Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

özlem

Andrew Wiles
by

ozlem merve

on 4 January 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of özlem

ANDREW WİLES Yüzyılın en önemli matematik dersiydi. 200’den fazla matematikçi yerlerinde kıpırdamadan oturuyordu. Bir gün öncesinden başlayan söylentiler, bu dersin sonunda dünyanın en ünlü matematik sorusunun, Fermat’ın Son Teoremi’nin çözüleceğini belirtiyordu. Böyle söylentiler hiç de seyrek rastlanan şeyler değildi. Fermat’ın Son Teoremi konusu durup dururken bir kez daha ortaya atılıverir, matematikçiler kendi aralarında kim nerede ne yapıyor diye konuşup dururlardı. Ama sonuç yine sıfır olurdu. Üç karatahta da işlemlerle dolduğunda, konuşmacı biraz durdu. İlk tahta silindikten sonra cebirsel işlemlere devam etti. Yazılan her satırla çözüme doğru küçük bir adım daha atılmış oluyordu, ama otuz dakika geçtiği halde konuşmacı hala ispatın tamamlandığını ilan etmemişti. Ön sıraları dolduran profesörler sabırsızlıkla sonucu bekliyorlardı. En arkada ayakta duran öğrenciler ise sonucun nasıl bir şey olduğuna dair bir ipucu almak umuduyla gözlerini öğretmenlerine çevirmişti. 23 Haziran 1993, Cambridge Konuşmacı,
ağırbaşlı bir İngiliz olan
Andrew Wiles’tı.
1980’lerde Amerika’ya göçmüş, Princeton Üniversitesi’nde öğretim üyesi olmuştu. Kendi kuşağının en yetenekli matematikçilerinden biri olarak tanınıyordu. Ama son yıllarda konferans ve seminerlerde neredeyse hiç görünmez olmuştu ve meslektaşları da
artık işinin bittiğini düşünmeye
başlamışlardı. G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology adlı kitabında
“ Gençler teorem ispatlamalı, yaşlılar ise kitap yazmalı” demişti.
Oysa Andrew Wiles kırkına vardığı halde,
son yedi yıl boyunca çalışmasını
tam bir gizlilik içinde sürdürmüş,
matematiğin en büyük problemini çözmeye girişmişti. Başkaları artık sonunun geldiğini düşünürken
Wiles inanılmaz gelişmeler kaydediyordu,
yeni teknikler ve araçlar yaratıyordu
ve artık bunları açıklayabilecek duruma gelmişti. Tam bir yalnızlık içinde çalışma kararı çok riskli bir stratejiydi ve matematik dünyasında duyulmamıştı.

Buluşların patenti olmadığından, herhangi bir üniversitenin matematik bölümü, diğer bölümlerin yanında en az gizliliği olan yerlerdir. Bunun sonucunda bir matematik ekibi tarafından hazırlanmış makaleler artmakta, başarı onuru da eşit olarak paylaşılmaktadır.
Eğer Profesör Wiles, Fermat’ın Son Teoremi’nin gerçekten tam ve doğru bir çözümünü bulduysa, matematik dünyasında en çok arzulanan ödül onun olacaktı.
Gizli çalışmasının bedeli ise, fikirlerini hiçbir matematik topluluğuyla tartışıp sınamamış olmasıydı. Yani temel bir hataya düşme ihtimali hiç de az değildi.
Aslında en iyisi, Wiles’ın çalışmasını yeniden gözden geçirmeye daha çok zaman ayırması,
notlarını baştan sona kontrol etmesi olurdu.
Ama buluşunu Cambridge’deki Isaac Newton Enstitüsü’nde sunma fırsatı çıkınca,
bunu kaçırmak istememişti.
Bu enstitünün tek amacı, dünyanın en büyük zekâlarını bir araya getirip kendi seçtikleri araştırma konularında seminer vermelerini sağlamaktır. Bu nedenle Isaac Newton Enstitüsü’nde yapılan seminerlere “L-fonksiyonları” adı verilmiştir.
Böyle seçkin bir dinleyici topluluğuna konuşabilme olanağının yanı sıra
buluşunu Isaac Newton Enstitüsü’nde açıklamak istemesinin asıl nedeni;
bu yapının kendi memleketi Cambridge’de oluşuydu. Wiles burada doğup büyümüş,
sayı kuramına olan tutkusunu burada geliştirmiş ve hayatının geri kalanına egemen olan problemle
ilk kez burada karşılaşmıştı. Andrew Wiles
1963’de henüz on
yaşındayken
matematiğe
büyük hayranlık
duymaktaydı.



“Okuldayken problem çözmeyi seviyordum. Bunları yanıma alıp eve getiriyor,
kendime ait yeni problemler oluşturuyordum.
Ama karşıma çıkmış
problemlerin en iyisini
semt kütüphanesinde
keşfettim.” Bir gün genç Wiles okuldan eve dönerken, Milton Road’daki kütüphaneye uğramaya karar verdi. Okul kütüphaneleri ile karşılaştırınca oldukça fakir olan bu kütüphanede bulmaca kitapları büyük yer kaplıyordu. Wiles’ın asıl ilgisini çeken bu kitaplar, bilimsel kelime oyunları ve matematik bilmeceleriyle doluydu. Her sorunun cevabı da kitabın son sayfalarındaydı. Ancak bu defa eline geçen bir kitapta tek bir soru vardı. Üstelik çözümü de verilmemişti. Eric Temple Bell’in
The Last Problem adlı eseri kökleri antik Yunan’a uzanan ama en son halini 17. Yüzyılda almış bir matematik probleminin tarihini anlatıyordu. O zamanlar
büyük Fransız matematikçi
Pierre de Fermat bu soruyla
bütün dünyaya meydan okumuştu. Büyük matematikçiler peşpeşe Fermat’ın mirası önünde boyun eğmiş, 300 yıl boyunca kimse bu problemi çözememişti. Bell’in kitabını okumasından
otuz yıl sonra Wiles,
Fermat’ın Son Teoremi’yle ilk karşılaştığında
neler hissettiğini anlattı:

“O kadar basit gözüktüğü halde
tarihteki hiçbir büyük matematikçi
çözememişti onu.
İşte benim, on yaşında bir çocuğun
anlayabileceği bir problem.
O andan itibaren peşini hiç bırakmayacağımı
biliyordum.
Onu mutlaka çözmeliydim. “ The Last Problem Problemin bu kadar açık görünmesini sağlayan,
onun aslında Pythagoras teoremine bağlamasıdır:
“Dik açılı bir üçgende hipotenüsün karesi,
diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir.”
Bu, her masum okul çocuğunun öğrenmek zorunda kaldığı
en temel teoremdi.



Sayılar ve doğa arasındaki bağlantılardan en önemlisi
kurucusunun adını taşıyan teoremdi.
Bu teorem bütün dik açılı üçgenler için doğru olan ve dik açının kendisini tanımlayan bir denklem sunmaktadır.
Öte yandan dik açı da dikeyi, yani düşeyle yatayın ilişkisini ve en sonunda da evrenin üç boyutu arasındaki ilişkiyi tanımlar. Pythagoras,
teoreminin bütün dik açılı üçgenleri için doğru olduğunu biliyordu.
Onun bu güveninin nedeni, matematiksel ispat kavramında yatar.
İspat yoluyla gerçek doğruya varma arzusu, matematikçileri son 2500 yıl boyunca hep harekete geçirmiştir. PYHTAGORAS TEOREMİ'NDEN FERMAT'IN SON TEOREMİ'NE Pythagoras’ın teoremi genç Andrew Wiles’ın
kütüphanede bulup ilgilendiği Bell’in The Last Problem adlı kitabında tartışılmaktaydı.
Wiles kısa sürede

denkleminin karanlık bir yanının da bulunduğunu gördü: Bell’in kitabı bir matametik canavarının varlığından bahsediyordu.
Pythagoras denkleminde üç değişkenin de kareleri alınır.
Ancak kitapta aynı üç değişkenin küplerinin alındığı
bir kardeş denklem de belirtilmiştir.
Bu denklemde x’in kuvveti denilen şey artık 2 değil 3’tür. İlk denklem için tam sayılı çözümler kolaydı, oysa kuvvet “2”den “3”e çıktığında oluşan kardeş denkleme tamsayılı çözümler bulmak imkansız gözüküyordu. Kuşaklar boyunca matematikçilerin tuttuğu notlar, bir türlü bu denkleme tam uyabilen sayılar çıkaramamıştı. “Kareli” olan orijinal denklemde yapılması gereken denklem iki karenin karolarını bir üçüncü kare oluşturacak şekilde yeniden düzenlemekti. “Küpler” söz konusu olduğunda ise büyük küpleri oluşturan blokları yeniden yerleştirip üçüncü bir büyük küp yapılması isteniyordu.
Hangi küpten başlanırsa başlansın varılan sonuç ya tam bir küp ve birkaç fazla blok, ya da eksik kalmış bir küptür.
Küplü denkleme tam olarak oluşturacak üç sayı bulmak imkansız görünmektedir.
Bir başka deyişle
bu denkleminin
tamsayılardan oluşan
bir çözümü yoktur. Ayrıca denklemdeki kuvvet değeri 3 yerine n olarak gösterilen daha büyük herhangi bir sayı olduğunda çözüm yine olanaksız görünmektedir.
Muhtemelen tamsayılı çözümü olmayan bu denklemler şu genel denklemle gösterilebilir:

n›2 olmak üzere Pythagoras
denklemindeki 2’yi
daha büyük bir sayıyla
değiştirmek, daha önce
kolayca bulunan tamsayılı
çözümleri çıldırtıcı bir iş haline
getirmeye yetmektedir.
Pierre de Fermat’ın
bu konudaki şaşırtıcı iddiasına göre,
çözüm bulunamamasının nedeni
zaten çözümün olmayışıydı.
Fermat, sonsuz çokluktaki sayıları
tek tek denemiş olamazdı.
Pythagoras nasıl teoreminin doğruluğunu göstermek için bütün üçgenleri sınamak zorunda kalmamışsa,
Fermat da kendi teoremini doğrulamak için
bütün sayıları denemek zorunda değildi. Wiles, Bell’in kitabının bölümlerini okudukça, Fermat’ın Pythagoras’ın eserine nasıl bir hayranlık duyduğunu ve sonunda Pythagoras denkleminin saptırılmış bir şeklini araştırdığını öğrendi. Sonra da Fermat’ın iddiasını okudu: Dünyanın bütün matematikçileri sonsuza dek uğraşsalar da, denkleme bir çözüm bulamayacaklardı. Wiles, Fermat’ın Son Teoremi’nin ispatını okuyacak olma düşüncesinin verdiği hazla sayfaları çevirdi ama kitapta ispat yoktu. Bell, ispatın uzun zaman önce kaybolduğunu belirterek kitabını bitiriyordu. Wiles şaşırıp kalmıştı.

300 yıldan uzun zamandır en büyük matematikçiler, Fermat’ın kaybolmuş ispatını yeniden bulmak için uğraşmışlar ancak başaramamışlardı. 1742 de, yani Fermat’ın ölümünden hemen hemen bir yüzyıl sonra İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, belki bir önemli kağıt parçası kalmıştır umuduyla, arkadaşı Clêrot’dan Fermat’ın evini aramasını istemişti. Ancak Fermat’ın ispatının nasıl bir şey olduğuna dair hiçbir ipucu bulunamadı. Milton Road Kütüphanesi’nde on yaşında bir çocuk oturmuş, matematikte adı en çok kötüye çıkmış problemi inceliyordu.
Genellikle bir matematik problemini anlamak,
zorlukların yarısını geçmiş olmak demektir.
Ama bu kez öyle değil, soru basit:
n›2 olmak üzere
denkleminin çözümünün olmayacağını ispatla!
Gezegendeki en parlak zekaların bile bu ispatı
yeniden bulamamış olmaları Andrew’ı yıldırmamıştı.
Hemen ders kitabındaki bütün teknikleri kullanarak ispatı yeniden yapmayı denemeye koyuldu.
Fermat hariç herkesin gözden kaçırdığı bir şeyi belki de o bulacaktı. Dünyayı ayağa kaldırdığını hayal ediyordu. Otuz yıl sonra Andrew Wiles artık hazırdı. Isaac Newton Enstitüsü’nün büyük toplantı salonunda tahtaya bir şeyler yazdıktan sonra, neşesini korumaya çalışarak yüzünü dinleyicilere çevirdi. Konuşması doruk noktasına varmak üzereydi ve dinleyicileri de bunun farkındaydı. İçlerinden bir iki tanesi belli etmeden salona fotoğraf makinesi sokmayı başarmıştı; böylece Wiles’in bitiriş cümlelerine flaş ışıkları eşlik etti.
Wiles elinde tebeşir, son bir kez daha tahtaya yöneldi. Mantıksal adımları ifade eden birkaç satır daha yazarak ispatı tamamladı.
300 yıldan uzun zamandan beri ilk kez Fermat’ın meydan okuyuşuna cevap verilmişti. Wiles Fermat’ın son teoremini bir daha yazdı ve alçakgönüllü bir havada “Sanırım bu kadar.” dedi.
İki yüz matematikçi coşkuyla alkışlayıp bağırarak Wiles’ı kutluyordu. Andrew Wiles otuz yıllık rüyasının artık gerçek olduğuna inanmaktaydı. Yedi yıl tek başına sürdüğü gizli hesaplamaları açıklamıştı. Ancak Newton Enstitüsü böyle coşkuyla dolmuşken, aslında trajedi ve darbesini indirmek üzereydi. Yaşadığı anın tadını çıkaran Wiles tıpkı salondaki diğer insanların yaşadığı gibi yaşanacak olan dehşetten habersizdi. “Henüz bir çocukken karşılaştığım Fermat’ın Son Teoremiyle; o zamandan beri de, en büyük tutkum oldu.” diyordu Andrew Wiles. “300 yıldır çözülememiş bir problem karşımdaydı. Okul arkadaşlarım arasında matematik virüsü bulaşmış olanı pek yoktu; yani problemi yaşıtlarımla tartışamazdım. Ama matematik araştırmaları yapmış bir öğretmenim vardı. Bana sayı kuramıyla ilgili bir kitap verdi. O kitapta probleme nasıl yaklaşabileceğime dair ipuçları buldum. En başta da kendimi, Fermat’ın benden daha fazla matematik bilgisine sahip olmadığı düşüncesine alıştırdım. Onun çözüm için kullanmış olabileceklerine benzer yöntemlerle çalışmayı denedim.”
Hevesli bir çocuk kuşaklar boyu matematikçilerin yapamadığı bir şey başaracağını umuyordu. Bu, birçok bölüme deli cesareti gibi görünebilir, ama genç Andrew 20. yüzyıldaki bir çocuğun, 17. yüzyıl dahisi Pierre de Fermat kadar matematik bilgisine sahip olduğu konusunda haklıydı. Ama ne kadar coşkulu olsa da, yaptığı bütün hesaplamalar çıkmaz bir sokağa saplanıp kalmaktaydı. Bir yıl süren başarısızlıktan sonra Wiles stratejisini değiştirmeye, büyük matematikçilerin hatalarından bir şeyler öğrenmeye karar verdi. “Fermat’ın Son Teoremi’nin kendine özgü, inanılmaz bir hikayesi var. Ne kadar çok insan kafa yordu üzerine! Ve büyük matematikçiler geçmişte ne kadar çok uğraşıp başarısız kaldılarsa, o da o kadar büyük bir meydan okuma, o kadar büyük bir sır haline geldi. 18. ve 19. yüzyıllarda pek çok matematikçi çeşit çeşit yollar denemişti. Bende bir genç olarak bu yöntemleri öğrenip onların yaptıklarını anlamaya çalışmam gerektiğini düşündüm.” MATEMATİĞİN
TEK GÖZLÜ DEVİNDEN KÜÇÜK BİR ADIM
Fermat matematikçilere iyi bir başlangıç sunmuş,
denklemlerden birinin çözümsüz olduğuna dair
ispatı vermişti:

Euler de bu ispattan yararlanarak başka bir denklemin
çözümsüzlüğünü gösterdi:


Ama Euler’in bu adımdan sonra hala sonsuz sayıda denklemin
tamsayılı çözümü olmadığını göstermek gerekiyordu.
Matematikçiler kıvanç duymayacakları kadar yavaş ilerliyorlardı.
Ama bu durum kötü değildi. n=4 için yapılmış olan ispat
aynı zamanda n=8, 12, 16, 20, … durumları için de geçerliydi. Aynı ilkeyle
Euler’in n=3 için yaptığı ispatta n=6, 9, 12, 15 durumlarını da ispatlamaktadır.
n=3 şıkkının ispatlanmış olması özellikle önemlidir,
çünkü 3 asal sayılardan biridir.
Diğer asal sayılar 5, 7, 11, 13 vs.dir. geri kalan bütün sayılar,
asal sayıların katıdır
ve asal olmayan sayılar ya da bileşik sayılar diye anılırlar.
Fermat’ın Son Teoremi’ni n’in bütün değerleri için ispatlamak,
onu n’in asal değerleri için ispatlamak da mümkün olacaktır.
Diğer şıklar hep asal şıkların katlarından ibarettir
ve asal değerler için ispat yapıldığında
onlar da ispatlanmış sayılır. BİR TÜCCAR KIZI
19. yüzyılın başında Fermat’ın Son Teoremi,
sayı kuramının adı en kötüye çıkmış problemi olarak
iyice ünlenmişti.
Euler’in attığı adımdan beri hiçbir ilerleme olmamıştı.
Ama genç bir Fransız hanımın yaptığı duyuru,
Fermat’ın yitik ispatını arama işini yeniden canlandıracaktı.

Yüzyıllar boyunca kadınlara matematik öğreniminden
uzak durmaları telkin edildi.
Matematiği etkilemiş olan ilk kadın, M.Ö. 6. yüzyılda yaşayan
Pythagoras’ın öğrencisi Theano’ydu.
Daha sonra İskenderiye Üniversitesi’ndeki bir matematik öğretmeninin kızı olan
Hypatia, o zamanki bilinen en sevilen hatip
ve en büyük problem çözücü olarak ün yapmıştı.

18. ve 19. yüzyıllarda Fransa’da, matematiğin kadınlar için uygun olmadığı,
onların zihni kapasitesini aştığı açıkça söyleniyordu.
Ancak tek bir kadın, Fransız toplumunun koyduğu sınırları aşabilmiş,
büyük bir sayı kuramcısı olarak kendini kabul ettirmeyi başarmıştı.
Sophie Germain
Fermat’ın Son Teoremi’ne yönelik araştırmalarda
bir devrim yaptı ve çözüm yolunda sağladığı katkı da
kendinden önceki bütün erkeklerinkinden
daha büyük oldu.. Genç Wiles Fermat’ın Son Teoremi’ni çözmeyi ciddiyetle denemiş kim varsa araştırdı. Sezgisel bir gözle bakılınca
bu durum problemi
çok büyük ölçüde basitleştirmiş görünüyor:
artık asal sayı olmayan bir n değeri barındıran
bütün denklemler göz ardı edilebilir.
Örneğin 20’ye kadar olan sayılar arasında ispat gerektiren
n değerleri sadece 6 tanedir.







Büyük bir çoğunluğu, yani asal olmayan n değerleri göz ardı
edebilmese de, n’in asal değer olarak yer aldığı geriye kalan denklemlerin
sayısı hala sonsuzdur.
Asal sayıların sonsuz olduğuna ilişkin ispat Eukleides tarafından yapılmıştır.


Alman matematikçi David Hilbert bu konuda:
“ Sonsuz! Başka hiçbir konu insan ruhunu bu kadar derinden
sarsmadı; başka hiçbir fikir insan zekasını bu kadar
verimli şekilde harekete geçirmedi;
ama başka hiçbir kavram da sonsuz kavramı kadar
açıklanmaya muhtaç değil.”
demiştir. 75 yıl önce Euler,
n=3 için yaptığı ispatı yayınlamış,
ondan beri de matematikçiler diğer tekil durumlar için
boşuna ispatlamaya uğraşıp durmuşlardı.
Oysa Germain yeni bir strateji benimsemişti.
Başka bir deyişle amacı tek bir durumu ispatlamak değil,
aynı andan birçok durum hakkında bir şey söylemekti.
Gauss’a yazdığı mektubunda özel bir asal sayı tipinden söz etmişti.
Şöyle ki; bu asal sayı p ise, (2p+1) de yine asaldır.
Germain’in bu koşula göre listesine girebilecek asal sayılardan biri 5’tir.
Buna karşın 13 koşulu yerine getiremez.

Germain bu tip asal sayılara karşılık gelen n değerleri için ,
denkleminin muhtemel çözümü olmadığına dair bir kanıt geliştirmişti.
“Muhtemel” diyerek şunu kastediyordu:
Bir çözümün olması pek beklenilemez. Çünkü eğer bir çözüm varsa,
o zaman x, y veya z’den biri n’in bir katsayısı olacak, bu da her türlü çözümü sıkı sıkıya sınırlayacaktır.
Meslektaşları Germain’in listesindeki asal sayıları tek tek kontrol edip
x, y veya z’den hiçbirinin n’in katsayısı olamayacağını
ispat etmeye çalıştılar.
Böylece n’in ele aldıkları değeri için
çözüm olamayacağını da göstermiş oldular. MÜHÜRLENMİŞ ZARFLAR
Sophie Germain’in gerçekleştirdiği atılımın ardından
Fransız Bilimler Akademisi, Fermat’ın Son Teoremi’nin esrarını
sona erdirecek matematikçiye verilmek üzere
bir altın madalya ve 3.000 frank ödül koydu.
Paris salonlarında kimin hangi stratejiyi yürüttüğüne
ve sonucu açıklamaya ne kadar yaklaştığına dair söylentiler dolaşıp durmaktaydı.

1 Mart 1847 günü, n=7 durumu için ispat getirmiş olan Gabriel Lamé,
o dönemdeki en seçkin matematikçilerin huzurunda kürsüye çıkıp
Fermat’ın Son Teoremi’ni ispatlamanın eşiğine gelmiş olduğunu söyledi.
Lamé, ispatın henüz tam olmadığını itiraf ediyordu, ama yönteminin bir özetini yapıp
birkaç hafta içinde tam bir ispatı Akademi’nin dergisinde yayınlayabileceğini gururla ilan ediyordu.

Lamé kürsüden ayrıldıktan hemen sonra yine Paris’in en iyi matematikçilerinden biri olan
Augustin Louis Cauchy, konuşmak için izin istedi.
Lamé’ye çok benzer bir yolda çalışmakta olduğunu Akademi’ye açıkladı.
Kendisinin de tam bir ispat yayınlayabileceğini belirtti.
Ellerinde tam bir ispat olmamasına rağmen iki rakipte ödülü almaya kesin kararlıydı
ve yaptıkları açıklamalardan tam 3 hafta sonra Akademi’ye birer mühürlü zarf sundular.
Mühürlü zarf fikirlerin aslında kime ait olduğu konusunda anlaşmazlık çıkmasını engelliyordu.
24 Mayıs’ta spekülasyonlara son veren bir açıklama yapıldı.
Açıklama sahibi ne Cauchy, ne de Lamé’ydi.. Joseph Liouville’ydi.
Liouville Alman matematikçi Ernst Kummer’in bir mektubunu okuyarak
bütün dinleyicileri şok etmişti. Kummer için iki Fransızın da aynı mantıksal çıkmaza doğru
ilerlemekte oldukları apaçıktı. Nedenlerini de belirterek
Liouville’ye gönderdiği mektupta açıkladı.

Kummer’a göre temel sorun, Cauchy ve Lamé’nin ispatlarının sayılara ait çarpanlara ayırmanın tekliği denilen bir özelliğe dayanıyor olmasıydı. Çarpanlara ayırmanın tekliği birbiriyle çarpılarak herhangi bir sayı oluşturan
asal sayıların mümkün tek bir kombinasyonu
olduğu anlamına gelir. Örneğin; 18 sayısını
meydana getiren tek asan sayı kombinasyonu şudur:
18=2x3x3 Çarpanlara ayırmanın tekliği MÖ 4. yüzyılda Eukleides
tarafından keşfedilmiştir. Bütün sayma sayıları için doğru
olması birçok başka ispat için hayati önem taşır ve aritmetiğin
temel teoremi olarak anılır. İlk bakışta Cauchy ile Lamé’nin
neden kendilerinden önceki yüzlerce matematikçinin yaptığı gibi ispatlarında çarpanlara
ayırmanın tekliğinden faydalanamayacağı belli değildir. Oysa ikisi de ispatında sanal sayılara yer verilmiştir. Kummer’de çarpanlara ayırmanın tekliğinin, reel sayılar için
doğru olmakla birlikte sanal sayılar söz konusu olduğunda doğru olmayabileceğine işaret ediyordu. Örneğin 12 sayısı ele alınırsa...
Yani artık çarpanlara ayırmanın tekliği yoktur. Çeşitli çarpanlara
ayırma yöntemleri vardır. Çarpanlara ayırmanın tekliğinin devreden çıkması Cauchy ve Lamé’nin ispatlarında derin bir yara açsa da onları tamamen geçersizleştirmedi. İspatların 2’den büyün n değerleri için denkleminin çözümü olmadığını göstermesi gerekiyordu.

Kummer bazı ek tekniklerden yararlanarak çeşitli n değerleri için çarpanlara ayırmanın tekliğinin yeniden geçerli kılınabileceğini de göstermekteydi. Örneğin n=31 veya daha küçük bir asal sayı olduğunda çarpanlara ayırma tekliği sorunu olmuyordu. Ama n’in değeri olarak yine bir asal sayı olan 37 alındığında iş zorlaşıyordu. 59 ve 67 sayıları n değeri olarak kabul edildiğinde sorun çıkarıyorlardı. Düzensiz asal sayı olarak adlandırılan bu sayılar, diğer asal sayıların arasına serpiştirilmiş olarak bulunuyordu ve tam bir ispatın önündeki başlıca engeli oluşturuyordu.

Kummer, teknikler her düzensiz asal sayıya göre dikkatle uyarlandığı taktirde bunların teker teker ele alınabileceğine inanıyordu. Düzensiz asal sayılar da yine sonsuz miktarlardaydı. Birer birer incelenmeleri matematikçiler topluluğunu sonsuza dek uğraştıracak bir işti. Kummer, Fermat’ın Son Teoremini tam olarak ispat etmenin mevcut matematik yaklaşımlarıyla mümkün olmadığını göstermiştir. 1857 de Fransız Bilimler Akademisi soruyu yarışmadan geri çekerken, birimin kökleri ve tamsayılardan oluşan karmaşık sayılar üzerine başarılı araştırmaları nedeniyle madalyayı Monsieur Kummer’e taktı. Andrew Wiles onlu yaşlarında Euler, Germain, Cauchy, Lamé ve son olarak Kummer’in çalışmalarını inceleyip durmuştu. Onların hatalarından bir şeyler öğrenmeyi umuyordu. Ama Oxford Üniversitesi’nde öğrenci olduğu sırada daha önce Kummer’in karşısına çıkan aynı engelle karşılaşmak zorunda kaldı.

Wiles’in kuşağından bazı kişiler, problemi çözmenin imkansız olabileceğinden kuşkulanmaya başlamışlardı. Belki de Fermat yanılmıştı ve şimdiye kadar hiç kimsenin Fermat’ın ispatını yeniden keşfedemeyişinin nedeni, böyle bir ispatın aslında var olmamasıydı. Bu kuşkulara rağmen Wiles bir ispat aramayı sürdürdü. Geçmişte ancak yüzyıllarca süren çabalarla bulunmuş ispatlar olduğunu bilmek ona ilham veriyordu. Belki de Fermat’ın Son Teoremi’ni ispatlamak için gerekli bütün teknikler mevcuttu ve tek eksik olan yaratıcılıktı. Wiles vazgeçmeye yanaşmıyordu. Fermat’ın Son Teoremi’ni ispatlayabilmek bir çocukluk hevesi olarak başlamış, sonunda tam olgunlaşmış bir tutkuya dönüşmüştü. 19. yüzyıl matematiğiyle ilgili ne varsa öğrenmiş olan Wiles, şimdi de 20. yüzyılın teknikleriyle silahlanmaya karar vermişti. 20. yüzyılın başlarında problem, hala sayı kuramcıları için önemliydi ancak onlar da Fermat’ın Son Teoremi’ni kimyacıların simyaya davrandığı gibi davranıyorlardı.
1908’de Alman sanayici Paul Wolfskehl probleme yine hayat kazandırdı. Yaşamının büyük kısmını ailesinin ticari imparatorluğunu kurup büyütmeye adamış olsa da, profesyonel matematikçilerle ilişkisini hep sürdürdü ve bir amatör olarak sayı kuramıyla uğraşmaktan geri durmadı. Özellikle Fermat’ın Son Teoremi’ne çözüm getirme işinin peşini hiç bırakmadı. Kimliği bir türlü öğrenilememiş güzel bir kadın Wolfskehl’in aşkını karşılıksız bıraktığında Paul intihar etmeye karar verdi ve ölümünü ayrıntılarıyla planladı. O gün geldiğinde saat tam gece yarısını vururken, o da kendisini başından vuracaktı. Bütün önemli ticari işlerini yoluna koyup vasiyetini yazdı. Son günün işlerini tamamladığında birkaç saati artmıştı. Vakit geçirmek için kütüphaneye gidip matematik yayınlarını karıştırırken Cauchy ve Lamé’nin yanılgısını açıklayan Kummer’in klasikleşmiş yazısını buldu. Wolfskehl yazıdaki hesaplar satır satır inceledi. Kummer’in bir varsayım yapıp argümandaki bir adımı gerçekleştirmeden bıraktığını fark etti. Wolfskehl, Kummer’in varsayımını doğrulanmışlığını ya da keşfettiğinin ciddi bir hata olup olmadığını merak ediyordu. İkinci ihtimal doğruysa Fermat’ın Son Teoremini ispatlamak sanıldığından çok daha kolay olabilirdi. Wolfskehl ispattaki bu kesin olmayan bölümü incelemeye başladı. Bütün dikkatini mini bir ispat geliştirmeye verdi. Böylece ya Kummer’in çalışması sağlamlaşmış olacak ya da varsayımının yanlış olduğu ortaya çıkacaktı. İlk durumda ise Kummer’in bütün eseri gerçeksizleşmiş olurdu. Şafak sökerken çalışmasını tamamlayan Wolfskehl, Kummer’in ispatını tamir etmiş ve Son Teorem’in erişilemez konumunu sağlamlaştırmıştı. Wolfskehl bu boşluğu keşfedip düzeltmiş olmaktan büyük gurur duyuyordu. Matematik ona yaşama isteğini geri vermişti. O gece vasiyetini yeniden yazdı. 1908’de ölünce yeni vasiyetname okundu: Paul servetinin 100.000 marklık kısmını Fermat’ın Son Teoremi’ni çözecek kişiye verilmek üzere ödül olarak bırakıştı. Bu şekilde hayatını kurtaran bilmeceye borcunu ödemiş oluyordu. Para Kraliyet Bilimler Cemiyeti adlı kurumun hesabına yatırıldı ve cemiyet aynı yıl içinde Wolfskehl Ödülü için yarışma açıldığını duyurdu. Bu duyuruda dikkat çeken nokta şudur:

"Komite, Fermat’ın Son Teoremi’nin doğru olduğunu ispat edecek ilk matematikçiye 100.000 Mark verecektir ama birisi bu teoremin yanlış olduğunu ispat edecek olursa ona tek bir kuruş bile ödemek niyetinde değildir."

Konan bu ödül probleme yeni bir izleyici kitlesi kazandırabildi. Kendini bu en zor probleme adayan zihinler faaliyete geçmişti.

Wolfskehl Ödülü’nün duyurulmasını izleyen birkaç hafta içinde çözüm denemeleri Göttingen Üniversitesine çığ gibi yağdı ve tabi ki hepside yanlıştı.
Örneğin... DAYANILMAZ BİR MERAK
Kuşaklar boyu matematikçilerin neredeyse saplantı halinde Fermat’ın Son Teoremi’yle ilgilenmiş olmasının iki nedeni vardı.

Birincisi, tek adam olmanın acımasız çekiciliğiydi. Son Teorem, en son sınavdı ve onu ispat edebilen Cauchy’nin, Euler’in, Kummer’in ve daha nicelerinin yapamadığını başarmış olacaktı. Fermat nasıl çözdüğü problemlerle çağdaşlarını ezip geçmekten keyif aldıysa, Son Teorem’i ispat eden kişi de bütün matematikçi topluluğunu yüzyıllardır altüst etmiş bir problemi çözmüş olmanın tadına varabilirdi.

İkincisi de, Fermat’ın meydan okumasına karşılık veren kişinin, bir bulmacayı çözmüş olmanın masum tatmin duygusunu yaşayacak olmasıydı.

İşte Andrew Wiles’ı Fermat karşısında heyecanlandıran şeyler de bunlardı: “Saf matematikçiler kendilerine meydan okumasını sever. Çözülememiş problemler onlara daha da çekici gelir. İnsan, matematikle uğraşırken muthiş bir duyguya kapılır. Sizi şaşırtan bir gün kafanızı karıştıran bir problemle işe başlarsınız. Anlayamazsınız başı neresi sonu neresi belli değil. Ama sonunda bir de çözdünüz mü yaşadığınız inanılmaz bir duygudur. Ne kadar güzelmiş! Her şey nasılda zarifçe birbirine uyuyor! En aldatıcı problemlerde önce kolay görünüp ne kadar çetrefil olduğu sonradan ortaya çıkanlardır. Fermat bunların en güzel örneğidir. Önce bir çözümü varmış gibi görünüyor. Çünkü Fermat çözümü olduğunu söylemiş.” Şifre kırıcılık kariyeri ile bilinen Alan Turing ardında insanın altından kalkamayacağı kadar uzun bir hesabı birkaç saatte çözebilen bir makine bıraktı.

Bugünün bilgisayarları ise Fermat’ın bütün hayatı boyunca yaptığı hesaplardan daha fazlasını saniyenin
küçük bir parçası içinde tamamlayıveriyordu.

Fermat’ın Son Teoremi’yle uğraşan matematikçiler bu arada bilgisayarlardan da yararlanmaya başlamışlardı. Kummer’in 19. yüzyılda getirdiği yaklaşımın bilgisayar uygulamasından medet umuyorlardı. Cauchy ve Lamé’nin çalışmasında bir boşluk fark eden Kummer’e göre Fermat’ın Son Teomeri’yle ilgili özellikle önemli sorun n düzensiz bir asal sayıya eşit olduğu zaman ortaya çıkmaktaydı.

100 e kadar olan sayılar içinde sadece 37, 59 ve 67 düzensiz asal sayıdır.
Kummer bir yandan da bütün düzensiz asal sayıların tek tek ele alınabileceğini göstermiştir.

Başlıca sorun bunların her birinin
muazzam bir hesap gerektirmesiydi.
Bu noktayı açıklayabilmek için Kummer
meslektaşı Dimitri Mirimanoff’la birlikte
haftalar boyunca hesap yapıp durmuş
ve 100’den küçük düzensiz asal sayıların
işini halletmişti.
Ancak ne bu iki kişinin
ne de diğer matematikçilerin aynı şeyi 100 ile 1000 arasındaki düzensiz asal sayılar için yapmaya kalkışacak hali yoktu. Birkaç on yıl sonra devasa hesapların doğurduğu problem ortadan kalkmaya başlamıştı. Bilgisayarın gelişmesi Fermat’ın Son Teoremi’nde karşılaşılan can sıkıcı sorunları kolayca çözülür hale getirmişti. Nitekim İkinci Dünya Savaşı’ndan sonra bilgisayar uzmanları ve matematikçiler ekip çalışmaları yaparak Fermat’ın Son Teoremi’ni önce 500 ‘e sonra 100’e ve daha sonrada 10.000’e kadar olan sayılar için ispatladılar. 1980’lerde Illinois Üniversitesi’nden Samuel S. Wagstaff sınırı 25.000’e yükseltti. Daha yakın zamanlarda ise Fermat’ın Son Teoremi’nin 4 milyona kadar bütün n değerleri için doğru olduğunu ilan edebildi. Modern teknoloji Son Teorem konusunda hiç olmazsa bir ilerleme sağlamıştı. Oysa matematikçiler bu başarıların bir makyajdan ibaret olduğunu gayet iyi biliyorlardı. Süper bilgisayarlar on yıllar harcayıp n değerlerini teker teker ne denli büyütürse büyütsün, hiçbir zaman n değerini sonsuza kadar yükselterek hesaplayamayacaklar. Dolayısıyla bir bütün olarak teoremi ispatlamış olmayacaklardı. Teoremin bir yere kadar bütün sayılar için doğru olduğu ispatlansa bile, bu kesinlikle bir milyar bir için de doğru olacağı anlamına gelmiyordu. Kısacası sayılara bilgisayarlarla kaba kuvvet uygulayarak sonsuza varılamaz.
Bilgisayarların bütün yapabildiği Fermat’ın Son Teoremi lehine veri sağlamaktı. Muazzam bir veri yığını ortaya çıkmıştı. Ama ne kadar büyük olursa olsun mutlak ispat dışında hiçbir şeyi kabul etmeyen şüpheci matematikçilerin veri biriktirerek tatmin olması mümkün değildi. Sonsuz miktarda sayıyı kapsaması gereken bir kuramı küçük miktarda sayıdan türetmeye kalkmak riskli ve kabul edilemez bir kuraldı. Böyle bir türetmenin tehlikeleri bir asal sayı dizisine bakılarak görülebilir.

17. yüzyılda matematikçiler
31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 ve 33.333.331
sayılarının asal olduklarını göstermişlerdi.

Dizinin bundan sonraki sayıları çok büyük olduğundan onları da sınamak zahmetli bir işti.
Bazı matematikçiler sayıların kuruluş şeklinden hareketle bir türetme yapmaya kalkışsa da dizinin bir sonraki sayısı olan 333.333.331 asal değildi.

(333.333.331=17x19.607.843) Bilgisayardan sağlanan verilerle yetinilememesine bir başka örnek Euler’in . denkleminin çözümü olmadığını söyleyen varsayımıdır. 200 yıl boyunca Euler’in varsayımı ispat edilemediği gibi varsayımı çürütecek karşı örnekte bulunamadı.
1988’de Harvard Üniversite’sinden Naom Elkies bir çözüm bulmayı başardı.
....
Aslında Elkies bir tek çözüm göstermekle kalmamış, denklemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu da ispatlamıştı. Kısacası ilk bir milyon sayıdan elde edilen verilerle bütün sayıları kapsayacak bir varsayım yapılamazdı
ve Fermat’ın Son Teoremi de Euler’in varsayımı kadar aldatıcı olabilirdi. KARİYER
1975’te Andrew Wiles, Cambridge Üniversitesi’nde yüksek lisans öğrencisi olarak akademik kariyerine başladı.
Bunu izleyen 3 yıl boyunca doktora tezi üzerine çalışıp çıraklık dönemini tamamlayacaktı.
Her öğrenciyi yönlendirip yetiştiren bir hoca oluyordu.

Wiles’in hocası ise Avustralyalı bir profesör olan
John Coates’ti.
Coates, Wiles’i öğrenciliğe nasıl kabul ettiğini hala hatırlıyor: “ Bir meslektaşımın çok iyi bir öğrencisinden bahsettiğini hatırlıyorum. Matematik sınavlarının üçüncü bölümünü tamamlamak üzereymiş. Benden onu öğrenciliğe kabul etmemi istedi. Andrew öğrencim olduğu için çok şanslıydım. Bir araştırma asistanı için son derece derin fikirlere sahipti. Büyük işler başaracağı önceden belliydi. Fakat o aşamadaki bir asistanın Fermat’ın Son Teoremi üzerine çalışması düşünülemezdi. Tam deneyime sahip bir matematikçi için bile bu çok zordu.” Geçen on yıl içinde Wiles’in yaptığı her şey, Fermat’ın meydan okuyuşuna karşı bir hazırlık niteliğindeydi. Ama profesyonel matematikçiler arasına katıldığı için daha pragmatik davranması gerekiyordu.
Bu nedenle kısa süreliğine rüyasını terk etti: “Cambridge’e gidince Fermat’ı gerçekten bir kenara bıraktım. Tamamen unutmuş değildim ama şunu fark ettim ki bu problemi ele alırken kullandığım teknikler yaklaşık 130 yıllıktı ve bunlarla problemin köküne inmem mümkün görünmüyordu. Fermat ile uğraşmak sorunlu bir işti. Yıllarca uğraşıp hiçbir yere varamadığım bu problem üzerinde çalışmanın hoş yanı, o gün için problemi çözemesem bile, bu sırada ilginç matematik sonuçlarına ulaşabiliyor olmamdı. İyi bir matematik problemi, problemin kendisine bakarak değil yarattığı yeni matematik yollarına bakarak anlaşılır.”

Wiles’ı üç yıllık araştırma boyunca meşgul edecek yeni bir konu bulmak hocası John Coates’in sorumluluğuydu. Coates şöyle düşünüyordu: “Bence tez hocasının öğrencisi için bütün yapabileceği onu verimli bir yöne doğru harekete geçirmektir. Araştırma açısından neyin verimli olduğundan emin olmak imkansızsa da deneyimli bir matematikçi sağduyusu ve sezgisi sayesinde onun için iyi bir alan seçebildim. Bu yönde ne kadar yol alacağı Andrew’e bağlıydı.” Sonunda Coates Wiles’in eliptik eğriler denilen alanda çalışmasına karar verdi. Bu karar Wiles’in kariyerinde bir dönüm noktası olacak Fermat’ın Son Teoremi’ne yönelik ihtiyaç duyduğu teknikleri sağlayacaktı. Eliptik eğriler biraz yanıltıcı bir adlandırma, çünkü sadece eliptik denklemler söz konusu: a, b ve c herhangi bir tamsayı olmak üzere .
Bu denklemlere eliptik eğri adı verilmesinin nedeni elipslerin çevresini ve gezegen yörüngelerinin uzunluğunu hesaplamakta kullanılmalarıdır.

Eliptik denklemlerde karşılaşılan sorun Fermat’ın Son Teoremi’ne benzer: Tam sayılı çözüm var mı ve varsa kaç tane? Örneğin…
Eliptik denklemlerin asıl ilginç yanı daha basit denklemlerle çözümü imkansız olanlar arasında bir yerde bulunmalarıdır. Genel eliptik denklemdeki a, b ve c değerleri değiştirilerek her biri farklı özelliklere sahip sonsuz sayıda çözülebilir denklem üretilebilir.
Full transcript