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Formas de Cálculo de Reservas

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by

Lety Miranda

on 6 August 2014

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Transcript of Formas de Cálculo de Reservas

Formas de Cálculo de Reservas
Método Prospectivo
➢ Considera los compromisos futuros del asegurador y el asegurado, razón por la que se Le denomina Método de Previsión o de Expectativa.

➢ Basta con encontrar el valor actual del beneficio del seguro menos el valor actual de las primas netas que faltan por pagar.

➢ Para el caso del Seguro Ordinario de Vida contratado a edad “x”, y pagadero con primas anuales durante toda la vida. La reserva matemática al cabo de “t” años, quedaría representada por la siguiente ecuación.

Método Retrospectivo
➢ Se basa en los hechos ya cumplidos, siendo así un método de acumulación.

➢ La reserva se constituye tomando en cuenta lo cobrado y lo pagado por la Compañía de Seguros, considerando además los intereses devengados por una y otra parte. Al igual que el Método anterior, ilustraremos el caso a través de un Seguro Ordinario de Vida

➢ Consideremos “lx” personas al inicio del contrato y sea “t” el año para el cual se desea calcular la reserva. Al final del año quedan “lx+t” asegurados, para cada uno de ellos la compañía de seguros debe constituir una reserva tVx, y un fondo “lx+t *tVx” para el total de sobrevivientes.

Método de Fouret o Recurrencia
➢ El actuario francés Georges Fouret ideó un procedimiento para calcular la reserva de un año en función de la reserva del año anterior. Este método es de gran utilidad para comprobar reservas calculadas por otros métodos o para encontrar la de ciertos tipos de seguros cuyas primas requieran de un cálculo demasiado laborioso. El razonamiento para llegar a la fórmula es el siguiente.

➢ Al inicio del t-esimo año, la Compañía de Seguros tiene constituida, para cada asegurado, la reserva del año “t-1”, es decir t-1Vx. Y al cobrar la siguiente prima neta nivelada se tienen (t-1Vx + Px) pesos por cada asegurado, por lo que para los lx+t-1 se tienen lx+t-1*(t-1Vx + Px), que invertidos a una tasa de interés “i” durante un año constituirá un total de:

lx+t-1 * (t-1Vx + Px) * (1+i)

tVx = Ax+t – Px äx+t
Los cobros realizados por la compañía, tomando en cuenta los intereses devengados hasta el momento en que se calcula la reserva son los siguientes:

Año 1 .- “lx” primas invertidas con un valor “Px” cada una, que invertidas a una tasa “i” durante “t” años, acumularan un monto total de:

Px * lx * (1+i)t

Año 2 .- “lx+1” primas invertidas con un valor “Px” cada una, que invertidas a una tasa “i” durante “t-1” años, acumularan un monto total de:

Px * lx+1 * (1+i)t-1

Año t .- “lx+t-1” primas invertidas con un valor “Px” cada una, que invertidas a una tasa “i” durante “1” año, acumularan un monto total de:

Px * lx+t-1 * (1+i)1


Entonces...
Y así...
➢ Por otra parte los pagos hechos por la Compañía de Seguros serán los siguientes:

Año 1 .- $1.00 por cada fallecimiento ocurrido, en total “dx” pesos, que invertidos a una tasa “i” durante “t-1”años acumularan un monto total de:

dx * (1+i)t-1

Año 2 .- $1.00 por cada fallecimiento ocurrido, en total “dx+1” pesos, que invertidos a una tasa “i” durante “t-2”años acumularan un monto total de:

dx * (1+i)t-2
Año t .- $1.00 por cada fallecimiento ocurrido, en total “dx+t-1” pesos, dado que estamos precisamente en el año de valuación “t”.

➢ Igualando la diferencia entre lo cobrado y lo pagado por la compañía de seguros, con la reserva que debe tener constituida la Compañía de Seguros para el año “t”, se tiene la siguiente ecuación:

l+t * tVx = ( Px*lx*(1+i)t + Px*lx+1*(1+i)t-1 +……….Px*lx+t-1*(1+i)1 )
-( dx * (1+i)t-1 + dx * (1+i)t-2 +….. dx+t-1)

Y utilizando valores conmutados llegaríamos a la siguiente ecuación:

tVx = [Px (Nx – Nx+t) – (Mx – Mx+t)]/Dx+t

que es la reserva matemática calculada en el año “t” y al igual que el método anterior, basta con sustituir la prima neta nivelada de cada uno de los diferentes tipos de seguros para que la ecuación sea de aplicación general.

Por último:
Con este fondo se deben pagar los seguros de los dx+t-1 fallecimientos que se producen en el año (t-1 , t], suponiendo que las reclamaciones se pagan al final del año. Asimismo, se deberá constituir una reserva final “tVx”, para cada uno de los “lx+t” asegurados que sobrevivan hasta el año “t” lo que en conjunto deberá ser:

dx+t-1 + lx+t * tVx

igualando las obligaciones anteriores, se obtiene la siguiente ecuación:

lx+t-1 *(t-1Vx + Px)*(1+i) = dx+t-1 + lx+t * tVx

de donde despejando t-1Vx se obtiene la siguiente ecuación:

tVx = [ lx+t-1 * (t-1Vx + Px) * (1+i)- dx+t-1] / lx+t

Entonces...

Método de Diferencia en Primas
Este método tiene similitud con el método retrospectivo, siendo por lo tanto de acumulación y valuación de compromisos en un año determinado.
 El nombre del método surge debido al siguiente razonamiento.

Supongase:

- Una persona de edad “x”.

- Un Seguro Ordinario de Vida Ax al que deseamos calcular su reserva al t-esimo año, con una suma asegurada de $1.00 pagadero al final del año en que ocurra la muerte del asegurado.
PROPUESTO
Por ello...

- Un Seguro Temporal Ax:t con una duración de t-años y una suma asegurada de $1.00 pagadero al final del año en que ocurre la muerte del asegurado.

Con estos supuestos, se garantiza que en ambos seguros se constituye una reserva que corresponde a una suma asegurada de $1.00.

Debido a que la reserva del Seguro Temporal es igual a cero al final del año “t”, se deduce que la diferencia en primas de los dos seguros, Ordinario de vida menos Temporal, acumuladas hasta ese año sería igual a la reserva del t-esimo año del seguro vitalicio que deseamos calcular.
De este modo...
 Técnicamente sería lo siguiente.

Sea Px la prima neta nivelada del Seguro Ordinario de Vida que en valores conmutados se expresa como.

Px = Mx/Nx
Y Px:t la prima neta nivelada del seguro temporal igual a:

Px:t = (Mx – Mx+t)/(Nx – Nx+t)

La reserva en el año “t” que debemos constituir para las personas que contrataron el Seguro Ordinario de Vida es igual a:

lx+t * tVx

Entonces...
Las diferencias de las primas valuadas en el año “t” son iguales a:

(Px-Px:t)*lx*(1+i)t + (Px-Px:t)*lx+1*(1+i)t-1+……+(Px-Px:t)*lx+t-1*(1+i)

Por lo que igualando los compromisos anteriores se tiene:

lx+t*tVx = (Px-Px:t) [lx*(1+i)t + lx+1*(1+i)t-1+……+ lx+t-1*(1+i)]
Multiplicando la ecuación anterior por Vx+t se obtiene la siguiente ecuación en valores conmutados

Dx+t*tVx = (Px-Px:t)*[Dx + Dx+1 + Dx+2 +…………..Dx+t-1]

Por lo tanto, la reserva del Seguro Ordinario de Vida en el t-esimo año será:

tVx = (Px-Px:t)* (Nx – Nx+t)/ Dx+t

Después...
Equivalencia Matemática del Método Propuesto con el Prospectivo
 Con el propósito de darle la validez necesaria al método propuesto, se demuestra su equivalencia matemática con el Método Prospectivo.

tVx = Px*(Nx-Nx+t)/Dx+t - Px:t*(Nx-Nx+t)/Dx+t

= (Mx/Nx)*(Nx-Nx+t)/Dx+t - (Mx-Mx+t)/(Nx-Nx+t)*(Nx-Nx+t)/Dx+t

= (Mx/Nx)*(Nx/Dx+t) - (Mx/Nx)*(Nx+t/Dx+t) - (Mx-Mx+t))/Dx+t

= Mx+t/Dx+t –Mx/Nx*Nx+t/Dx+t = Ax+t – Px*äx+t

Lo que demuestra que ambos métodos son equivalentes.

Es decir...
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