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Funciones

Caracteristicas, Clases de funciones.

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Transcript of Funciones

Funciones
¿Qué es una función?
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
Características de una función
La principal característica de una función, es que debe cumplir que, para cada valor de dominio, le corresponda UNO y SOLO UN valor del codominio, esto es: para cada valor de X,debe haber uno y solo uno valor de Y Es por eso que una circunferencia no es una función.
• Variabilidad: se produce entre dos variables.
• Correspondencia: a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
• Unicidad: cada valor de la variable independiente tiene que tener una única imagen.

Una misma función puede expresarse de varias formas,en los textos de álgebra y de cálculo suele alternarse entre dos formas, igualmente válidas.
Generalmente tenemos todos los valores con variables a un lado de la ecuación, y las constantes al otro lado. Aunque con la simbología (x, y) definimos siempre a la (x) como la variable independiente y a (y) como la dependiente.
Una vez que identificas cual va a ser la variable dependiente e independiente es conveniente transformar la ecuación a su forma explícita. Esto se hace despejando la variable dependiente y dejándola aislada del resto.
Implícita
Explícita
De esta manera podemos expresar a la variable dependiente como una función de (x).
Una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

se denota como 1-1 , si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del codominio. En esta función, para dos valores cualesquiera x1 y x2 de su
dominio se cumple que:
Para comprobar gráficamente que una función es 1-1 basta
con comprobar que toda recta paralela al eje "x" corta a la
gráfica de la función en un solo punto.
Para comprobar analíticamente si una función es 1-1 se despeja, cuando esto es posible, la variable independiente "x" en términos de la variable dependiente "y" y se comprueba que para cada valor de "y" exista un solo valor de "x".
Inyectiva

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.
Se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva, sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva.
Biyectiva
Sobreyectiva
Una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Continua
Discontinua
Son aquellas gráficas que no presentan ningún punto aislado, saltos o interrupciones y que están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado son llamadas funciones continuas.
Las gráficas que presentan algún punto aislado, saltos o interrupciones, es decir, que no están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado, son llamadas funciones discontinuas.
Funciones Algebraicas
Espaciales
Polinominal
Son funciones cuya gráfica es una recta, vienen expresadas por polinomios de grado uno, es decir, donde las variables están elevadas a la potencia 1.
Las funciones polinómicas de primer grado son funciones del tipo f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada en el origen.
En la función f(x) = mx + b se pueden presentar que:
Cuando b = 0, la función se denomina función lineal o de proporcionalidad directa, su gráfica pasa por el origen de coordenadas, estas funciones relacionan dos variables directamente proporcionales.
Cuando m y b son distintos de 0, la función se llama función afín.
1° Grado
Las funciones cuya ecuación es
y = ax2 + bx + c
con a,b y c números y a distinto de 0
(el valor de b y c si puede ser 0)
se llaman cuadráticas y se representan mediante parábolas con su eje paralelo al eje Y.
Estas parábolas son más o menos abiertas y con las ramas hacia arriba o hacia abajo, según cual sea el valor de a:
· Si a > 0, las ramas van hacia arriba.
· Si a < 0, las ramas van hacia abajo.
Además cuanto mayor sea |a|, menos abierta es
la parábola.
El eje de simetría de la parábola es la recta
vertical que divide a ésta en dos partes iguales.
El vértice de la parábola es el punto de corte de dicho eje con la parábola y tiene de coordenadas
2° Grado
Son las de la forma y = ax3 + bx2 + cx + d , siendo a , b , c y d números reales.
Todas estas funciones tienen dominio y recorrido R y son continuas. Respecto de los puntos de corte con los ejes podemos decir que la gráfica puede cortar al eje de abscisas en 1, 2 ó 3 puntos y al eje de ordenadas siempre en el punto (0,d)
Las gráficas de estas funciones cúbicas son de cuatro tipos exclusivamente, que distinguiremos por los extremos y los puntos de inflexión :
- Sin extremos, el punto de inflexión separa la región cóncava de la convexa o la convexa de la cóncava. Aparecerán ejemplos en los casos 1, 2 y 4
- Con dos extremos, un máximo y un mínimo, el punto de inflexión separa la región convexa de la cóncava o un mínimo y un máximo, separando el punto de inflexión la región cóncava de la convexa.
3° Grado
Función en la que el exponente que acompaña a la variable “x” es el numero 4.
F(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e con el numero de a siempre diferente de cero.
El dominio de este tipo de funciones es el conjunto de los números reales.
El rango depende de como este formulada la función, la grafica de esta función es una parábola que puede cortar a la línea de las “x” máximo 4 veces.
Es igual a la función cuadrática y es porque todas las funciones de grado par presentan este tipo de curva.
El rango en este caso son los valores de “y” y van desde cero hasta infinito rango(0,∞).
El cero de la función es x=0 úes es donde la grafica toca la línea de las “x”
4° Grado
Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
Racional
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:
Donde g(x) es una función polinómica o una función racional.
Si n es par, el radical está definido para g(x) ³ 0; así que a los efectos de calcular el dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al conjunto de la expresión f(x).
Camila Andrea Cucaita Mariño
1101 j.m.
¡Gracias!
La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir su valor prescindiendo del signo.
Esta función se puede escribir descompuesta en dos tramos:
Función valor Absoluto 2do grado
Función valor Absoluto 1er grado
Valor Absoluto
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en
R, f :[a,b] -→ R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.
Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones:
Escalonada
La función identidad es del tipo:

f(x) = x

Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.
Identidad
El caso especial: f(x) = a0, con a0 ∈ R es una función polinomial de grado cero, conocida como
función constante.
En este caso, f en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.
Por ejemplo, si nosotros asignamos x = 2, la máquina siempre nos devolverá el valor a0. Y ese
mismo valor devolverá independientemente del valor que asignemos a x. Por eso no los transforma.
Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente
te devuelve siempre el mismo valor.
Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de f(x) no cambia:
La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Constante
Irracional
Funciones Trascendentes
Sea a un número real positivo.
La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x.
-Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1
-Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a
- La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) >0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
- Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
- Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Exponencial
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) = logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que :

-La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+ infinito).
-Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
-En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
-La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
-Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Logarítmica
Trigonométrica
Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

-Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.

-Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).

-Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.

-Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x.
f(x) = sen x
La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.
f(x) = cosen x
La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del ángulo cuya medida en radianes es x.
f(x) = tg x
Seno
Coseno
Tangente
Es la razón entre la ordena y la distancia al origen.
Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen.
Es la razón entre la ordenada y la abscisa.
Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

-La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = arc sen x.

-La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) = arc cos x.

-La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x)= arc tg x.
El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:


Fórmula de la arcoseno
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:


Composición del arcoseno y el seno.
Su abreviatura es arcsen o sen-1.
Arcoseno
El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:


Fórmula de la arcocoseno
Al ser el arcocoseno y el coseno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:


Composición del arcocoseno y el coseno.
Su abreviatura es arccos o cos-1.
Arcocoseno
La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:


Fórmula de la arcotangente
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:


Composición de la arcotangente y la tangente.
Su abreviatura es arctan o tan-1.
Arcotangente


http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html
http://es.slideshare.net/karenaylencantan/funcines-power-point-karen-terminado
https://ieslilab.files.wordpress.com/2011/04/documento-0.pdf
http://cibertareas.info/tipos-de-funciones-ejemplos-matematicas-4.html
http://cienciasdejoseleg.blogspot.com/2012/12/forma-explicita-e-implicita-de-una.html
http://funcionesmatematicasnavin-joseph.blogspot.com/
http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_I_FUNCIONES_III.pdf
http://lafuncionmatematica.blogspot.com/2012/02/funciones-continuas-discontinuas.html
http://www.eduteka.org/proyectos.php/1/3587
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones2/impresos/quincena9.pdf
http://www.aularagon.org/files/espa/ON_Line/matematicas/CMMC5Funciones/CMMC7Complementarias_3.htm
http://www.authorstream.com/Presentation/cobach-1397526-funcion-de-cuarto-grado/
http://olmo.pntic.mec.es/~agog0016/funcione/paginas/rac_irra.htm
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Procedimiento_analizar_funcion/2bcnst_14_9.htm
http://es.slideshare.net/marcellisima/funcin-valor-absoluto
http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/funciones/DGB4_1_2_3.pdf
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/escalona.htm
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_identidad.html
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/funciones/ap05_funciones.php
http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica
http://www.hiru.com/matematicas/funciones-trigonometricas
http://www.ditutor.com/funciones
http://es.slideshare.net/guest0edf07/funciones-trigonometricas?related=1
http://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/funciones-trigonometricas-inversas/
http://es.slideshare.net/auroradomenech/funciones-a-trozos-30719561

Tipos de Funciones
Bibliografia
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