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Semejanza, Teorema de tales, Semejanza de triángulos

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Juan Felipe Puentes Ruiz

on 19 November 2014

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Transcript of Semejanza, Teorema de tales, Semejanza de triángulos

Semejanza, Teorema de tales, Semejanza de triángulos
SEMEJANZA
Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma de los continentes no cambia, pero si el tamaño.
¿QUE ES?
Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.
TEOREMA DE TALES
Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C

PRIMER TEOREMA
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, al saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

\frac{A}{B} = \frac{D}{C} \,

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
SEGUNDO TEOREMA
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.
Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC
son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es:
2 \alpha + 2 \beta = \pi = 180^{\circ}
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
A \widehat BC = \alpha + \beta = \frac {\pi} 2 \; = 90^{\circ}
Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.
LOS DOS TEOREMAS DE TALES
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos y sus lados homólogos proporcionales"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales) Es decir:
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 2
EJEMPLOS DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Razona si son semejantes los siguientes triángulos:

10·18=12·15 180=180
10·22.5=15·15 225=225

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.
EJEMPLOS DE SEMEJANZA
El triángulo es igual al otro porque tienen sus ángulos iguales sin importar el tamaño
EJEMPLOS DE EL TEOREMA DE TALES
Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.
EJEMPLOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 2
180º − 100º − 60º = 20º

Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
EJEMPLOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 3
Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.
EJEMPLOS DEL TEOREMA DE TALES 2
Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Tales
CIRCUNFERENCIA
La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador1

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica
CÍRCULO
Un círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.1

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y se utiliza indistintamente círculo por circunferencia, que es la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo).2 "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)
ELEMENTOS
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro=es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio=El radio de una circunferencia es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro=El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.
Diámetro=El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;
Cuerda=La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.
Recta secante=Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta tangente=Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de Tangencia es el punto de contacto de la recta tangente con la circunferencia;
Arco=El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
PUNTOS
Puntos
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
Segmentos
Radio: es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
Diámetro: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radios se unen en el medio de la circunferencia.
Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda define un arco.
Segmento meridian:línea que hace parte y sobresale del círculo .
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