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LA MATEMÁTICA INTUICIONISTA Y SUS CONEXIONES CON EL PENSAMIENTO DE PEIRCE

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isabel villabon moreno

on 4 January 2013

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Transcript of LA MATEMÁTICA INTUICIONISTA Y SUS CONEXIONES CON EL PENSAMIENTO DE PEIRCE

LA LOGICA DESARROLLO Para Brouwer el único determinante de la verdad matemática es la actividad mental, luego una proposición matemática se vuelve verdadera cuando el sujeto experimenta (o “intuye”) su verdad después de haber efectuado una construcción mental adecuada; en cambio, una proposicion se hace falsa cuando el sujeto se convence de que su construcción mental es imposible. Brouwer expresa que “no hay verdades no experimentadas”. Podría pensarse que las reflexiones del intuicionismo y sus diferencias con el pensamiento matemático clásico se limitan a la matemática mas fundamental. En realidad, el ambicioso programa de Brouwer y sus sucesores consistía en elaborar una revisión completa de la matemática con principios intuicionista. A lo largo de la década de 1920 se fue cristalizando una seria disputa sobre la fundamentación de la matemática que pronto minó el aprecio mutuo entre Brouwer y Hilbert convirtiéndolo en franca enemistad. Los mencionados modelos de Kripke fueron propuestos primero para las lógicas modales pero después su autor descubrió que también proveıan una semantica para la logica intuicionista de Heyting. En primer lugar puede mencionarse que Peirce se ocupó en algunas ocasiones de la intuicion. Como ejemplo puede citarse su artículo publicado Cuestiones acerca de ciertas facultades atribuidas al hombre en el cual refuta la existencia de la intuición como una habilidad humana especial. Hay algunas coincidencias bastante claras en las concepciones de Peirce y Brouwer
sobre la naturaleza de la matemática. Ambos se opusieron al pensamiento logicista y sostuvieron de manera clara que la matemática y la lógica juegan papeles diferentes. Durante el siglo XIX,con el proceso de aritmetizacion de la matemática, se propusieron varias construcciones de los números reales y a partir de Georg Cantor se identifica casi de manera universal el continuo con el sistema de los números reales. LA MATEMÁTICA INTUICIONISTA Y SUS CONEXIONES CON EL PENSAMIENTO DE PEIRCE El auge del intuicionismo fue posterior a Charles Peirce, hay elementos técnicos que enlazan esta forma de pensamiento con algunos de sus trabajos. Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) Matemático holandés que desarrolló el denominado intuicionismo matemático, concepción que intenta elaborar las inferencias matemáticas del modo más puro posible, apartándose de logicismos y formalismos. EL INTUICIONISMO SURGIMIENTO LOGICA DESARROLLO SURGIMIENTO Durante el siglo XIX, en parte como
consecuencia de la aparición de las geometrías no euclidianas, la matemática vivió un proceso gradual de aritmétizacion consistente en un esfuerzo por construir todo el edificio matemático de manera formal a partir de los números naturales. Leopold Kronecker
“Los números naturales los hizo el buen Dios, todo lo demás es obra humana” Henri Poincaré
Rechazo tanto la teoría de conjuntos de Cantor como el logicismo, argumentando que en la matemática se requiere más que solo lógica. Emile Borel Henri Lebesgue Distinguió diferentes sentidos de la existencia de objetos matemáticos según el método de definición empleado y diferenció demostraciones constructivas de las que no lo son. Sostuvo que el fundamento último del conocimiento matemático es la intuición más que la prueba, e inició una reconstrucción de la matemática a partir de conjuntos definidos con la aritmética. Luitzen Egbertus Jan Brouwer, conocido para sus allegados como Bertus, nació cerca de Rotterdam en 1881 y siempre se destacó por su brillantez. En 1897 ingresó a la Universidad de Amsterdam donde obtuvo su título en 1904, año en el que también logró su primera publicación matemática. Un principio básico, llamado por Brouwer el “acto primero” del intuicionismo, lo formula el mismo de la siguiente manera [Brouwer 1981].

Separar de manera completa la matemáticaa del lenguaje matemático y por lo tanto de los fenómenos del lenguaje descritos por la lógica teórica, reconociendo que lamatemáticaa intuicionista es una actividad de la mente que en esencia carece de lenguaje y que tiene su origen en la percepción de un movimiento de tiempo. DEFINICION DE INTUICIONISMO En filosofía de las matemáticas, Intuicionismo o Neointuicionismo (contrario a preintuicionismo), es una aproximación a las matemáticas a partir de una vista mental constructiva humana. Hermann Weyl Brouwer distinguió dos clases de contradicciones:
la contradicción lógica es un hecho lingüístico mientras la contradicción matemática es la imposibilidad de efectuar
una construcción De esta manera, las operaciones lógicas que por tradicion se consideran fundamentales pueden leerse de manera intuicionista como sigue. Negación. Disyunción Implicación Conjunción. Negar una proposición, en el intuicionismo, es refutarla o sea asegurar que su construcción es imposible. El concepto intuicionista de la negación conduce a rechazar el principio de la doble negación. Muy cercana a esta consecuencia hay otra que es una característica muy famosa del intuicionismo, el rechazo del principio del tercero excluido Una consecuencia del rechazo de estos principios es la caída del método de reducción al absurdo, tan querido en la matemática clásica: si se supone la negación de un enunciado y eso conduce a un absurdo, puede concluirse su afirmación. Estos principios generales y vagos dieron lugar, dentro de la matemática formal de uso generalizado entre los matemáticos, a la muy precisa lógica intuicionista. Uno de los pioneros de este desarrollo fue el matemático holandés Arend Heyting, discípulo de Brouwer e incansable promotor de sus ideas. En 1925 presento su tesis doctoral en la Universidad de Amsterdam, titulada Axiomática Intuicionista de la Geometría Proyectiva y orientada por Brouwer. Andrei Kolmogorov En 1928 y 1929 el también ruso Valerii Glivenko, discıpulo de Luzin y corresponsal de Heyting, publico un par de artıculos que contenıan otra axiomatizacion del calculo intuicionista. Kurt Godel Gerhard Gentzen La lógica intuicionista, al igual que la clásica, tiene una amplia gama de modelos semánticos. Cierta clase de retículos, llamados en algunas ocasiones retículos brouwerianos, ahora se conocen como álgebras de Heyting. "ACTO SEGUNDO" Se esta suponiendo la estabilidad de la existencia matemática por sucesiones y por relaciones de equivalencia. Brouwer vivió en soledad la ultima década de su vida y murió en 1966 en un accidente de tránsito la formalización de la lógica intuicionista iniciada por Heyting a fines de los años 20 no era considerada por Brouwer autentico intuicionismo, aunque su concepto sobre el trabajo de su discıpulo fue que lo encontró “extraordinariamente interesante” y de
hecho fué el quien le sugirió a Heyting que lo publicara en Alemania. Un modelo de Kripke puede verse, en particular, como un haz. Los haces, concebidos al principio como herramientas de la topología algebraica, fueron empleados a fondo por el gran matemático francés Alexander Grothendieck y su escuela en la solución de las conjeturas de Weil de la geometría algebraica. Alrededor de 1970 la combinación de los haces con las categorías dio lugar a la teoría de topos, un ambiente generalizado y sintetico para la matemática, y muy pronto se descubrió que cualquier topos tiene una lógica interna. EL INTUICIONISMO Y PEIRCE Los puntos de contacto entre el intuicionismo y Peirce pueden agruparsen: Historicos Técnicos Conceptuales HISTORICOS el contacto entre Brouwer y Peirce es muy débil y, hasta donde se sabe, se cristaliza en la figura de Victoria, Lady Welby. Esta dama inglesa vivió entre 1837 y 1912, no tuvo una educación superior formal pero de manera autodidacta se Convirtió en una filosofa del lenguaje que ejerció cierta influencia a comienzos del siglo XX. Es casi seguro que LadyWelby y Charles Peirce sabían el uno del otro antes de entrar en contacto. Pero su relación se hizo efectiva en 1903 cuando el texto ¿Que es Significado? recibió una reseña muy positiva por parte de Peirce. Para Lady Welby, la correspondencia con Peirce fue una importante
fuente de ideas que después hacía circular entre sus corresponsales, contribuyendo así a su vez a la difusión temprana del pensamiento peirceano. En las cartas a Lady Welby, que son bien conocidas en la comunidad peirceana y que han sido publicadas varias veces, entre otros temas Peirce expuso su teoría de los signos y sus gráficos existenciales. Otro de los corresponsales y amigos de Lady Welby fue el escritor y siquiatra holandes Frederik van Eeden (1860–1932). Entusiasmado con las ideas de la dama inglesa, van Eeden reunió un grupo de intelectuales con quienes hacia 1916 fundo un grupo que llamaron Significs Gerrit Mannoury, maestro y amigo de Brouwer quien en su momento le animó a continuar con su carrera intelectual. El mismo Brouwer, amigo de van Eeden desde hacía mucho tiempo, fue uno de los miembros fundadores del grupo. Así pues, Peirce fue corresponsal de Lady Welby y sin duda influyo en su pensamiento; a su vez la actividad de Lady Welby jugó un papel decisivo en la creación del grupo Significs, del cual Brouwer fue miembro fundador e influyente CONCEPTUALES Por su parte Charles Peirce amplió la famosa definición de su padre Benjamin (“La matemática es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias”) indicando que la lógica es la ciencia de obtener conclusiones necesarias. Por tanto, la matemática es el estudio de la sustancia de las hipótesis, o creaciones mentales, con miras a obtener conclusiones necesarias. la matemática intuicionista llega a un continuo diferente del de la matemática clásica No es difícil señalar varias características comunes entre el continuo peirceano y el continuo intuicionista, en los cuales ellos se distinguen del continuo de Cantor: ambos se conciben como una intuición primera y primordial; ambos poseen, en su contexto, el maximo tamaño posible; en ninguno de los dos vale el principio del tercero excluido. TÉCNICOS Desde un punto de vista técnico pueden establecerse algunos notables anticipos del intuicionismo en el legado de Peirce. vale la pena mencionar la definición de la negación adoptada por Peirce La equivalencia le representa beneficios significativos en sus cálculos lógicos, por ejemplo concluye de inmediato que de


lo cual a su vez le permite deducir el silogismo
Camestres. En realidad esta definición de la
negación no es un artificio fortuito empleado por Peirce solo en su articulo de 1880 sino que se trata de una idea que permanece estable en su pensamiento. En efecto, ella vuelve a aflorar en los gráficos existenciales donde el autor define el seudografico como “un estado de
cosas imposible” En el contexto de los gráficos existenciales el corte doble corresponde a la implicación, con el antecedente en el área externa y el consecuente en el Área interna. En la lógica algebraica puede señalarse otra conexión entre Peirce y la lógica intuicionista Peirce da una axiomatización de la lógica proposicional. En ella presenta la formula siguiente, conocida como ley de Peirce y que hasta ahora constituye la única referencia estándar en la matemática actual a Charles Peirce: Esta fórmula no es válida en el cálculo proposicional intuicionista, como se puede verificar en un álgebra de Heyting lineal con elementos x, y tales que y < x < 1 LEY DE PEIRCE Peirce dice: "Se requiere... para el principio del tercero excluido y otras proposiciones conectadas con él" la perspectiva actual es un hecho conocido que la ley de Peirce establece la diferencia exacta entre el calculo proposicional clásico y el intuicionista propuesto por Heyting. Con precisión, si a los axiomas del cálculo
intuicionista se añade la ley de Peirce entonces se obtiene un sistema axiomático para el cálculo clásico. Pero quizas el aspecto técnico más profundo donde coincide el legado de Peirce con el intuicionismo es el sustrato topológico que subyace a ambos; a Brouwer se le considera uno de los fundadores de la topología. La lógica intuicionista, que no deja de ser una localización del intuicionismo, tiene conexiones profundas con la topología: por una parte las álgebras de Heyting, que constituyen la contra parte algebraica del cálculo proposicional intuicionista, tienen como modelos típicos los retículos de abiertos de los espacio topológicos Respecto a Peirce, quizás donde mas afloraron sus ideas topológicas fue en los estudios acerca del continuo Por otro lado, las investigaciones de Peirce sobre el continuo a su vez encontraron una expresión local en los gráficos existenciales, que constituyen una auténtica lógica topológica Los gráficos existenciales fueron considerados por Peirce como su obra maestra, luego se obtendría una conexión muy fuerte entre el pensamiento peirceano y el intuicionismo si se puede demostrar que la lógica propia y natural de los gráficos existenciales es la lógica intuicionista. PRESENTADO POR:

DAVID FERNANDO TORRES POVEDA GRACIAS Luitzen
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