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유클리드 기하학

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by

지혜 김

on 27 October 2014

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Transcript of 유클리드 기하학

유클리드 기하학 책 구성
제1권 : 정의, 공리, 공준, 삼각형, 평행선, 평행사변형, 피타고라스의 정리

제2권 : 피타고라스의 정리 응용 (코사인 법칙)

제3권 : 원, 현, 할선, 접선, 각의 측정

제4권 : 기본적인 작도, 원의 내접 또는 외접하는 다각형에 관한 정리

제5~6권 : 기하학의 비율이론

제7~9권 : 정수론

제10권 : 무리수론

제11~13권 : 입체기하학
유클리드 기하학 정의 1
1. 점은 쪼갤 수 없는 것이다.

2. 선은 폭이 없이 길이만 있는 것이다.

3. 선의 양 끝은 점들이다.

4. 직선은 점들이 쭉 곧게 있는 것이다.

5. 면은 길이와 폭만이 있는 것이다.

6. 면의 끝은 선들이다.

7. 평면은 직선들이 쭉 곧게 있는 것이다.

8. 평면에 있는 두 선이 서로 만나고, 그들이 한 직선에 놓여 있지 않을 때, 그들이 서로 기운 정도를 각(평면각)이라 부른다.

9. 각을 만드는 선이 둘 다 직선일 때, 그 각을 직선각(직선으로 만든 각)이라 부른다.

10. 직선에다 다른 한 직선을 세웠을 때, 이웃한 각들이 크기가 서로 같으면 그 각을 직각이라 부른다. 이 때 세운 직선은 원래 직선과 수직이다.

11. 둔각(뭉퉁한 각, 무딘 각)은 직각보다 큰 각이다.


유클리드 기하학 정의 2
12. 예각(뾰족한 각)은 직각보다 작은 각이다.

13. 둘레(경계)는 어떤 것의 끝이다.

14. 도형(꼴)은 둘레나 둘레들에 둘러싸인 것이다.

15. 어떤 선으로 둘러싼 도형이 있어서, 한 점에서 직선들을 그었을 때 그 도형에 놓이는 부분이 모두 서로 같으면 그 도형을 원이라 부른다.

16. 이 때 그 한 점을 원의 중점(중심)이라 부른다.

17. 원의 지름은 중점을 지나고 양쪽 다 원둘레에서 끝나는 직선을 말한다. 지름은 원을 이등분한다.

18. 지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러싼 도형을 반원이라 부른다. 반원의 중점은 원의 중점과 같다.

19. 다각형은 직선들로 둘러싼 도형이다. 삼각형은 세 개의 직선으로 둘러싼 도형이다. 사각형은 네 개의 직선으로 둘러싼 도형이다.

20. 세 변이 모두 같은 삼각형을 정삼각형이라 부른다. 두 변이 서로 같은 삼각형을 이등변 삼각형이라 부른다. 세 변이 모두 다른 삼각형을 부등변 삼각형이라 부른다.

21. 직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔각을 가진 삼각형이다. 예각삼각형은 세 각이 모두 예각인 삼각형이다.

22. 정사각형은 변이 모두 같고 각이 모두 직각인 사각형이다. 직사각형은 각이 모두 직각인 사각형이다. 마름모는 변이 모두 같은 사각형이다. 평행사변형은 마주 보는 변들이 서로 평행한 사각형이다. 이들 이외의 사각형들을 부등변 사각형이라 부른다.

23. 평행선이란 같은 평면에 있는 직선들로서 양쪽으로 아무리 길게 늘여도 양쪽 어디에서도 만나지 않는 직선들을 말한다.

유클리드 기하학
공리
유클리드(Euclid) 기하학에서는
증명을 필요로 하지 않거나 증명할 수 없지만 직관적으로 자명한 진리의 명제인 동시에 다른 명제들의 전제
가 되는 명제. 그러나 현대의 논리학에서는 명제의 자명성에는 관계없이 연역적체제의 기본이 되는 전제로 증명 없이 세워지는 명제를 공리라고 한다.
유클리드 기하학
공존
유클리드 기하학이란?
평면기하학 부문에서도 제2권은 기하학의 모양을 사용한 대수학의 초보이고 제5권의 비례이론은 오늘날의 실수이론에 가까운 고급인 것도 있다. 결국 《기하학원본》은 당시 피타고라스 ·플라톤 학파에 축적되어 있던 막대한 지식의 집대성으로서 단순한 지식을 모아놓은 것은 아닌 계통적 이론체계로서 정리된 것이다.

한편 그 후 수학적 비판정신의 발달에 따라서 각 세부를 살피면 다소 미비한 점이 없는 것은 아니며, 따라서 19세기에 접어들어 평행선의 공준의 검토에서 비유클리드기하학이 탄생하였다.

한편 공리계가 근대적인 의미에서 재음미되었고 1899년 D.힐베르트(1862∼1943)에 의하여 발표된 《기하학기초론》이 이 공리계에 의하여 재구성되었다. 《기하학기초론》의 입장에서는 힐베르트의 결합·순서 ·합동·평행·연속의 공리를 만족하는 체계가 유클리드기하학이라는 것으로 된다. 이것을 변환군의 입장에서 말한다면 유클리드적 계량변환에서 불변인 성질을 연구하는 기하학이라고 할 수도 있다.

더욱이 《기하학원본》은 성서다음으로 널리 읽혀진 책으로서 초등기하학에서는 지금도 이것을 본보기로 삼고 있다.
▶유클리드 기하학◀
1. 같은 것에 같은 것은 서로 같다.

2. 같은 것에 같은 것을 더하면 그 전체는 서로 같다.

3. 같은 것에서 같은 것을 빼면 그 나머지는 서로 같다.

4. 서로 겹치는 둘은 서로 같다.

5. 전체는 부분보다 크다.
1. 임의의 점으로부터 다른 임의의 점에 대해 직선을 그을수 있다.

2. 유한의 직선을 계속 곧은 선으로 연장할 수 있다.

3. 임의의 중심과 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 두 직선이 한 직선과 만날 때 같은 쪽에 있는 내각의 합이180보다 작으면 이 두 직선을 연장할 때 180°보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다. (평행선의 공리)
유클리드 기하학 예시
피타고라스의 정리
코사인 법칙
원에서의 특징(현, 할선, 접선)
작도
외*내심
입체도형 등
기하학적 공리
라고도 한다. 즉, 《기하학원본》에 있는 공리는, “동일한 것과 같은 것은 서로 같다”는 등 기하학 이외에서도 사용되는 기본적인 9개의 공리와 “임의의 2점을 연결하는 직선을 그을 수 있다”는 등의 기하학적인 5개의 공리로 이루어져 있다. 이
5개의 공리를 공준
이라 한다. 그 중에서
제5공준은 ‘평행선의 공준
’이라고 하는데 다른 공준으로부터 이끌어낼 수 없을까 하는 의문을 낳게 되어 많은 사람들이 이를 연구하여
비유클리드기하학의 탄생
을 보게 되었다.
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