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보로노이 다이어그램을 이용한

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by

동현 민

on 21 December 2014

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Transcript of 보로노이 다이어그램을 이용한

보로노이 다이어그램을 이용한
블루큐브 만들기

1-1 배세나
1-2 민동현
1-6 최다빈
1-6 김동환
보로노이 다이어그램에 관하여
우리 생활속의 보로노이
현재 보로노이 다이어그램은 생소하지만, 건축, 생물학, 지리학, 그리고 예술분야에 까지 우리생활에서 많이 쓰이고 있다고 합니다.
우리들이 만든 워터큐브
① 먼저 보로노이 다이어그램을 만들기
위해 종이에다 점을 찍은후 점끼리
삼각형이 될 수 있도록 연결한다.
동기 & 목적
탐구동기
우연히 2008베이징 올림픽때 사용되었던 '워터큐브' 라는 경기장을 보고 신기하고 이색적인 구조물이라고 생각하고 있었는데, 교내 수학 구조물 대회를 계기로 수학적 원리를 탐구해보고 친구들과 직접 워터큐브를 만들게 되었습니다



(워터큐브)
탐구 목적
보로노이 다이어그램의 원리에 대해 탐구해 본다.

생활 속에 보로노이 다이어그램이 적용된 사례에 대해 탐구해 본다.

보로노이 다이어그램을 이용하여 워터큐브를 직접 만들어 본다.
보로노이 다이어그램의 원리
보로노이 다이어그램은 평면 내의 기준점들이 주어지고 그 각각의 점을 둘러싼 영역으로 공간을 분할시키기 위함인데 이때 분할된 영역 내의 어떤 점이 다른 영역의 기준점에서의 거리보다 자신의 영역의 기준점까지의 거리가 최단 거리가 되도록 공간을 구획하는 알고리즘을 다이어그램화 한 것입니다.
방법
그림과 같은 사각형 공간에 10개의 기준점을 주면 오른쪽 그림과 같은 보로노이 다이어그램이 나옵니다.
델로네 삼각분할
평면 위의 점들을 삼각형으로 연결하여 공간을 분할할 때, 삼각형들이 최대한 정삼각형에 가깝도록 한다.

보로노이 다각형과
델로네 삼각분할의 관계
보로노이 다이어그램과 델로네 삼각분할
은 서로 쌍대관계에 있습니다.

생활속 보로노이 다이어그램의 사례
(1)지리학-공공기관의 관할구역 분할 문제

여러 지역의 사람들이 모든 지역에서 가깝고 접근성이 편리하도록 어떤 지역의 공간을 효율적으로 나누는 문제를 분할문제라고 합니다.
이 문제를 해결하는 핵심은 보로노이 다이어그램이 특정한 점을 기준으로 가장 가까이에 있는 점들로 공간을 나눈다는 성질을 이용해 공공기관이 점이 되도록 보로노이 다이어그램을 그리면, 보로노이 다각형의 꼭짓점이 공공기관의 관할구역이 됩니다.
(2) 건축학- 워터큐브, 요트, 건물, 신도시 설계안
워터큐브
2008년 베이징 올림픽 경기장 중 가장 아름다운 곳으로 선정된 워터큐브는 외관이 634개의 입체로 이루어진 수영장으로 거대한 직사각형 외관이 3차원 보로노이 다이어그램 모양으로 이루어져 있다. 보로노이 다이어그램 모양은 세포의 분열이나 동물의 무늬, 벌 집과 같이 다양한 자연 구조와 닮아 예술적 가치 또한 높습니다.

요트
시각디자이너 김현석씨가 디자인한 초호화 요트인 ‘보로노이’는 보로노이 다이어그램을 이용하여 불필요한 공간을 없애면서 적은 재료로 견고한 구조를 만들었다고 합니다.

건물
지난 5월 동대문에 건설된 롯데피트인은 비정형의 격자무늬 구조인 보로노이 디자인을 외곽과 내부 천장, 바닥 등에 고루 적용해, 자유로운 분위기 가운데에서도 통일성이 느껴지게 하였습니다.

신도시 설계안
(서울 강서구 마곡지구)

서울 강서구 마곡지역은 보로노이 다각형의 모서리를 따라 물길을 만들어 동선이 최단거리가 되도록함으로써 효율성을 살린 사례입니다.

(3)과학 - 단백질 구조 분석, 로봇 경로
미국의 캘리포니아 공과대학의 백먼 연구소에서는 3차원 보로노이다이어그램을 이용하여 식물의 세포단위를 분석하였다.
2차원보로노이다이어그램은 분자를 이루고 있는 서로 다른 원자의 크기를 고려하는 것이 어려웠지만 3차원 보로노이 다이어그램을 통해 분자의 입체모양을 정확하게 파악해 같은 분자처럼 보이는 것을 거리와 위치를 파악해 서로 다른 분자와 구별할수 있게 되었다.
단백질 구조 분석
로봇 경로
보로노이 다이어그램은 로봇이 장애물을 만나면 피해가도록 동선을 짜는데에 핵심적인 역할을 한다. 이는 보로노이 다각형의 모서리가 분할된 공간에서 최단 경로 역할을 한다는 점을 이용한 것이다.

(4) 자연계 - 잠자리 날개, 기린 무늬, 개구리 알, 벌집모양, 거북이 등껍질, 비누거품
느낀점
일상생활에서 주제를 얻고 싶어, 평소보다 더 주변을 탐구하고 조사 해보았는데 이를 통해 관찰력을 기를 수 있었고, 정한 주제를 통해 우리가 함께 모여서 직접 구조물이라는 결과를 도출 해내면서 조원들끼리의 협동심을 기를 수 있었습니다. 만드는 과정에서 많은 실패와 시행착오도 있었지만, 모두 지금의 결과물를 만드는데 도움이 되었습니다. 수학하면 교과서에서만 배우는 어려운 수학을 떠올리게 되는데, 구조물을 만들면서 수학의 색다른 즐거움을 느낄 수 있었고, 알지못했던 수학적 원리를 알게 되어 유익한 경험이 되었습니다.


'보로노이 다이어그램'은 1868년 우크라이나에서 태어난 러시아의 수학자 조지 보로노이의 이름을 따서 지었다고 한다. 보로노이 다이어그램은 똑같이 않은 다각형으로 채워져 있어 규칙이 없는 것 처럼 보이지만, 수학적 원리로 평면을 분할하는 과정에서 나타나는 그림입니다.
② 삼각형의 각 변의 이등분선끼리 연결하여 연결
하고 빨간색선 처럼 다각형이 되게 만든 후 연필
로 만든 삼각형은 지운다.
③ 빨간선을 연결한 후 완성된 보로노이 다이어그램을 우드락을 대고 자
르기 쉽도록 사진과 같은 모양을 만들어 준다.

④ 종이에 만든 보로노이 다이어그램을 우드락위에 붙인 후 그림대로 우드락을 자른다.

⑤ 우드락 위에 셀로판지를 붙이고 위와같은 과정을 반복하여 우드락 판 5개를 만든 후 우드락을 직육면체모양으로 글루건을 이용하여 붙여서 작품을 완성!
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