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Ecuaciones de Segundo Grado

Deber de Matemática
by

Marco Enríquez

on 3 June 2014

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Transcript of Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuaciones de segundo grado
Definición
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.
Ecuación de segundo grado
La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:


donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser el número de soluciones reales de la ecuación).
Historia
El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de que las dos soluciones sean positivas). También el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.
Nombre: Marco Enriquez
Curso : 2do BGU "C"
Fórmula cuadrática
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:



donde el símbolo ± indica que los valores

y

constituyen las dos soluciones.
Discriminante
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):


Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.





En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):



donde i es la unidad imaginaria.
Ejemplo del signo del discriminante:
■Amarillo

< 0: no posee soluciones reales;

Rojo
= 0: posee una solución real (multiplicidad 2);

Azul
> 0: posee dos soluciones reales distintas.

Clasificación
1. Completa.
Es la forma canónica:


donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones:
1)
dos números reales y diferentes;
2)
dos números reales e iguales (un número real doble);
3)
dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante


ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:


donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.
Una ecuación cuadrática incompleta:


con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta.
Se expresa así:



donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.
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