Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Урок

No description

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Урок

Вводная часть
Наглядное моделирование содержания и структуры
раздела «Элементарные функции»

Моделирование связей и проектирование наглядной модели по теме "Функции"
Основные
элементарные функции
Элементарные функции
Не элементарные
функции
y=kx+b
Линейная функция
Дробно-линейная
функция
Степенная функция
Показательная функция
Логарифмическая
функция
Тригонометрические функции
возрастает
k>0 возрастает
k<0 убывает
Функции
Функция модуля числа
Функция целая часть числа
Функция дробная часть числа
y=[x]
y={x}
Кривая Ферхюльста
Логистическое уравнение, также известное, как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при рассмотрении модели роста численности населения.
Исходные предположения для вывода уравнения при рассмотрении популяционной динамики выглядят следующим образом:
скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности, при прочих равных условиях
скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях.
Таким образом, второй член уравнения отражает конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост популяции
Функция Пуассона
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
Задача о брахистохроне
Задача о брахистохроне была поставлена Иоганном Бернулли в Acta Eruditorum в июне 1696 года.
Он представил проблему следующим образом:
“Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Ничто не является более привлекательным для умных людей, чем честная, сложная задача, решение которой, возможно, дарует славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т.д., я надеюсь получить благодарность всего научного сообщества, указывая лучшим математикам нашего времени проблему, на которой они смогут проверить свои методы и силу своего интеллекта. Если кто-то представит мне решение предлагаемой задачи, я публично объявлю его достойным похвалы’’.
Задача была следующей:
Даны две точки A и B, лежащие в вертикальной плоскости. Какова траектория точки, движущейся только под действием силы тяжести, которая начинает двигаться из A и достигает B за кратчайшее время?
Решение.
Пусть из данной точки А проведена неограниченная прямая линия АРСZ параллельно горизонтали.
Пусть на ней будет описана произвольная циклоида AQP, пересекающая прямую AB (предполагается, что нарисованную и представленную при необходимости) в точке Q, и вторая циклоида ADC, основание и высота которой относятся к основанию и высоте первой как AB к AQ соответственно. Последняя циклоида будет проходить через точку B, и она будет той кривой, по которой вес силой своей тяжести спустится наиболее быстро из точки A в точку B.
Существует нечто общее между задачей о брахистохроне и описанием траектории движения точки, расположенной на ободе катящегося без проскальзывания колеса. Внешнее проявление этой общности проявляется в том, что при таком движении точка описывает арки циклоиды - как это показано на рисунке
y=1/x
Прямоугольная декартовая
система координат
Точка в полярной
системе координат
Полярная система координат
на плоскости
в пространстве
Полярная роза
Спираль Архимеда
Параметрические координаты
Системы
координат
Много примеров
полярной системы координат
можно увидеть в повседневной жизни
Кривые в описании реальных процессов
Астроида
Циклоида
Q1, Q2
Q3
Q4, Q5, Q6
Q7, Q8, Q9, Q10, Q11
Q12
Демонстрация презентаций
Преобразование графиков
График функции у = log x может быть получен из графика функции у = а с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке а построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке б - для 0 < a < 1.
Функция у = ln х
Среди показательных функций у = а , где а > 1, особый интерес для математики и ее приложений представляет функция, обладающая следующим свойством: касательная к графику функции в точке (0; 1) образует с осью х угол 45°.
Основание такой функции принято обозначать буквой е, т. е. у = е . Установлено Ш. Эрмитом в конец XIX века, что е - трансцендентное число
(е= 2,7182818284590...).
Логарифмическую функцию, обратную показательной функции у = е , т. е. функцию у = log x, принято обозначать у = ln х (ln читается "натуральный логарифм"). График функции у = ln х изображен на рисунке.
Графики логарифмических функций
Логарифмическая функция y=log x
Логарифмическая функция у = log x обладает следующими свойствами :
1) Область определения - (0; + ∞).
2) Область значений - ( - ∞; + ∞)
3) Функция ни четная, ни нечетная.
4) Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.
Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y = af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля.
Зная, как строить графики функции y = f(x), где y = kx + b, y = ax , y = x , y = sin x, y = cosx, y = tgx,
y = ctgx, y=a , y=log x , можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

Общий вид функции Преобразования
y = f(x - b) Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц
вправо, если b > 0;
влево, если b < 0.
y = f(x + b) влево, если b > 0;
вправо, если b < 0.
y = f(x) + m Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц
вверх, если m > 0,
вниз, если m < 0.
Отражение графика
y = f(- x) Симметричное отражение графика относительно оси ординат.
y = - f(x) Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.
Сжатие и растяжение графика
y = f(kx) При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз,
при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.
y = kf(x) При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз,
при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз.
Преобразования графика с модулем
y = | f(x) | При f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | ) При x0 — график остаётся без изменений,
при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат.
Основные методы построения графиков функций
Параллельный перенос
Перенос (сдвиг) вдоль оси ординат
Перенос вдоль оси абсцисс
Отражение
Построение графика функции вида y=f(-x)
Построение графика функции вида y= -f(x).
Построение графиков чётной и нечётной функций
Построение графика обратной функции
Деформация (сжатие и растяжение)
Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат
Комбинация переноса, отражения и деформации
Методы построения графиков
График функции Ван-дер-Вардена.
Функция Вейерштрасса
 
Функция Вейерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением:


где a—произвольное нечетное число, b  — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется рядом.
График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2].
Функция Дирака

Де́льта-фу́нкция (или дельтаδ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
δДельта-функция является обобщённой функцией: формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.
δДельта-функция не является функцией в классическом смысле; тем не менее, нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к дельта-функции.
Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.
Дельта-функция
Схематический график одномерной дельта-функции
Кривая Пеано
— общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства)
Обычно такие примеры строятся как предел последовательности кривых.
Свойства
Всякая кривая Пеано имеет кратные точки — это «предложение имеет огромную принципиальную важность для геометрии, так как оно показывает, в чем именно кроется самая геометрическая сущность различия числа измерений плоскости и прямой» (Лузин). Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе),— такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта содержит четырёхкратные точки.
С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая
Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом
Здесь приведены первые шесть итераций последовательности кривых.
Гамма-функция
Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .
Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл.



На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество
Определение
Построение графика квадратичной функции
Примеры преобразований графика функции
Q1
Q2
Q3
Q4, Q5, Q6
Q7
y= x (1)
Q1
Выделение полного квадрата
y = (x – 3) (2)
y = 2(x – 3) (3)
y = 2(x – 3) – 2 (4).
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1
в трех различных системах координат
Q2, Q3
Cтепенная функция как композиция трансцендентных функций
Q3, Q4
Основное логарифмическое тождество
Кусочно-линейная функция как композиция трансцендентных функций
Q4
Функция Ван-дер-Вардена
 Пусть  f – функция, равная расстоянию от точки x до ближайшей целочисленной точки,



где . Функция   – непрерывная на всей числовой оси, периодическая с периодом 1, линейная на каждом отрезке , где s – целое число.
Q1, Q2
Q3
0
1
a
a
a
x
x
x
x
e
2
n
a
2
2
2
2
x
Анализ тестирования
Выводы
В презентациях недостаточно подробно рассматривались определенные вопросы, поэтому ребята хуже подготовились к ним
Тест 1
Тест 2
Тест 3
Хуже справились с заданими: перечислить свойства линейной и логарифмической функции.
Наибольший успех имели задания определить линейную функцию по графику и уравнению.
Хуже справились с заданиями: определить по графику является ли функция иррациональной, нахождение точек максимума и минимума.
Наибольший успех имели задания: решить систему уравнений, найти нули функции, определить периодичность функции.
Хуже справились с заданиями: применение функции Дирихле, определение функции Вейерштрасса, виды дельта-функции и о распределении Пуассона .
Наибольший успех имели задания: о разрывности функции, теоремах Вейерштрасса, кривой Пиано, о параметрах нормального распределения .
Интегративный анализ работы подгрупп
1 место
2 место
3 место
2 подгруппа
3 подгруппа
1 подгруппа
Подведение итогов
и рефлексия

Итоги
Не понравилось
Понравилось
Нейтрально
=
)
Full transcript