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CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

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Pao Zuñiga

on 12 May 2014

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CONJUNTOS Y PROPOSICIONES
INTRODUCCIÓN.
LEONHARD EULER
Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió en San Petersburgo.
Matemático suizo, uno de los más grandes de todos los tiempos. Trabajó todas las ramas conocidas en su época y a todas aportó algo.
BERTRAND RUSSELL.
Trellech, 18 de mayo de 1872 - Penrhyndeudraeth, 2 de febrero de 1970. recibio el premio Nobel de Literatura.
En 1900 elabora Los principios de la matemática y poco después comenzaría su colaboración con A. N. Whitehead para escribir los tres volúmenes de los Principia Mathematica, la que sería su obra cumbre y en la que pretendía reducir la matemática a la lógica.
AUGUSTUS DE MORGAN
Madurai, India; 27 de junio de 1806 - Londres, Gran Bretaña; 18 de marzo de 1871.
De Morgan se interesó especialmente por el álgebra. En la moderna lógica matemática, llevan el nombre de De Morgan las siguientes leyes fundamentales del álgebra de la lógica: «la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones»; «la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones».
Autor de las Leyes de De Morgan:
Julius Wilhelm Richard Dedekind
Dedekind nació 6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de 1916.
Él que fue el primero en impartir clases universitarias sobre la teoría de las ecuaciones de Galois. Fue además el primero en comprender el significado fundamental de las nociones de grupo, cuerpo, Ideal en el campo del álgebra, la teoría de números y la geometría algebraica.
En su magistral artículo de 1872, Dedekind caracterizó los números reales como un cuerpo ordenado y completo, y ofreció un desarrollo de toda la cuestión que es un modelo de organización y claridad
Su trabajo sobre los números naturales fue también fundamental, sentando bases para la teoría de conjuntos, junto con Frege y Cantor
HISTORIA DE LA TEORIA DE CONJUNTOS.
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
DAVID HILBERT
Nace el 23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental y falleció el 14 de febrero de 1943, Gotinga, Alemania.
Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional.
FILÓN DE MEGARA
Lógico griego. Su polémica con Diodoro Cronos sobre el sentido de la implicación y su interpretación, reasumida por Russell y por Whitehead, es conocida como implicación filoniana.
HISTORIA DE LA TEORIA DE PROPOSICIONES
El punto de partida de toda estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida acerca de casos trascendentes. Esto implica que ha de existir absoluta claridad y distinción en todo lo concerniente al razonamiento deductivo válido, esto es: significado de los términos usuales, uso de proposiciones, definiciones, teoremas, etc. Todo ello obliga a una gran simplificación y a la introducción de un simbolismo adecuado e inequívoco, que permita razonar válidamente mediante reglas fijadas con claridad, aunque sean arbitrarias.
CONJUNTOS
DEFINICION:
Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos.
En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas.

Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos.
DETERMINACION DE CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS POR EL NUMERO DE ELEMENTOS
RELACIONES DE CONJUNTOS
REPRESENTACION GRAFICA DE CONJUNTOS
OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS.
Enumerando todos y cada uno de sus elementos.
Se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos.
o A := {1,2,3, ... ,n}

POR EXTENSIÓN.
POR COMPRENSION.
Colocando cuál es la propiedad que los caracteriza.
B = {p pertece Z, p es par}

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
T={x/3 < x >5, x es un numero entero}
K={ 10 }

Conjunto Unitario
Es aquel conjunto que no tiene elementos.
Se lo representa así: ={ }
Simbólicamente: f:{x/x ≠ x}

Conjunto Vacío (o nulo)
Ejemplo:
A = {es el conjunto de aves que tienen 3 patas}
B = {es el conjunto de hombres con 4 piernas}
Como se habrá dado cuenta no existe ninguna
ave u hombre con tres patas o cuatro piernas respectivamente, por tanto, estos conjuntos carecen de elementos y decimos que es un conjunto VACÍO.

Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos, se le simboliza por letra U, gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (uno cualquiera) se coloca la letra U.


Conjunto universal: (o universo)
Es aquel cuyos elementos se pueden contar en forma usual desde el primero hasta el último. El número de sus elementos se llama cardinal de conjunto.
Ejemplos:
N={número de carpetas del salón}
Q={x/x es letra del abecedario}

CONJUNTO FINITO
Si contamos no llegamos nunca a un último elemento del conjunto mencionado. A este tipo de enunciados se denominan conjuntos infinitos o indefinidos.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3,……………..,100} (es finito)
B = {1, 2, 3,…………………….} (es infinito)
C = {……-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4………} (es infinito)

CONJUNTO INFINITO
Son aquellos en donde se emplean líneas "(" para determinar la jerarquía entre conjuntos y se grafican uno debajo de otro teniendo en cuenta si es subconjunto o está incluido en el que va en la parte superior.
A = {a, b, c, d}
B = {c, a, d}
C = {a, d}
• Observamos que : C ( B; además B ( A; y como U es el conjunto universal (todas las letras del alfabeto)
Diagramas Lineales
Consiste en graficar mediante círculos, elipses, rectángulos, u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que se labora. Generalmente los puntos interiores a un rectángulo representan al conjunto del sistema.
Ejemplo:
Si el conjunto universal lo forman las letras del alfabeto y además se tiene los siguientes conjuntos:
A = {a, b, c, d}
B = {c, a, d}
C = {a, d}

Diagramas de Venn-Euler
DIFERENCIA
DIFERENCIA SIMETRICA
UNIÓN
INTERSECCIÓN
COMPLEMENTO
CARDINALIDAD
La cardinalidad corresponde al número de elementos que tiene el conjunto. Se obtiene comparando los elementos de un conjunto dado con los elementos del conjunto de los números naturales, y el último elemento correspondiente al conjunto de los números naturales da la cardinalidad del conjunto.
Se representa así: n(…), en donde entre los paréntesis ira el nombre del conjunto.

En el texto a continuación como tema principal tenemos conjuntos y proposiciones, aunque los dos van de la mano y sus investigaciones están entrelazadas hemos tratado cada una de forma individual y asi poder profundizar en cada uno de ellos para lo cual se ha llevado a cabo una investigación arrojando los siguientes contenidos el conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLOS
PROPOSICIONES
Una proposición se define intuitivamente como un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas.
CLASES DE PROPOSICIONES.
CONECTORES
LOGICOS

OPERACIONES CON PROPOSICIONES
PROPOSICION SIMPLE.
Son las que carecen totalmente de conectores lógicos; sean monódicos (como la negación) y binarios (que implican dos proposiciones) y que, por lo tanto, son inseparables. En este grupo se encuentran las proposiciones relacionales y las predicativas.
PROPOSICION COMPUESTA
Son aquellas que tienen una o
más conectores lógicas;
PROPOSICION NEGATIVA
Son proposiciones que presentan un conector monódico, porque afecta mayormente a una proposición simple, cambiando su valor de verdad.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
LEYES DE PROPOSICIONES
Nace en Berlín, 27 de julio de 1871 y falleció 21 de mayo de 1953 fue un lógico y matemático alemán.
Zermelo comenzó a trabajar en los problemas de teoría de conjuntos y en 1902 publicó su primer trabajo sobre la adición de cardinales transfinitos.
En 1904, dio con éxito el primer paso sugerido por Hilbert para la hipótesis del continuo, cuando probó el teorema del buen orden ("cada conjunto puede estar bien ordenado'").
En 1905 comenzó a axiomatizar la teoría de conjuntos; en 1908 publicó sus resultados a pesar de haber fallado en probar la consistencia de su sistema axiomático.
Ernst Zermelo
 Demostró que el baricentro, ortocentro y circuncentro están alineados. Recta de Euler.

 Argumentó que el infinito separaba los números positivos de los negativos de forma similar a como lo hace el cero.

 Definió las funciones logarítmicas y exponenciales

 Desarrolló el cálculo de números complejos, demostrando que tiene infinitos logaritmos.

 Introdujo los símbolos e, f(x), el sumatoria y la letra pi para dicho número (el honor a Pitágoras ya que era la inical de su nombre).

 Clasificó las funciones y formuló el criterio para determinar sus propiedades.

 Elaboró e introdujo la integración doble.

 Descubrió el teorema de la composición de integrales elípticas.

 Dedujo la ecuación diferencial de la línea geodésica sobre una superficie.

 Introdujo la ecuación de la expansión volumétrica de los líquidos.

 Fue el padre de la Teoría de Gráficas.
 Amplió y perfeccionó la geometría plana y de sólidos.
 Fue el primero en considerar el seno y el coseno como funciones.
 Introdujo los factores integrantes en las ecuaciones diferenciales.
 Ideó métodos para el desarrollo en serie de raíces.
 Inició el estudio de las funciones simétricas de las raíces.
 En álgebra, ideó métodos de eliminación y descomposición en fracciones simples.
 A él se debe la utilización de letras minúsculas para designar los lados de un triángulo y de las mayúsculas para los vértices
Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”.
2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864.
Desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos.
Considerado en el campo de las ciencias como el padre de las operaciones lógicas, así también como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación.

Algebra Boleana.
El algebra Boleana constituye un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.

GEORGE BOOLE
ZENÓN DE CITIO
La lógica de Zenón: Admite que todo el conocimiento viene a partir de los sentidos no hay ideas innatas, pero cuando el hombre adquiere sus conocimientos llega a percibir los conceptos comunes, es decir, los conceptos morales universales. Para los estoicos, los conocimientos lógicos no son innatos, sino sencillamente comunes a todos los hombres. El hombre percibe los conocimientos universales a través de los sentidos una intuición nos hace verlos a través de un hecho particular y no de una intuición divina como en sócrates y platón
CUANTIFICADORES, RAZONAMIENTOS Y DEMOSTRACIONES
BERNARD BOLZANO
5 de octubre de 1781- 18 de diciembre de 1848.
Matemáticas se basa de modo particular en sus aspectos especulativos.

Para Bolzano, no tenemos ninguna certeza en cuanto a las verdades, o a las supuestas como tales, de la naturaleza o de las matemáticas, y precisamente el papel de las ciencias, tanto puras como aplicadas es hallar una justificación de las verdades (o de las leyes) fundamentales, que con frecuencia contradicen nuestras intuiciones.
GEORG CANTOR

Georg Cantor nació el 3 de marzo de 1845, y fallece en Alemania el 6 de enero de 1918.
Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de los números irracionales y en 1874 apareció su primer trabajo sobre la Teoría de conjuntos.
En cuanto al estudio de los conjuntos infinitos. Cantor descubrió que aquellos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal.

Sistematizó el conjunto ℝ de los números reales y usó el concepto de conjunto abierto.

GOTTLOB FREGE.
Nacido en Wismar (actual Alemania) en 1848. Comenzó sus estudios en la Universidad de Jenaen 1869 trasladándose a Gotinga para completar sus estudios de física, química, filosofía y matemáticas, licenciándose en esta última hacia 1873. Al regresar a Jena se dedicó a la docencia de matemáticas, hasta su muerte acaecida en el año de 1925 en la localidad de BadKleinen.
Frege distingue dos enunciados de identidad “a = a” y “a = b”. La relación de identidad que aparece en estos enunciados no puede ser entre signos de objetos ni entre objetos. Si la identidad es entre objetos la información que nos proporciona (a = a) no es diferente de la que nos proporciona (a = b).


JHON VENN
Drypool, 4 de agosto de 1834 - Cambridge, 4 de abril de 1923.
En la teoría de conjuntos comúnmente utilizamos los diagramas de Venn, desarrollados por el lógico John Venn.
CUANTIFICADORES
RAZONAMIENTOS
DEMOSTRACIONES
El álgebra Boleana constituye un área de las matemáticas y ocupa un lugar importante en la computadora digital. Es usada ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadores; y, sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.
En informática y matemática es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y SI, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad, por ejemplo pertenencia, equivalencia u orden.
1.- Demostración Directa.-
Para la demostración de la validez o no validez de un razonamiento se puede aplicar el método de las tablas de verdad.

2.- Demostración por la Contrarrecíproca.-
Este tipo de demostración es conocido como “supongamos que no”.

3.- Demostración por Contradicción o reducción al absurdo.

4.- Búsqueda de Contraejemplos:-
Será falsa cuando exista, al menos, un elemento “a” en el universo del discurso para el cual p(a) sea una proposición falsa.
El razonamiento se define como el conjunto de proposiciones, en el cual, una de ellas se pretende que este fundada a partir de las demás.
(P1^ P2 ^ P3 ^ P4 ^ . . . ^ Pn) → C.
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