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Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución

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Itzel González

on 5 June 2016

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Transcript of Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución

INTRODUCCIÓN
En este trabajo se explicará cómo se calcula el volumen de un sólido de revolución por el método de las arandelas o los anillos, el método de discos y el método de cilindro o capas.

Se mostrará parte de su origen, y algunas de sus aplicaciones.
PRINCIPIO DE CAVALIERI
Si dos solidos tienen alturas iguales y si las secciones hachas por planos paralelos a las bases y a la misma distancia están siempre en la misma proporción, entonces los volúmenes de los sólidos están también en la misma proporción.
VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION
Volumen:
Es la cantidad que contiene un envase. Volumen implica trabajar en tres dimensiones. Observa que a un plano se le puede calcular el área, pero no el volumen puesto que solo tiene dos dimensiones.

Los sólidos de revolución:
Son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje.

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas
OBJETIVOS
• Dar a conocer la aplicación que tienen las integrales sobre el cálculo del volumen de sólidos.

• Comprender los diferentes métodos y sus funciones.

• Explicar de manera clara las distintas técnicas.

MARCO TEORICO
Durante el siglo anterior se desarrollaron técnicas para calcular áreas y volúmenes.

Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyo a estos desarrollos. Estudio como calcular áreas y volúmenes de diferentes cuerpos, especialmente de cuerpos de revolución.

El método de Kepler consiste en diseccionar un sólido en un número infinito de piezas de una forma y tamaño conveniente. Y al final se suma el total de secciones para obtener el volumen total.

Los elementos infinitesimales de Kepler tienen las mismas dimensiones que el cuerpo que quiere medir.

Métodos para calcular el volumen de un sólido de revolución
Integrantes:
Arronis Domínguez
Flora María
Blanco Reyes Katherine
Monserrat
Brown Hernández
Antonio
Carranza Pérez
Ninfa
Cadena Domínguez
Susana Amayrani
González Carbajal
Rosa Itzel
Hernández Romero
Jazmín

Rotación paralela
al eje x
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, x = a y x = b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor
Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):
en el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las funciones se debe aplicar:
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste método permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b]. Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:
Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
Por ejemplo: El cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
CALCULO DE
VOLÚMENES
MÉTODO DEL DISCO.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = π R 2 w
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.
Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es π R 2 w, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
FÓRMULA DEL VOLUMEN
POR DISCOS
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:
Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
COMO HALLAR VÓLUMENES
POR EL MÉTODO DEL DISCO O ARANDELA
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea perpendicular al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.

3. Establecer los límites de integración.

4. Por último, integrar para hallar el volumen deseado.

EJEMPLO 1: La región entre la curva y =√ x, 0≤x≤ 25 y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen.
1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA: Abajo se muestra la región R pedida:
2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir: r=√x
3. LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron dados en el enunciado del ejemplo: 0 ≤ x ≤ 25.
4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:
2. METODO DE
LA ARANDELA
Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:
Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos.
Hallar las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r), usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función ʄ y el radio interior (radio más pequeño) se obtiene por la función g. Hallamos el área de la arandela así:
Área de la arandela:
ACONTINUACION SE ESTABLECE
LO SIGUIENTE:
El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x (o algún eje paralelo a él) viene dado por:
Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él) tiene una expresión análoga a la anterior. Se observa que:
es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con c ≤ y ≤ d.
3. METODO DE LOS
CASQUILLOS CILÍNDRICOS.
A continuación, observaremos él ultimo método, el cual es uno de los más potentes; este es llamado, “Método de los Casquillos Cilíndricos”, también se le conoce como “Método de Capas”. Para poder empezar se debe considerar la siguiente figura:
Tenemos pues una región R acotada por una función ʄ continua y por las rectas x = a y x = b, y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber r1 = f ( y ) y r2 = f ( y ). Ambos radios resultaron ser la misma ʄ, y por tanto no se puede aplicar el método de Arandelas ni mucho menos el método del Disco.
Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado es perpendicular al eje de rotación, se considera el mismo segmento, pero paralelo al eje de rotación (eje y), como se muestra en la siguiente figura:
Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un sólido:
Para determinar el volumen del sólido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en lugar de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y).
Ahora se debe de hallar el volumen de este casquillo. El volumen correspondiente viene dado por:
Donde ∆x: representa el grosor del casquillo (grosor del segmento). Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilíndricos tomados del sólido, generan aproximadamente el volumen del sólido.
En la siguiente figura la altura (h) del cilindro se expresa por medio de la función h = f (x). Por último, si integramos VC con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber:
La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y.
Para f (y) ≥ 0 y c ≤ y ≤ d.
EJEMPLO 1: Halla el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = 2x, y = x / 2 y x =1, alrededor del eje y.
SOLUCIÓN: Como se usará el método del casquillo cilíndrico, sobre la región R se traza un segmento que sea paralelo al eje de rotación, como se muestra en la figura de abajo.
Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El radio r del casquillo en nuestro caso es x; la altura h del casquillo es:
Refiriéndonos a los límites de integración son x = 0 y x =1. Con esta información, podemos decir que el volumen del sólido generado es:
Luego el volumen de este sólido es de 2π u3.
CONCLUSION
Se logró cumplir todos los objetivos planteados al principio.

Se comprendió que las integrales tienes muchas y diversas aplicaciones.

El método de Arandelas es una variación del método de discos, desarrollando el cálculo de dos discos a partir de f(x) y g(x) y restando el área del disco menor mayor.

REFERENCIAS
1. https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf

2. https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n

3. http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Iaplica/ia_aplicacion06_d.html
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