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Geometria Espacial

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by

Isabele Pessoa

on 14 October 2015

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Transcript of Geometria Espacial

Geometria Espacial
Cubo e Dodecaedro
O QUE SÃO?
Poliedros regulares convexos, sendo o dodecaedro também um poliedro estrelado
SEMELHANÇAS
Sólidos platônicos
Snubificação
Truncatura
Os poliedros são estudados desde a Grécia Antiga na escola de Pitágoras, 600 aC. Alguns em especial como o tetaedro, octaedro, icosaedro, cubo (hexaedro) e o dodecaedro.
Assim surge a associação com os átomos do universo, passando a chamá-los de Sólidos Platônicos
Os pitagóricos sabiam que existiam apenas cinco regular sólidos regulares convexos e que cada um podia ser rigorosamente circunscrito por uma esfera. Euclides descreve estes sólidos no seu livro Elementos, parte XIII, da proposição 13 à proposição 17, onde se encontra o argumento heurístico de que estes são os únicos sólidos regulares. O matemático Euler fez a demonstração deste resultado no séc. XVIII.
Kepler no início do séc. XVII, sugeriu associar os Sólidos Platónico aos planetas conhecidos nessa altura: Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno

POLIEDRO DUAL
CUBO OCTAEDRO
ICOSAEDRO
O cubo possui 12 arestas (segmentos de retas) congruentes, 6 faces quadrangulares com ângulo diedro de 90º, 8 vértices (pontos) e ângulo central de 70º32'
O dodecaedro possui 30 arestas, 20 vértices, 12 faces pentagonais com ângulo diedro de 116º34' e ângulo central de 41º49'
CÁLCULOS
Cubo
CÁLCULOS
Dodecaedro
CURIOSIDADES
Diagonal da base
db = a√2
Diagonal do cubo
db = a√3
Área da base
Ab = a²
Área lateral
AL = 4a²
Área total
AT = 6a²
Volume
V = a³
Para calcularmos a área total de um dodecaedro precisamos levar em conta a área do pentágono, que é dada pela seguinte expressão A = (a*P)/2. Onde:
a = media do apótema do pentágono
P = perímetro do pentágono
Calculada a área do pentágono, basta multiplicar por 12 (número de faces pentagonais do dodecaedro).

REFERÊNCIAS
http://www.todamateria.com.br/poliedro/
http://www.mundoeducacao.com/matematica/dodecaedro.htm
http://blogdoprofessornovaes.blogspot.com.br/2012/05/um-pouco-da-historia.html
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EXERCÍCIO RESOLVIDO
HISTÓRICO
PLANIFICAÇÃO
Alguns destes modelos, ver figura 1, encontram-se no Museu Ashmolean em Oxford, Reino Unido.
Acreditava-se que toda a matéria também tinha o lado místico. Assim, no diálogo Timaios, Platão associou o tetraedro ao elemento fogo, o cubo à terra, o icosaedro à água e finalmente o dodecaedro ao quinto elemento (o universo).
Misticismo: Pela teoria grega dos quatro elementos, a cada um dos elementos estava associado um sólido: terra com o cubo, fogo com o tetraedro, água com o icosaedro e ar com o octaedro; o dodecaedro ficava de fora, sendo considerado o mais misterioso dos sólidos e o mais difícil de construir. De acordo com Platão, Deus havia usado o dodecaedro para construir o universo.
Mas será que todos os poliedros regulares são convexos?
Um poliedro diz-se convexo quando os ângulos diedros formados por duas faces consecutivas forem menores que 180º.
Apresentando-se então os sólidos platônicos denominados de POLIEDROS (poli = muitos; hedros = faces): Sólidos delimitados por regiões planas que constituem as faces.
Então: Sólidos Platônicos são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares (polígonos com os lados e ângulos todos iguais) e que têm o mesmo número de faces que se encontram em cada vértice.
Kepler descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos- o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Mais tarde, foi provado que existem apenas nove poliedros regulares, sendo cinco convexos (Sólidos Platônicos) e quatro não convexos (sólidos de Kepler-Poinsot).
O mineral pirita aparece frequentemente em cristais isométricos sob a forma de dodecaedros.
No Teorema de Euler: V - A + F = 2. Se essa condição atender, significa que o poliedro é regular convexo e consequentemente terá de ser um dos cinco Sólidos Platônicos.
tg 36º = 3/a
0,727 = 3/a
a = 3/0,727
a = 4,1

Perímetro do pentágono:
6 x 5 = 30

Aplicando a fórmula para área do pentágono A = (a*P)/2, temos:
A = (4,1*30)/2
A = 61,5 cm²

Área do dodecaedro que possui arestas medindo 6 cm:
61,5 x 12 = 738 cm²
Pede-se: apótema, perímetro e área
Em 1939 foi encontrado em Leopoldswall na Alemanha um dodecaedro de bronze cuja função ainda não foidescoberta. Possibilidades apontam que poderia ter sido um candelabro, instrumento de guerra, medida ou até mesmo algo místico.
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