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Análisis de gráficas de funciones

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Angie Acosta Pabón

on 26 May 2016

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Transcript of Análisis de gráficas de funciones

En la gráfica y análisis de funciones se estudian las propiedades de las funciones, para la cual se utilizan métodos algebraicos y gráficos que incluyen localización de puntos y desplazamientos horizontales y verticales. También se utiliza como herramienta principal un sistema de eje de coordenadas rectangulares o plano cartesiano, para la gráfica de las mismas, con esto el estudiante tendrá menos probabilidad de tener confusiones; porque un análisis siempre debe estar claro.
El análisis o estudio de una función puede hacerse a través de obtener información de la expresión algebraica o representación gráfica de la función en cuestión. Así, se puede saber dónde está definida, los puntos de corte con los ejes coordenados y otros puntos, si tiene asíntotas o no y otros elementos que varían de acuerdo al tipo de función que se está analizando. Esos elementos, se especificarán con cada una de las descripciones de las funciones.
Se estima que en una empresa de venta de aplicativos software se utiliza el teléfono celular para realizar los correspondientes descargas legales, el consumo mensual en datos móviles por aplicación varía con la cantidad de descargas de este, de acuerdo a la función:

Y=-10+8lnX, siendo:

Y= Consumo de datos móviles, en mega bytes.
X= Cantidad de descargas.

2. Dominio:
Dom= {x/x Є (0,∞)}
1. Tipo de Función: Logarítmica
¿Porque la función es logarítmica?

Se dice que la función es logarítmica porque cumple con las siguientes propiedades:
*La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+ ∞).
*Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
*En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
*La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
*Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Para el análisis de las gráficas se deben tener en cuenta los siguientes pasos:
1. Tipo de función.
2. Dominio.
3. Continuidad.
4. Periodicidad.
5. Simetrías.
6. Asíntotas.
7. Corte con los Ejes y Signos.
8. Máximos y Mínimos Relativos y Monotonía.
9. Puntos de Inflexión y Curvatura.
10. Recorrido o Imagen.
ANÁLISIS DE GRÁFICAS
¿Qué son, para qué sirven?
Gráfica de la Función: f(x)= -10+8Ln(x)
El dominio de definición de una función f:X→Y se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:
3. Continuidad: Es continua en el Dominio.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Problema Aplicado a la Ingeniería
Tabla de Valores
Una función es periódica cuando el trazo de la función se repite cada cierto intervalo de la x siguiendo el mismo patrón.

4. Periodicidad: No es periódica.
5. Simetrías: No es simétrica respecto del eje Y, ni respecto del origen o(0, 0).
Si f(-x) = f(x) para todo valor x en el dominio de la función f entonces f es una función par y su gráfica es simétrica al eje y.
Una figura es simétrica si al doblarla sus regiones coinciden. El eje de simetría es la recta que divide a la región en dos partes iguales.

• Verticales: x = 0.
• Horizontales: no tiene.
• Oblicuas: no tiene.

Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

6. Asíntotas:
Corte con los Ejes:
*Eje X: O(3,5; 0).
* Eje Y: El eje OY es asíntota.

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Signo:
• Positiva (+): (3,5; +∞).
• Negativa (–): (0; 3,5).

*Para encontrar los valores de x para los cuales f(x) es positiva, podemos resolver la inecuación f(x)>0 y para encontrar los valores de x para los cuales f(x) es negativa, podemos resolver la inecuación 0>f(x).

7. Corte con los Ejes y Signos:

* Máximo relativo: No tiene.
* Mínimo relativo: No tiene.

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.


* Puntos de Inflexión: No tiene.
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

* Curvatura:
• Convexa: Ø
• Cóncava: (–1, +∞)
Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I.
1. Si f”(x) es mayor que 0 para todo x en I entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
2. Si f”(x) es menor que 0 para todo x en I entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
* Son todos aquellos valores que pueden tomar las imágenes, son valores que toman la función y o dependiente por eso se denomina f(x) su valor depende del de x.
8. Máximos y Mínimos Relativos y Monotonía:
Integrantes:
* Angie katherine acosta pabón.
* rony styk muñoz díaz

Ejemplo de una Función Logarítmica:
Ejemplos de las clases de Asíntotas:
Ejemplo de una Función Periódica:
Ejemplo de una Función Simétrica
Puntos de Corte del Eje Vertical y Horizontal
MONOTONÍA:
• Creciente: (0, +∞)
• Decreciente: Ø
-Diremos que una función es creciente en un intervalo, si para cualesquiera dos puntos de ese intervalo x, y tales que x<y, entonces se cumple que f(x)<f(y).
-Diremos que una función es decreciente en un intervalo, si para cualquiera dos puntos de ese intervalo x, y tales que x<y, entonces se cumple que f(x)<f(y).
9. Puntos de Inflexión y Curvatura:

10. Recorrido o Imagen: Rango= {y/y ∈ ℝ}
Ejemplo del Punto de Inflexión en una Función
Ejemplo de las Clases de Curvaturas:
Rango de una Función:
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