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CUANTIFICADORES

Javier Nieto
by

Eliana Rueda

on 31 March 2013

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Transcript of CUANTIFICADORES

JAVIER NIETO RESTREPO CUANTIFICADORES TIPOS ALFABETO LÓGICA
DE PREDICADOS UNIVERSALES EXISTENCIALES Un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen dos tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos así:cuantificador universal: Para todo x... cuantificador existencial: Existe por lo menos un x... RELACIÓN CUANTIFICADOR
UNIVERSAL Y EXISTENCIAL CARACTERISTICAS CUANTIFICADORES Cuantificador universal (para todo). El cuantificador universal permite referirse a todos los individuos del universo del discurso.Todo x
Cualquiera x
Cada x
Cuantificador existencial (existe). El cuantificador existencial permite referirse a algunos de los individuos del universo del discurso.
Hay x
Existe x, tal que
Algún x Algunos x Con los cuantificadores se pueden escribir
proposiciones. Por ejemplo, las proposiciones
p y q que se enuncian a continuación, tienen
los cuantificadores universal y existencial,
respectivamente:
p: Todos los animales necesitan agua para vivir.q: Existe un número que es primo y par.P:Todos los números pares son divisibles entre dos.q: algunas frutas son acidas. Para negar proposiciones con cuantificadores, se
cambia el cuantificador universal por el existencial
o el cuantificador existencial por el universal y se
niega la proposición.

Así:
r: Todos los números son pares, es:
-r: Algunos números no son pares.
s: Existen peces que son mamíferos, es:
-s: Todos los peces no son mamíferos. Las variables, también pueden ser cuantificadas. Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son:

El cuantificador universal; " indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. Por ejemplo: " X . . . .Establece que "para todo X, es verdad que . . . « Este alfabeto esta formado por:

Conjunto de Símbolos de Variables(VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices.

Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas, también utilizaremos subíndices.

Conjunto de letras de función(FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f,g,h,L. Incluimos subíndices para poder diferenciar las funciones.Conjunto de letras de Predicado (PRED): Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.
(∀x) es cuantificador universal
A es el ámbito (alcance) del cuantificador.
El símbolo ∀ se lee “para todo”.

Ejemplo:
todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.
Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es un gato, entonces x tiene cola” y se define como:
Gx ↔ x es un gato
Cx ↔ x tiene cola ∴
(∀x) Gx → Cx cuantificador existencial;$ , indica que la fórmula bien formada, dentro de su alcance, es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio. Por ejemplo: $ X . . . .

Establece que "existe un X, tal que . . . "
A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados:
"X, [niño (X) => le_gusta (X, helados)].
" Y, [mamífero (Y) => nace (Y, vivo)].
$ Z, [cartero(Z) ^ mordió (Carlos, Z)]. Se representan mediante letras mayúsculas, Símbolos de conectivas:
¬ = Negación
= Conectiva "o"
= Conectiva "y"
→ = implicación
= Doble implicación o equivalencia

Cuantificadores:
=existencial
∀=Universal TEORIA DE
CONJUNTOS Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:





Todo elemento x de A pertenece a B: Al ser A y B conjuntos diferentes, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:

Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A. Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:



que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).
Según el ejemplo anterior: Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que podemos expresar:



No existe un x de A, que cumpla que x no este en B. Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

existe al menos un elemento x de B que pertenece a A: Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento y de B que no pertenece a A:


Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.
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