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Portafolio

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by

Juani Fernández

on 11 December 2014

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Transcript of Portafolio

función exponencial
Función logarítmica
coordenadas polares
Derivada
Bibliografía
Portafolio
Temas:
Funciones
Función Racional
Función exponencial
Función logarítmica
Funciones
trigonométricas

Coordenadas polares
Continuidad
Limites
Derivada
Teorema del valor medio
Máximos y mínimos relativos

Funciones
Función Lineal
y= ax + b
Funcion cuadratica

Funcion Polinomica
Metodo de gauss Metodo de ruffini

Forma canonica : y= a ( x - xv )^2 + yv
Forma factorizada : y = a.( x - x1 ) . ( x -x2)
Forma Polinomica : y = ax^2+bx+c
Comprotamiento final
Es el comportamiento que tiene la funcion para los
valores de x
funciones trigonometricas
Funcion seno
funcion cos
Ecuacion General
Grafica:
Ejemplo: 2x+3
donde b es la ordenada al origen (corte con eje y)

Grafica
Ejemplo: x^2
"Toda funcion polinomica de grado n tiene n raices" Gauss
Metodos para encontrar las raices de un polinomio
Raices de la funcion cuadratica
An >0 – n par x → −∞ --> y→ +∞
x → +∞ --> y→ −∞
An <0 – n par x → −∞ --> y→ +∞
x → +∞ --> y→ −∞
An >0 – n impar x → −∞ --> y→ −∞
x → +∞ --> y→ +∞
An <0 – n impar x → −∞ --> y→ +∞
x → +∞ --> y →−∞
Clasificacion de
funciones
Inyectiva
Para todo x existe un unico valor de y
Sobreyectiva
Im = Cod
Para todo y existe un unico x
f: R →R
y = x^2 - 3

No inyectiva
y= x^5-2

inyectiva
y = x^2 - 3

No sobreyectiva


y= x^5-2

sobreyectiva
Forma General
f: P(x)
Q(x)
Condicion
La funcion no debe tener factores en comun en ninguno de sus terminos
Elementos
Dominio
Ordenada al origen
Raíces
Asíntota
se llama funcion racional, a la cual tiene la siguiente forma
Función racional
Dominio
En las funciones racionales
se admiten como valores de x
todos los numeros reales, excepto
los que hacen cero (0) al denomidor
Ordenada al origen
Para obtener la O.O se debe
reemplazar X=0 y asi obtener
el corte en el eje y de forma tal
(0;y)
Asintotas
Horizontal: Depende el grado del denominador y numerador
Si n < m , y=0 es la asíntota horizontal.
Si n = m , y = es la asíntota horizontal.
Si n > m , no existe asíntota horizontal.

n: grado denominador
m: grado numerador

Oblicua: existe cuando n-m=1, en este caso se procede haciendo la division entre el numerador divido el denominador completo, siendo el cociente la ecuacion de la asintota oblicua
Raices
Son aquellas que anulan la funcion, en este caso seran las raices del polinomio numerador
Verticales: son los X que no pertenecen al domino de la funcion

Elementos de la sinusoide
Ciclo: es la minima parte de la funcion la cual se repite indefinidamente
Radian: 180° = 1 radian = 1 π
Eje de referencia: es la linea horizontal, la cual divide la funcion en dos partes iguales
Amplitud (A): es el punto maximo o minimo de la grafica
Periodo (P): es la duracion, en radianes, del ciclo
Angulo de fase (k): es el valor que toma x para comenzar a dibujar la sinusoide
Ecuacion general de la sinusoide

y = A sen [B (x - k)] + C
y = A cos [B (x - k)] + C
Forma funcion base: a^x siendo a un numero real y a>0 y distinto a 1
Funcion modificada: si a la funcion base se le suma un numero k, su comportamiento sera
c<0 su grafica se desplaza k unidades hacia abajo
c>0 su grafica se desplaza k unidades hacia arriba
Funcion biyectiva, por ende tiene inversa
si a> 1 es creciente
si a < 1 es decreciente
y = a^x + k + c
k es positivo la curva va a la izquierda
k es negativo la curva va a la derecha
f: A / y = f(x)
f: B / y = f(x)
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

Notacion: P (p ; θ)
Ejemplo: r = cos θ
P (1 ;0°)
Se llama derivada de la funcion f en x=a, a la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en el punto de la abscisa en a
La derivada de una función, mide la variación que existe en Y cuando hay una variacion en x
Aplicado a una curva
Lerda. Ferrara. Matematica.Eudecor
Haeussler. Paul. Wood. Matematica para administracion y economia.Pearson
Stewart. Calculo. Thomson
www.vitutor.com
La funcion es creciente cuando x1 > x2 tal que Y1 > Y2
La funcion es decreciente cuando x1 <x2 tal que Y1 < Y2
y=x^3+x^2-4x-4
x
y
Continuidad de una función en un punto
Limites
Teorema del valor medio
Máximos y mínimos relativos
Teorema de Taylor
Indeterminaciones
Asíntotas
Integración de funciones
Calculo de volúmenes

Una función f es continua en
a
si y solo si se cumplen las siguientes condiciones
Función definida por partes discontinua
Función definida por partes continua
Si f no es continua en
a
, entonces se dice que f es discontinua en
a
, y
a
se llama
punto de discontinuidad
de f
Se dice que una función tiene
discontinuidad infinita
en
a
, cuando al menos uno de los limites laterales es mas/menos infinito
Definicion:
El limite de f(x) cuando x tiende a
a
, es el numero L, que se escribe:
siempre que f(x) este arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente cercana, pero diferente de a. si no existe tal numero, se dice que el limite
no existe
sea y = f(x) una funcion que cumpla las siguiente condiciones:
Es continua en [a,b]
Es derivable en [a,b]
entonces existe un punto a, donde la recta tangente es paralela a la recta secante como se ve en la figura.
Una función f tiene un máximo relativo en
a
si existe un intervalo abierto que contenga a
a
sobre el cual f(a) > f(x) para toda
x
en el intervalo. El valor máximo relativo es f(a).
Una función f tiene un mínimo relativo en
a
si existe un intervalo abierto que contenga a
a
sobre el cual f(a) < f(x) para toda
x
en el intervalo. El valor mínimo relativo es f(a).
La formula de Taylor para una función f(x) en el entorno de un punto a es:



donde el termino R se llama resto.

La formula de Taylor se utiliza para aproximar una función f(x) por medio de un polinomio, a partir de un valor
a
. La eficiencia de esta aproximación depende de dos factores:
La correcta elección del punto
a
El numero de términos que tenga el polinomio.

Las indeterminaciones son casos en que los resultados no son operables debido a que implican al cero y/o al uno y/o al infinito, es decir, no podemos llegar a un número o una expresión equivalente.
Las principales indeterminaciones son: (+∞)−(+∞), 0.(±∞), 0/0, (+∞)^0, 1^(±∞), 0^0, ±∞/±∞ donde todos los valores que aparecen son límites de funciones.
Si buscaramos el limite cuando x tiende a 1 de la funcion graficada, este nos daria una indeterminada del tipo 0/0.
entonces deberiamos resolverla de alguna de las siguientes formas.

Factoriando y cancelando terminos.
Regla de L’hopital.
Aplicando propiedades algebraicas.
Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales.
Proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la operación opuesta de la derivada asi como la suma es a la resta.
Vertical
Horizontal
Oblicua
Una asíntota es una recta a la que una curva se acerca cada vez mas. Para ser mas precisos, es necesario hacer uso de los limites infinitos.
Como ejemplo vemos que en las siguiente figura se observa que cuando x tiende a
a+,
f(x) se vuelve positivamente infinita
La recta x = a es una
asintota vertical
para la grafica de la funcion si y solo si se cumple añ menos uno de los enunciados siguientes.
Regla para determinar asintota vertical:
suponiendo que f(x)= P(x)/Q(x) donde P y Q son polinomios y el cociente esta en los terminos mnimos. La recta x = a es una asintota vertical para la grafica de f si y solo si Q(a) = 0 y P(a) = 0
Sea f una funcion no lineal. La recta y = b es una asintota horizontal de la grafica si y solo si, por lo menos uno de los siguientes enunciados es cierto.
Sea f una función. La recta y = mx + b es una
asíntota no vertical
para la gráfica de f si y solo si al menos una de las siguientes proposiciones es verdadera. m=0
Integrales definidas
La integral definida se representa por ∫ f(x) dx

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que
se integra.
a
b
Integrales indefinidas
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo:
El cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos.
Fernandez Juan Ignacio
Ingenieria Electromecanica

Relacion entre limite, derivada y continuidad.
Una función es derivable en un punto si, y solo si, existen los limites laterales en ese punto y sus valores coinciden.
Además, así en general, uno puede ver que en los picos o puntos angulosos de las funciones, las funciones no son derivables.

Una función derivable en un punto a es también continua en ese punto a.
extremo
relativo en a
implica
f'(a)=0
f'(a) no existe
Regla 1 : Criterios para funciones crecientes o decrecientes.
Regla 2 : Condicion necesaria para extremos relativos.
Regla 3 : Criterios para extremos relativos.

Prueba de la primera derivada para los extremos relativos.
Elegir un punto.
Derivar la funcion tantas veces como sea necesario.
Valuar en el punto cada f'
Aplicar la formula
A
Existencia: Sea f una relación de dominio A y de conjunto llegada B. Si cumple la condición de existencia, entonces para todo x de A, existe un y tal que (x,y) es elemento de F.
Unicidad: si (a,b) pertenece a f y (a,c) pertenece a f, entonces b=c, es decir que cada elemento del dominio tiene una sola y única imagen.-

Teorema de taylor.
Indeterminaciones
Asintotas
Integración de funciones
Solidos de revolución
Bibliografia
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