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Trabalho Cálculo Numérico

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Rhuan Karlus Silva

on 13 February 2013

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Transcript of Trabalho Cálculo Numérico

Ricardo Bruno Carolina Souza Rhuan Karlus Eduardo Loures Interpolação Fenômeno de Runge é um problema que ocorre quando se usa interpolação polinomial com polinómios de ordem elevada. Soluções para o problema
do fenômeno de Runge Usar os nós de Chebyshev, o qual distribui mais homogeneamente o erro.

Usar funções de spline, onde temos convergência garantida. Interpolação Spline É uma técnica de aproximação que consiste em se dividir o intervalo de interesse em vários subintervalos e interpolar, da forma mais suave possível, nestes subintervalos com polinômios de grau pequeno. Spline Cúbico Teoria das Vigas Tratamos o nosso spline como uma Viga fina com forças externas atuando apenas nos "n" pontos.

Segundo a teoria a quarta derivada do Spline é nula.

Primeira e Segunda derivadas contínuas. Encontrando a função cubicamente interpoladora Visto que a quarta derivada é nula temos que S(x) deve ser de terceira ordem.

No geral a nossa S(x) será diferente em cada intervalo. Agradecemos especialmente a nossos pais.

Obrigado a todos pela presença e contribuição durante a apresentação!! Interpolação
Inversa Se f(x) for inversível num intervalo contendo y*, então faremos a interpolação de x = F(y) = g(y). Onde 'F' é a função inversa de 'f'.

Uma condição para que uma função contínua num intervalo [a,b] seja inversível é que seja monótoma crescente (ou decrescente) neste intervalo. Se esta condição for satisfeita, o problema de se obter x* tal que f(y*) = Y* será facilmente resolvido, se for obtido o polinômio Pn(y) que interpola g(y) = F(X) sobre [Y0,Y1].

Para isto, basta considerar x como função de y e aplicar um método de interpolação: x = F(y) = g(y) (aproximadamente) Pn(y). Algumas alternativas Spline Natural: As duas condições mais simples que nós podemos impor para resolvermos nosso sistema são M1 = Mn = 0. Isto é, a segunda derivada da spline é zero nos extremos.

-> A spline natural tende a achatar a curva interpoladora nos extremos, o que pode ser indesejável. Spline Parabólica Emendada: A spline reduz as parábolas no primeiro e no último intervalo, ou seja, M1 = M2 e Mn = Mn-1.

-> M1 = M2 implica que a1 = 0 e Mn = Mn-1 implica que an-1 = 0. Assim, não há termos cúbicos na fórmula para a spline nos intervalos extremos [X1, X2] e [Xn-1, Xn]. Portando, a spline parabólica emendada reduz a uma curva parabólica nestes intervalos extremos. Spline Cúbica Emendada: A spline é uma curva cúbica nos dois primeiros e nos dois últimos intervalos, ou seja, M1 = 2M2 – M3 e Mn = 2Mn-1 – Mn-2 .


-> S(x) consiste de uma única curva cúbica no intervalo [X1,X3], ao invés de duas curvas cúbicas diferentes juntadas em X2. Exemplo: Interpolar estas cinco medidas temperatura-densidade com uma spline parabólica emendada. Alguns comentários sobre interpolação Ao interpolarmos um polinômio de grau n por um polinômio de grau >= n obtemos o polinômio original. Seja aproximar f(0.37) por polinômio de interpolação de grau ≤ 4. Devemos escolher { X0, X1, X2, X3, X4} = {0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6} , pois o 0.37 está mais próximo de 0.6 que de 0.1.
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