meios dessa P.G. é necessário calcular a razão. Assim temos:
Fórmula
A partir do segundo de uma progressão geométrica obtém-se cada termo multiplicando-se o termo anterior pela razão.
Soma dos infinitos termos
A quantidade de termos de uma P.G. pode ser finita ou infinita, caso a progressão geométrica seja finita, a soma dos elementos que a constituem será dado pela expressão:
Juros Compostos
A maioria das operações financeiras efetuadas nos dias de hoje utiliza juros compostos para remunerar um capital. Para ilustrar, suponha que uma pessoa aplicou R$ 1 000,00 em renda fixa a uma taxa de 20% ao ano. O montante M1, obtido após um ano de aplicação, é calculado adicionando-se ao capital aplicado os juros do período, ou seja:

M1 = 1.000,00 + 0,20*1.000,00
M1 = 1.000,00*(1+ 0,20)
M1 = 1.000,00*1,20
M1 = 1.200,00
Questões
ENEM/Vestibular
Historinha
Esse filme conta a história de um trabalho escolar proposto por um menino. Este, desacreditado no início, além de propor teoricamente o trabalho, já o colocara em prática com milhares de pessoas. O professor pediu aos alunos um trabalho no qual deveriam elaborar uma proposta para melhorar o mundo. O trabalho do nosso protagonista consistia no seguinte: construir uma corrente em que cada pessoa que recebesse uma ajuda deveria retribuir ajudando outras três. Essa corrente teve início com ele ajudando três pessoas, e o processo evoluiu.
Exemplo
Calcule o 3º e o 10º termo da progressão geométrica em
q = 0
e
a1 = 2

a3 = 2*0^3-1
a3 = 2*0²
a3 = 0

a10 = 2*0^10-1
a10 = 2*0^9
a10 = 0

P.G. com termos positivos
Ex.: (1, 2, 4, 8, 16,...)
Ex2.: (1, 3, 9, 27, 81,...)

Concluímos que
1>0
e
q>1
.
P.G. com termos negativos
Ex.: (-54, -18, -6, -2, -2/3,...)
Ex2.: (-1/2, -1/4, -1/8,...)

Concluímos que
1>0
e
0<q<1
.
Exemplo
1) a1
2) a2 = a1*q
3) a3 = a2*q = a1*q2
4) a4 = a3*q = a1*q3
5) a5 = a4*q = a1*q4
1)
1
2) a2 = 1*2 =
2
3) a3 = 2*2 = 1*2*2 =
4
4) a4 = 4*2 = 1*2*2*2 =
8
5) a5 = 8*2 = 1*2*2*2*2 =
16
Dica
A partir do momento que for verificado que
a1
é qualquer número diferente de zero e que todos os outros termos da progressão forem zero, pode-se concluir que é uma P.G. estacionária.
Quando a P.G. dado for infinita, a soma dos termos dos termos de seus elementos não será determinada pela expressão citada. A expressão matemática responsável pela soma dos termos de uma P.G. infinita será:
Exemplo 1
Calcule a soma dos infinitos termos da P.G. (45, 15, 5, ...).

É preciso que identifiquemos o valor da razão dessa P.G.
q = 15/45 = 1/3
, como está entre -1 e 1, podemos dar continuidade ao cálculo da soma dos seus infinitos termos.


Exemplo 2
A soma dos infinitos termos da P.G. (x; x/2; x/4;...) é 5. Determine
x
.
Exemplo 3
A soma dos infinitos termos da P.G. é 9/2. Determine a razão dessa P.G. sabendo que
a1 = 3
.

a1 = 3
S = 9/2
q = ?
Dica
Se
a1 = 0
, a condição de
-1<q<1
é desnecessária par a convergência da sequência
(S1, S2, S3,...)
. Neste caso, é óbvio que a P.G. é
(0, 0, 0,...)
e sua soma é
0
, qualquer que seja
q
.
A sequência numérica (1, 3, 9, 27,...) é um exemplo de progressão geométrica.
Nessa sequência, os número aumentam de forma acelerada, como mostra o caso relatado, que teve grande repercussão.
Curiosidade
A diferença entre progressão aritmética para a geométrica, em vez de uma soma como elemento constante, temos uma multiplicação.
Os exemplos de corrente que circulam principalmente pela internet mostram situações que não levam a lugar nenhum, porque elas se esgotam rapidamente. É importante lembrar também que, em determinado momento, não existirão mais pessoas para dar continuidade à corrente.
Conta-se que alguns povos pós-guerra utilizavam os exemplos de corrente para melhorar sua economia. Esse tipo de sequência também é aplicada na Medicina. Imagine uma cultura de bactérias. Certo tipo testado dobrava de volume diariamente. O experimento encerrou-se no 10º dia, com a proveta cheia de bactérias. Qual era o volume de bactérias no nono dia? A metade da proveta.
Soma dos finitos termos
Podemos expressar uma a soma dos
n
termos de uma P.G. finita como:
Multiplicando-a pela razão
q
temos:
Vamos analisar o segundo membro das duas expressões. Note que o segundo termo da primeira expressão é igual ao primeiro termo da segunda expressão, a mesma coisa ocorre com o segundo, terceiro, quarto, até o último termo do segundo membro da primeira expressão.
Ao subtrairmos a primeira expressão da segunda, estes termos que ocorrem em duplicidade são anulados e ficamos, então, com a seguinte expressão:
Portanto, podemos utilizar a fórmula abaixo para calcularmos a soma de todos os termos de uma P.G. finita e também dos
n
primeiros termos de uma P.G. qualquer, desde que
q<>1
:
Para
q = 1
temos uma fórmula mais simples:
Exemplo
Interpolar 8 meios geométricos (reais) entre 5 e 2560. Formemos uma P.G. com 10 termos em que
a1 = 5
e
a10 = 2560
. Temos:
Então a P.G. é (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560).
Observe que, para aumentar uma quantia em 20%, basta multiplicá-la por 1,20. Dessa forma, o montante após dois anos é igual ao valor do montante após uma ano multiplicado por 1,20:

M2 = M1*1,20
M2 = 1.200,00*1,20
M2 = 1.440,00

O montante após três anos é igual ao montante após 2 anos multiplicado por 1,20:

M3 = M2 . 1,20
M3 = 1.440,00 . 1,20
M3 = 1.728,00
Procedendo da mesma forma, podemos concluir que a sequência formada pelos valores dos montantes, ano a ano e com base no aplicado inicialmente, constitui-se numa P.G. cujo primeiro termo é igual a R$ 1 000,00 e cuja razão é igual a 1,20. Assim, teremos a seguinte sequência:

(1 000,00; 1 200,00; 1 440,00; 1 728,00;...)
Para estudarmos o modelo de variação de um capital em um regime de capitalização composta
C
, aplicado a uma taxa mensal de
i%
, durante
t
meses, o montante produzido será:

M1 = C*(1+i)
O montante produzido até o segundo mês é igual ao montante produzido no primeiro mês multiplicado por (1+i):

M2 = M1*(1+i)
M2 = C*(1+i)*(1+i)
M2 = C*(1+i)²
Dessa forma, temos:

Assim, o montante produzido até o mês
t
será dado por:
Essa última fórmula é utilizada para calcular o montante em uma aplicação de juros compostos, dados o capital
C
, a taxa de juros
i
e o prazo da aplicação
t
. A taxa de juros
i
deve referir-se a mesma unidade de tempo para o período
t
, ou seja, se a taxa for 15% ao ano, por exemplo, o prazo de tempo deve ser considerado em anos.
(UE-PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?
(PUC-PR) Uma formiga minúscula, de tamanho desprezível, faz um percurso linear. Inicialmente caminha para a direita a distância de 1 m. Então ela vira para esquerda, caminhando metade da distância do seu ponto corrente. Se a formiga continua caminhando para a direita e para esquerda, sempre andando a metade da distância previamente caminhada, a distância total que a formiga caminhará será de:

a) 2 m
b) 1 m
c) 4 m
d) 8 m
e) 10 m
(Vunesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª pilha.
(PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada:

a) decrescente
b) crescente
c) constante
d) alternante
e) singular
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