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VECTORES

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by

Sergio Danilo Cruz Paz

on 12 July 2016

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Transcript of VECTORES

A + B = R
VECTORES
A
R
B
0
-
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
y
PROPIEDADES VECTORIALES
PROPIEDADES VECTORIALES
módulo
sentido
dirección
punto de aplicación
* flecha
* ángulo

Un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física.
q
A = (Ax,Ay)
EJERCICIO
Indicar cuales de las siguientes magnitudes son
escalares
y cuales
vectoriales
. Explicar
¿por que?
y dar
un ejemplo
en cada caso.
1. Desplazamiento
2. Distancia
3. Tiempo
4. Velocidad
5. Rapidez
6. Volúmen
7. Peso
8. Masa
9. Fuerza
10.Temperatura
Representar gráficamente las siguientes magnitudes vectoriales:
a) Un automóvil que se dirige a 45° al Noroeste con una velocidad de 75 k/h
b) Una campana que pesa 25 lbs.
c) Un avión que se desplaza 400 km. hacia el oeste.
d. Una pelota de 2 kg de peso que cuelga de una cuerda y se mantiene en equilibrio.
45°
0
|
Ejemplo:
Solución:
Encontrar un escala apropiada, esta puede ser 20 km = 1 cm
Utilizando esta escala se puede construir
un factor de conversión que nos permite
encontrar el módulo de los vectores de la siguiente
manera:
100 kms = 100 km x 1 cm = 5 cms (primer vector)
20 km
/
/
0
20
40
60
1
0
2
3
Kilómetros
Centímetros
80
100
120
140
160
180
4
5
6
7
8
9
120 kms = 6 cms (tercer vector)
SUMA Y RESTA DE VECTORES EN FORMA GRÁFICA
EJERCICIO
Dados los vectores:
Calcular por el método del polígono:
1.
a + b + c
2.
c + a + b
3.
d + c + b
4.
a + b + c + d
N
N
N
N
EJERCICIOS
Método del Paralelogramo
Algunos Casos Gráficos de Suma de Vectores
El orden en que los vectores son sumados no cambia la resultante en ningún aspecto.
SUMA DE VECTORES EN FORMA ANALÍTICA
RESTA DE VECTORES
Una vez que se ha definido el negativo del vector, este se suma al otro vector utilizando cualquiera de los métodos conocidos.
a - b
Multiplicación
de vectores
PRODUCTO PUNTO ENTRE
VECTORES
Producto Cruz entre vectores
Ejemplos:
Definición:
Si
u = (a , b )
y
v = (a , b )
el producto punto de
u . v
en función de sus componentes esta dado por:

El producto punto de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Proyección del vector B sobre A
Módulo de A
Proyección del vector A sobre B
Módulo de B
u.v= (a . a ) + (b . b )
v
u
1
2
1
2
1
1
2
2
En el caso de la Resta de vectores el signo menos indica que el vector que se resta cambia de sentido, es decir que se convierte en un
vector negativo.
-B
=
Ejemplos:
x
y
Ejemplo de suma de vectores
con vectores unitarios
A
B
Paso 1
. Expresar los vectores a sumar en términos de vectores unitarios.
Paso 2
. Se suman los vectores "i" de
cada vector respetando la ley de signos.
Paso 3.
Se suman los vectores "j" de cada vector respetando la ley de signos.
Paso 4.
El vector Resultante se expresa como los totales de la suma de los vectores "i" + el total de la suma de los vectores unitarios "j".
Expresar los vectores A, B y C en función de vectores unitarios y realizar la siguiente operación:
3A + 2B - C
E J E R C I C I O S
La cuadricula de la figura tiene divisiones de 1 cm. por lado.
Una partícula recorre la trayectoria ABC mostrada.
Encontrar el desplazamiento resultante utilizando vectores unitarios.
PROBLEMA
(Plano Cartesiano)
Proyección de u sobre v
Ejemplo:
Interpretación geométrica del Producto Punto
A
.

B
Producto Punto entre Vectores
Ejemplos:
Ejercicio
¿ Cual es el valor de a.b?
1. 10
2. 18
3. 20
4. 28
5. 38
1
2
3
4
CANTIDADES VECTORIALES
Y ESCALARES
Una
cantidad vectorial
se especifica completamente por su
magnitud, dirección y sentido
. Consiste en un número, una unidad y una orientación angular. Ejemplo: desplazamiento (20 m, norte)
¿Que es un Vector?
Las magnitudes vectoriales se representan por un ente matemático que recibe el nombre de
Vector.
¿Que es un Vector?
Se representa como un segmento
orientado con una dirección y dibujado
en forma similar a una flecha.
Su longitud representa el
módulo
del vector.
La flecha respecto al ángulo indica la
dirección.
La punta de la flecha indica su
sentido.
PROPIEDADES VECTORIALES
Es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física.
EL NOMBRE
El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector. Las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo. Ejemplo:
a
R
Sentido
El módulo siempre es positivo por definición.
e + f
Componentes rectangulares de un vector
Para encontrar las componentes rectángulares se debe utilizar el Teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas.
V = 26.9
y
Encontrar los componentes rectángulares de los vectores propuestos.
Encontrar además la magnitud, dirección y sentido del vector original.
D
E
F
°
°
°
°
VECTORES UNITARIOS
Una cuerda se enreda alrededor de un poste telefónico, en un ángulo de 70.5° . Si de uno de los extremos se tira con una fuerza de 9 N y del otro con una fuerza de 8 N.
¿Cual es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?

9 N
8 N
70.5°
O
|
Newtons
Centímetros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Solución:
Usando la escala de 1 cm. = 1 N
tenemos:
a= 8 cm
y
b= 9 cm
Se dibuja a escala el vector
a
sobre la horizontal y luego el vector
b
teniendo en común el origen y formando un ángulo de 70.5° entre ellos.
Luego se completa el paralelogramo y se dibuja la resultante a partir del origen. Al medir la longitud y el ángulo con regla y transportador se obtienen los valores de 14.4 N para la magnitud y de 37.5° para la dirección. Así:
R = (14.4 N, 37.5°)
R
Producto de un vector por un escalar
Ejercicios:
Calcular la suma de vectores que se indica a continuación utilizando el método del paralelogramo:
F3
F4
1. F1 + F2
2. F1 + F3
3. F1+ F4
4. F2 + F3
5. F2 + F4
6. F3 + F4
°
°
°
°
0
5
Calcular la resta de vectores que se indica a continuación utilizando el método del paralelogramo:
F3
F4
1. F1 - F2
2. F1 - F3
3. F1- F4
4. F2 - F3
5. F2 - F4
6. F3 - F4
°
°
°
°
EJERCICIO
Calcular utilizando componentes vectoriales:
1. A+B+C+D+E
2. A-B+C-D+E
3. A-C-E
4. B - C + D
5. B - D+E+C
EJERCICIO
Componentes rectangulares de un vector
en el plano cartesiano
E J E M P L O S
Calculando F por medio del Teorema de Pitágoras:
Calculando el ángulo utilizando función Tangente
Calculando R por medio del Teorema de Pitágoras:
Calculando el ángulo por medio de la función Tangente
R
COMPONENTES RECTANGULARES
Otros Ejemplos
No olvidar que
La convención es:
R = Rx + Ry
Ay
+
By
+
Cy
Ax
+
Bx
+
Cx
Ejemplo Gráfico
0
|
0 =
|
F3
F4
A.B = área del rectángulo (en la dirección de B)
R =
A
+
B
+
C
¿Cual es la magnitud de la fuerza resultante que actua sobre el montacargas viajero que se muestra en la siguiente figura?
¿Cual es la magnitud de la velocidad resultante y su dirección de las tres que actuan sobre la lancha que atraviesa por una corriente marina como se observa a continuación?
¿Cual es la magnitud de la fuerza resultante y su dirección de las dos cuerdas que se muestran a continuación?
PROBLEMAS
¿Cual es la magnitud de la velocidad resultante y su dirección de las dos que actuan sobre la lancha que quiere salir del muelle oeste hacia la otra orilla del río?
Dados los vectores F2 y F1 , calcular el producto punto de F2 . F1
°
°
60 kms = 3 cms (segundo vector)
0
Midiendo con una regla, encontramos
que la resultante marcada en el dibujo
tiene una longitud de 10.8 cm. Por
lo tanto, la magnitud es:
10.8 cm = 10.8 cm x 20 km = 216 km
1 cm
/
/
Midiendo el ángulo 0 con un transportador, encontramos
que la dirección es de 41°.
El desplazamiento resultante es, por lo tanto:
R = (216 km, 41°)
|
E J E M P L O:
u = (5.89 i + 1.12 j ) y v = (3 i + 0 j)
u . v = (5.89 i + 1.12 j) . (3 i + 0 j) = (5.89)(3) + (1.12)(0) = (17.67) + (0) =
17.67
(18)(0.982)=
17.67
B . A
A . B
F
d
u y v
EJEMPLO
PRODUCTO CRUZ
Sean los vectores: u = (18,18) y v = (28,0)
El producto punto de u.v = (ux.vx)+(uy.vy)= (18.28) + (18.0) = 504+0
u . v =
504
u = (18, 18)

v = (28 , 0)
(18.28) + (18,0)
Sea el vector:
v = (2,1)
y los escalares:
a = 2
y
k= -1
Calcular:
1) a . v y 2) k. v
a . v = 2 . (2 , 1) = (4 , 2)
k . v = -1. (2 , 1) = (-2 , -1)
Ejemplo de aplicación:
Peso (w)
w = mg
Peso (N)
masa (kg)
aceleración de la gravedad (m/s )
2
T
T
T
=
a
b
a - b
= C
a
b
EJERCICIOS PRODUCTO CRUZ
Calcular el producto cruz de :
Siendo los vectores:
U = 3 i + 4 j + 6 k
V = 3 i + 5 j + 2 k
A = i + 5 j + 2 k
B = 4 i + 3 j + 4 k
U x V
A x B
V x A
V
V
V
V
V
Calcular el producto cruz de A x B:
Características
1.
El producto cruz entre vectores solo existe en el plano tridimensional (ejes x, y z).
2. El vector resultante (
a

x
b
) es ortogonal (forma un angulo de 90°) con respecto al vector "
a
" y al vector "
b
".
y
3. La magnitud del vector resultante (
a
x
b
) es igual al área del paralelogramo formado por los vectores "
a
" y "
b
".
B
A
x
B
= |
A
||
B
|
Sen 0
/
A
x
B
=
C
|A||B|Sen 0
2
/
U
U x A
B x U
V x B
A.B = |A||B| Cos 0
A
B
A
B
A
B
+|A||B|
0
- |A||B|
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