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피보나치수열과황금비

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by

유진 손

on 13 December 2012

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Transcript of 피보나치수열과황금비

피보나치수열과
황금비 조원 : 김근휘 권현우 박수은 손유진
지도교사 : 손혜선 자연속 황금비 감사합니다. 황금비의 활용 피보나치 수열과 황금비의 관계 황금비란? 자연속 피보나치 수열 발표 내용 생활속 피보나치 수열 피보나치 수열이란?(유래)
생활속 피보나치 수열
피보나치수열의 일반화
자연속 피보나치 수열
황금비란?(유래)
피보나치 수열과 황금비의 관계
황금비의 활용
자연속 황금비 어떤 수열의 항이, 앞의 두 항의 합과 같은 수열을 피보나치 (Fibonacci) 수열이라고 한다.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233...
1 + 1 2
2 + 3 5
3 + 5 8 식물, 고등, 소라 등의 나선 모양
피보나치 수열은 신비롭게도 황금비를 만들어낸다. 꽃잎 - 피보나치수열을 가장 쉽게 찾을 수 있는 부분이
‘꽃잎’입니다.
각 꽃잎 수(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89)를
작은 수부터 차례대로 나열해 수열로 만들고 맨 앞에
1을 하나 더 배치하면 ‘피보나치수열’이됩니다. 이 수열의
특징은 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3처럼 3번째 위치 이상의
수는 바로 앞에 높인 두 수의 합이란 점입니다. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
위 피보나치수열의 앞의 수에서 뒤의 수를 나누면 점점 황금비란 어떤 양을 두 부분으로 나누었을 때
각 부분의 비가 가장 균형있고 아름답게 느끼는 비 황금 사각형 - 가로와 세로의 비가 황금비인 직사각형을
황금사각형이라고 합니다. 앵무조개 껍질의 무늬, 해바라기 꽃씨의 배열, 선인장의 나선 배열,
솔방울씨의 배열, 파인애플 눈의 배열, 국화 꽃잎의 배열 등에는
황금비가 숨어 있습니다. 피보나치 수열이란? 피보나치 수열의 유래 피보나치 수가 처음 언급된 문헌은 기원전 5세기인도의 수학자핑갈라가 쓴 책
유럽에서 피보나치 수를 처음 연구한 것은 레오나르도 피보나치 피보나치 수열의 일반화 트리보나치 수




테트라나치 수




펜타나치 수,헵타나치 수, 헥사나치 수
n-나치수 트리보나치 수는 0, 0, 1(0, 1, 1, 또는 1, 1, 2)로 시작하며, 다음 트리보나치 수는 바로 앞의 세 트리보나치 수의 합이 됩니다. n=0, 0, 1,...로 시작하는 트리보나치 수는 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609...입니다. 테트라나치 수는 0,1,1,2로 시작되며, 다음 테트라나치 수는 바로 앞의 네 테트라나치 수의 합이 됩니다.
n=0, 0, 0, 1,...로 시작하는 테트라나치 수는
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569,...입니다.
n 1개의 0과 1개의 1로 시작한다.
다음 수는 바로 앞의 n개의 수의 합이 된다.
또한 n + 2번째 수부터 2n번째 수까지는
2의 거듭제곱인 수들이다. 식물의 가지 - 식물이 가지를 뻗으며 자랄 때 가지의 수는 그림에서
보는 것처럼 피보나치 수를 유지합니다. 처음
에는 한 가지가 2개로 나누어진 다음 이들 두가지 중 새로 난 가지가 다시 2개로 나누어지는 동안 다른 것은 나누어지지 않습니다. 하나가 가지를 나누면 다른 가지는 쉬는 이러한 현상은 각 가지가 생길 때 마다 반복됩니다. 그러나 실제로 피보나치 수를 유지하며 자라는 식물은 환경적인 요인 때문에 완벽한 표본을 찾기 어렵습니다.   이와 같은 규칙을 발견할 수 있는데 생긴 8줄의 인편이 있는가 하면 왼쪽으로 경사져 내려오는 다이아몬드 무늬 모양으로 오른쪽으로는 13줄의 비스듬히 내려오는 인편이
있습니다. 황금비 ( 1.618 )에 가까워집니다. ex) 1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = 1.5 5/3 = 1.6667 8/5 = 1.6 13/8 = 1.625 21/13 = 1.615 ..... 이와 같이 점점 1.618에 가까워짐을 알 수 있습니다.(황금비) 왜 피보나치 수열은 황금비와 관련이 많은가? 그 이유는 피보나치 수열의 식이 안에 황금비가 포함되기 때문입니다. 황금비는 1.618 : 1 이라고 표현하지만, 그리고 피보나치 수열의 일반식은 여기서 n=1,2,3,4,5.... 를 넣으면 1,1,2,3,5... 가 나옵니다. 입니다. 정확히 말하면  입니다.  디자인 디자인에서도 피보나치수열이 적용된 사례가 많이 발견되고 있습니다. 바로 애플사의 로고와 휴대폰 디자인입니다. 고둥도 한 변의 길이가 만들어낸 나선 모양을 하고 있습니다.  한 변의 길이가 피보나치수
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 그림과 같은 나선형 그린 다음 곡선으로 정사각형을 연결하면 곡선이 됨을 알 수 있습니다. 솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽나선과 왼쪽나선을 이루며 교차하고 있는데, 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있습니다. 5와 8은 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항입니다. 피보나치 수열인 정사각형들이 고둥 - 솔방울 - 파인애플에서도 파인애플 5 8 13 황금비의 정의 유클리드의 원론에 나오는 최초의 정의 선분 AB의 길이를 x:1로 (단 x >1) 내분한 점 C에 대해 x를 황금비라 부른다. AB:AC=AC:CB인 경우, 이런 분할을 황금분할이라 부르고 따라서 x+1 : x = x : 1이 성립하므로 x2 – x - 1=0이어야 한다. 2차 다항식 x2 – x - 1은 2차 방정식의 근의 공식으로부터 다음이 성립한다. 조건에서 x>1이라 하였으므로 황금비 ϕ (‘파이’(phi))는 아래와 같다. 피타고라스 피타고라스는 인간이 생각하는 가장 아름다운 비 = 황금비 그래서 정오각형 모양의 별을 피타고라스학파의 상징으로 삼았습니다. 짧은 변과 긴 변의 길이의 비는 5 : 8입니다. 이것이 바로 황금비입니다. 이때, 짧은 변을 1로 하면, 5:8은 약 1: 1.618이 됩니다. 가운데 작은 정오각형을 만든다는 신비한 사실을 발견했던 것입니다. 피타고라스학파는 정오각형의 각 대각선은 서로를 황금비로 나누면서 다 빈치의 비너스상 - 배꼽을 중심으로 상반신과 하반신의 비,
상반신에서 목을 기준으로 머리 부분과
그 아래 배꼽까지의 비, 하반신에서 무릎을
기준으로 무릎 위 배꼽까지와 무릎 아래의
비가 모두 1 : 1.1618입니다. 정오각형 - 정오각형의 대각선과 그 한 변의 길이는 황금비를 이루고 있다. 이 사실에서 같은
꼭지점을 지나지 않는 2개의 대각선은 서로 다른 것을 황금분할하고 있습니다. 정오각형에서 B를 x, C를 1 이라고 두면 C : B가 황금비를 이루고 있다는 것을
쉽게 증명할 수 있습니다. 또한 이를 토대로 B : A, E : D, F : E가
황금비를 이루고 있다는 것을 알 수 있다. x 1 피보나치수열과 황금비율과 황금분할 그리고 황금나선은 자연과
우리 역사화 생활 속에서 자주 그리고 많이 발견된다. 아테네의 파르테논 신전 - 신전을 정면에서 보면 외부 윤곽은
완벽한 황금사각형입니다.
또 신전 기둥의 윗부분은 전체 높이를
황금분할하고 왼쪽에서 네번 째기둥
다섯째 번 기둥은 각각 전체 가로의
길이를 1:1.1618로 황금분할합니다. 33장 8장 A n+1 + A n+2 = A n+3

( 를 계속 계산하면 1.618…이란 황금비를 나타난다. 그리고 이 수열은 운명적으로 ‘신의 비율’인 황금비를 만들어낸다. ) 역할분배를 하고 있을 때, 우리 조는 빈번한 결석으로 얘기를 나눌 수
있던 시간이 적었고 그만큼 늦게 진행이 되었습니다. 걱정도 되고 막막하기도
하였지만 늦게 시작한 만큼 조원들이 잘 협동하고 좋은 생각들을 내어서 시간에
알맞게 다 완성 할 수 있었습니다. 처음에는 뭘 어떻게 해야 할지 몰라 해야하는데
라는 생각만 하고 열심히 하지 않았습니다. 그런데 하면 할수록 피보나치 자료 찾는
것들이 재미있어졌고 찾을수록 더 알고싶은 마음이 생겼습니다. 알면 알아갈수록 신기
하였고 어렵기만 했던 피보나치가 친숙하게 다가왔습니다. 생활속에서 피보나치수열이
쓰이고 있다는 것은 알고있었지만 이렇게 우리 생활에 많이 사용되고 있는줄은 몰랐습니다.
심지어 우리가 지금 사용하는 카드와 교과서에도 피보나치 수열이 사용되고있고 우리 몸에도
피보나치 수열이 사용되고 있다는 것을 알았을땐 아주 놀라웠고 신기했습니다. A4용지
1,2장의 보고서를 써가는 것은 해봤지만 이렇게 대규모로 한명이아닌 여러명이 모여 보고서를 작성하는 활동은 처음 해보게 되어 처음에는 막막하기도 하고 어떻게 해야 할지 몰라 이런 저런 방법을 써보느라 산출물 발표의 준비가 더디였습니다. 하지만 이 활동을 하며 협동심을 배우고
책임감,인내심등 많은 것들을 배웠고 무엇보다 피보나치라는 재밌고 신기한 수학 지식을
얻어간다는 것이 뿌듯합니다. 처음 해본 것이라 아직 미숙하고 부족한 점이 많아 보이지만
그래도 우리가 힘을 모아 이렇게 만들었다는 것 자체로도 충분히 만족합니다. 남들 앞에서
이렇게 발표하는 자리가 자주 있는 것도 아니고 많은 분들이 오신다고 하여 미흡하지만
최선을 다하여 만들었습니다.이번 활동은 힘들기는 했지만 우리에게 도움이 아주
되었던 것 같고 영재학급에 들어온 것이 아주 잘 된 일이라고 생각이듭니다. 이번
발표를 통해 1학년의 마지막을 보람있게 끝내는것 같아 기쁨니다. 느낀점 저희는 처음에 피보나치 수열이라는 주제를 정했을 때 막막함이 먼저 다가왔습니다. 다른 조는 주제를 정하고 빨리
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