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프랙탈

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by

Su Min Lee

on 3 February 2015

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Transcript of 프랙탈

생활 속의 프랙탈
시어핀스 삼각형
1917년경 시어핀스키삼각형을 제시한 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키의 이름을 딴 것이다.
정삼각형을 정삼각형 4개로 나누고, 중간 부분을 제거한 후 또 새로 생긴 작은 정삼각형을 나누고 중간 부분을 제거하는 것을 무한히 반복한 도형이다.




코흐 곡선
프랙탈이란?
부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 자기 유사성 개념을 기하학적으로 푼 구조를 말한다.
프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것으로,

‘자기 유사성(self-similarity)’과 ‘순환성 (recursiveness)’
이라는 특징을 가지고 있다.
프랙탈의 특징
1.
자기 유사성
은 부분을 확대할 때 전체와 닮은 모습을 보여주는 성질이다.
2.
반복
이란 동일한 요소가 둘 이상 배열되는 상태이다. 형태와 형태사이, 공간과 공간사이 동일한 형태와 공간이 나타나 연속적인 패턴을 형성한다.
3.프랙털에는 질서가 있으나
혼돈스러운 모습
으로 나타난다.
4.
소수 차원
을 갖는다
프랙탈 Fractal
-A팀

유래
다양한 프랙탈 모형들
1. 시어핀스 삼각형
2. 코흐 곡선
3. 맹거스펀지
맹거 스펀지
프랙탈 23 (다케시 미야카와)

거위 털
프랙탈 가습기
번개
뇌의 표면
특징
이런한 과정을 반복하면 2차원인 평면에서 시작한 시어핀스키 삼각형은 몇 개의 직선만이 남아있는것처럼 보인다.
>시어핀스키 삼각형의 차원은 직선인 1차원보다는 크고 평면인 2차원보다는 작을 것

시어핀스키 삼각형 3개를 이용하여 원래의 2배의 크기인 시에르핀스키 삼각형을 만들 수 있으므로,
이 도형의 하우스도르프 차원은
log3/log2=약1.585
이다
.
성질
코크 곡선(Koch curve)는 수학의 곡선으로 가장 처음에 나온 프랙탈 도형중의 하나이다. 1904년 스웨덴의 수학자 헬리에 본 코크의 논문에 처음 등장하여 그런 이름이 붙었다.

시작하는 도형이 정삼각형인 경우 코크 눈송이(영어: Koch snowflake)라 하고 다음과 같이 만든다.

1. 정삼각형을 그린다.
2. 각 변을 3등분해서, 한 변의 길이가 이 3등분의 길이와 같은 정삼각형을 붙인다.
3. 2.의 과정을 무한히 반복한다.
멩거 스펀지(Menger sponge)는 오스트리아의 수학자 멩거가 고안한 프랙탈(fractal) 도형이다. 멩거는 일반적인 공간에서의 차원론을 확립한 사람이기도 하다.

시어핀스키가 고안한 '시어핀스키 삼각형'이
2차원 공간인 삼각형에서부터 출발하는 데 비하여 멩거 스펀지는
3차원 공간인 정육면체로부터 시작한다
. 멩거 스펀지를 만드는 방법은 시어핀스키 삼각형을 만드는 방법과 유사하다.
1. 정육면체의 각 변을 3등분하여 정육면체를 27개의 작은 정육면체로 나눈다.

2. 1의 정육면체 중에서 중앙의 정육면체 한 개와 각 면의 중앙에 있는 정육면체 6개를 뺀다.

3. 2에서 남은 정육면체(20개)를 가지고 1,2의 과정을 반복한다.

4. 3의 과정을 계속 반복 한다.
각 과정에서 물체의 표면적은 이전 단계의 3분의 4배가 되며, 물체의 부피는 전 단계의 27분의 20이 된다. 이런 식으로 계속 만들어가면
표면적은 무한히 넓어지고

부피는 0으로 수렴하는
물체가 완성된다.

맹거 스펀지는 미끄러운 곡선보다는 종이를 불규칙하게 구긴듯한 입체에 더 가깝다.
따라서 맹거 스펀지의 차원은
2차원보다 크고, 3차원보다는 작다.
실제로 맹거 스펀지의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면
2.7
이 된다.
브누아 망델브로,
Benoit B. Mandelbrot (1924~2010)
감사합니다~
1872년 카를 바이어슈트라스 - 전역에서 연속이지만 미분 가능한 점이 없는 함수
1883년 게오르크 칸토어 - 칸토어 집합
1904년 헬리에 본 코크 - 코크 곡선
1915년 바츠와프 시에르핀스키 - 시에르핀스키 삼각형
1916년 -시에르핀스키 카펫
1938년 폴 레비 - C 곡선

1975~6년 브누아 망델브로
크기를 변화시켜도 같은 형태를 띠며 반복한다. 카오스 안에서도 찾을 수 있는 질서있는 구조이며 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조이다.
프랙털은 공간을 불완전하게 사용하므로
,
프랙털 공간은 정수의 차원이 아닌
소수 차원의 공간
으로 간주된다.


힐버트는 3차원 유클리드 공간을 {R}^3이라보고, 이를 확장하여 n차원의 공간 {R}^n을 설정하며, 여기서 n을 자연수에서 실수로 확장한 것으로 볼 수 있다. 이 개념을 프랙털 차원이라고 한다.
프랙털 차원은 기존의 유클리트 기하학이 설명하지 못한 도형의 복잡도를 수치화할 수 있다. 분수부분이 커질 수록 도형의 복잡성이 늘어나며, 복잡한 도형이 된다.

또한 프랙털 차원 개념을 통해,
1차원과 2차원 사이, 2차원과 3차원의 사이 등의 기존의 차원 사이를 매우고 있는 소수 차원이 설명 가능해졌다.
응용 분야
프랙털이나 카오스 이론을 적용한 기술들은 인공지능,시뮬레이션,우주분야등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술등에도 적용되고 있다.
시에르핀스키의 삼각형은 어느 부분을 무한히 확대하더라도
처음 모습과 같은 도형이 등장
하며,
외곽선의 길이는 무한하지만 삼각형의 면적은 유한하다.
시어핀스키 삼각형의
변의 길이의 합은 무한대
이다. 처음 정삼각형의 둘레의 길이를 l이라 할 때, 과정2의 변의 길이는 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 길이는 가 된다.

시어핀스키
삼각형의 넓이는 0
이다. 처음 정삼각형의 넓이를 S라 할 때, 두 번째 과정에서는 3/4 S 가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 이 된다.
성질
코크 눈송이의 둘레의 길이는 무한하다.
넓이는 이다(s 는 초기 정삼각형의 변길이).

자기닮음성을 가지고 있다.
연속적이지만 모든점에서 미분불가능하다
특징 & 성질
규칙적이지만 불규칙적이고 무작위적인 것이 프랙털의 특징 중 하나이다. 무작위성은 복잡성의 세계를 잘 나타내주며 실제 존재하는 계의 예측불가능함과도 관련이 있다.
- 프랙탈 음악
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