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Funciones de Verdad y Algebra de Boole

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Remigio Vásconez

on 11 April 2013

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Funciones de Verdad
y Álgebra de Boole TABLAS DE VERDAD Para evaluar el valor de verdad de una proposición compuesta es muy útil usar una tabla de verdad. Esta es sencillamente una tabla que muestra el valor de la función de salida (proposición compuesta) para cada combinación de las variables de entrada (proposiciones componentes) COMPUERTA AND
La compuerta AND es un dispositivo de dos o mas entradas y una salida que cumple con la condición que la salida toma el valor lógico 1 si, y solo si todas las entradas valen 1. COMPUERTA NOT La compuerta NOT es un dispositivo de una entradas y una salida que cumple con la condicióń que la salida toma el valor lógico negado de la entrada.
Ahora es importante relacionar los operadores lógicos con los circuitos electrónicos, y para esto tenemos las compuertas lógicas, que son el equivalente electrónico de los operadores lógicos. La compuerta lógica es un dispositivo electrónico que cuenta con un terminal de salida y varios terminales de entrada. El potencial de voltaje con respecto a tierra de cualquier terminal de entrada o salida, puede asumir solo uno de dos valores específicos. Uno de los voltajes representará el verdadero y el otro voltaje el falso. REALIZACIÓ́N FÍSICA DE LOS OPERADORES LÓGICOS FUNCIONES DE VERDAD Operadores Lógicos La potencia de los sistemas digitales está en la capacidad de sus componentes para tomar decisiones lógicas. Para esto debemos poder representar las proposiciones lógicas formuladas en lenguaje ordinario, con proposiciones simbólicas osea asignarle un símbolo a la proposición.
En lógica las proposiciones son verdaderas o falsas, y para expresar su valor de verdad utilizaremos el símbolo "F" o "0 "para falso y "V" o "1" para verdadero.
También representaremos las proposiciones en sí con ayuda de símbolos. Por ejemplo para simbolizar la proposición " la puerta está abierta" podríamos utilizar la letra P. Si realmente la puerta está abierta podemos entonces decir que P =1. (o P=V)
Para cada proposición positiva existe una proposición negativa así podemos decir "la puerta NO está abierta" que representaremos como P=0. (o P=F). Para simbolizar está proposición podemos hablar de P negada que representaremos como P^ .
Las proposiciones solas no tienen mucho sentido si no se relacionan con otras para tomar decisiones. Así podemos reunir varias proposiciones lógicas para obtener una proposición compuesta. El valor de verdad de la proposición compuesta (verdadero o falso; 1 o 0) dependerá del valor de verdad de cada proposición componente y de la relación entre estas. La relación entre las proposiciones lógicas componentes viene dada por el operador lógico.
Los operadores lógicos primarios son el AND, el OR y el NOT Operador lógico AND ( conjunción lógica): Una proposición compuesta que utiliza este operador para relacionar sus proposiciones componente será verdad SI y SOLO SI las proposiciones componentes son verdaderas. Se simboliza con "·" y al igual que en el álgebra convencional puede suprimirse. ( AB , A ·B). Ejemplo:"José irá a la playa si el carro está listo Y el día es soleado"

Operador lógico OR (disyunción lógica): Una proposición compuesta que utiliza este operador será verdad si cualquiera de las proposiciones componentes es verdadera. Se simboliza con el signo "+". (A+B). Ejemplo:"La alarma sonará si se abre la puerta O se golpea el carro"

Operador lógico NOT (negación): Este operador se refiere a una sola proposición, negando su valor de verdad. Se representa con una barra sobre el símbolo que representa la proposición. ( P .) Los operadores lógicos NOT, AND y OR se conocen como operadores lógicos básicos, puesto que cualquier función puede expresarse como una combinación de ellos. COMPUERTA OR
La compuerta OR es un dispositivo de dos o mas entradas y una salida que cumple con la condición que la salida toma el valor lógico 1 si, y solo si una o mas entradas valen 1. Las tres compuertas básicas enumeradas anteriormente pueden combinarse para realizar funciones lógicas mas complejas.
A continuación se muestran otras tres funciones importantes que se pueden realizar con compuertas, indicando su símbolo, su función y su tabla de verdad. COMPUERTA NAND
La compuerta NAND es un dispositivo de dos o mas entradas y una salida que equivale a una compuerta AND seguida de negador (NOT AND = NAND).
Cumple con la condición que la salida toma el valor lógico 0 si, y solo si todas las entradas valen 1. Si no la salida toma el valor 1. Se representa como una compuerta NAND seguida de un circulo que denota la negación. COMPUERTA NOR

La compuerta NOR es un dispositivo de dos o mas entradas y una salida equivalente a una compuerta OR seguida de un negador (NOT OR = NOR).
Cumple con la condición que la salida toma el valor lógico 1 si, y solo si todas las entradas valen 0. Para las otras combinaciones la salida es 0.Se representa como una compuerta OR seguida de un circulo que denota la negación COMPUERTA EXOR
La compuerta EXOR (orexclusivo) es un dispositivo de dos entradas y una salida que cumple con la condición que la salida toma el valor lógico 1 si, ysolo si las entradas son diferentes. UNIVERSALIDAD DE LAS COMPUERTAS NAND Y NOR
Esta compuertas se dicen que son "universales" puesto que con cada una de las dos familias podemos realizar todas las funciones lógicas.En la tabla a continuación se muestran los operadores lógicos en función de solo compuertas NOR y solo compuertas NAND. compuertas NAND. ÁLGEBRA DE BOOLE
En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitos mas económicos. Las expresiones booleanas serán una representación de la función que realiza un circuito digital. En estas expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas (AND, OR NOT) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables binarias).
Los símbolos elementales son:
0: representativo de FALSO
1: representativo de VERDADERO
Las operaciones fundamentales son:
Conjunción u operación AND (se representa con · )
Disyunción u operación OR (se representa con + )Complementación, Negación u operación NOT ( se representa con una barra sobre la variable, X Las variables son las proposiciones, que se representan o simbolizan por letras POSTULADOS del Algebra de Boole: Teoremas del Algebra de Boole: DUALIDAD
Los postulados y teoremas presentados anteriormente están representados en pares. La razón es que cada teorema posee lo que llamamos un dual. El dual de una expresión se obtiene intercambiando las ocurrencias de OR por AND, 0 por 1 y viceversa.. Si un teorema es valido, también lo será su dual, En efecto siguiendo el dual de la demostración del teorema, se obtiene la demostración del dual del teorema. Por ejemplo dado el postulado 0+0 = 0 se obtiene el dual haciendo 1·1 = 1 Para simplificar una función por medio de estos teoremas debemos considerar que es lo que queremos conseguir ¿Una expresión con menos literales? ¿una expresión con menos operaciones?
La respuesta depende de lo que deseamos optimizar, ¿velocidad? ¿numero de interconexiones entre compuertas? ¿numero de componentes?
Primero veamos las distintas representaciones Booleanas: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS
Existen infinitas maneras de representar una función booleana. Así por ejemplo la función G = X + Y Z puede también representarse como G = X + X + YZ.
Otras veces se suele utilizar la forma negada o el complemento de la función. Para esto es se niegan los literales y se intercambian los AND y OR.Por ejemplo, el complemento de: A + B^ C es: A^ (B+C^) El complemento de una función no es la misma función, es la forma negada de la función.En el álgebra de Boole es fundamental la existencia de una forma algebraica que proporcione explícitamente el valor de una función para todas las combinaciones de los valores de las variables.
Esta es la forma canónica de la función. DEFINICIONES
Literal: se refiere a una variable o a su complemento (por ej. A, X, X^ )
Termino producto: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un AND(por ej. A·B, C·A, X^ ·Y·Z)
Termino suma: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un OR(por ej. A+B, C+A, X^ +Y+Z )
Termino normal: termino producto o termino suma en el que un literal no aparece mas de una vez
Termino canónico: termino en el que se encuentra exactamente uno de cada uno de los literales de la función. Si el termino canónico es un producto, se denominará mintermino. Si es una suma se denominará maxtermino.Forma normal de una función: es la que está constituida por términos normales. Puede estar en la forma suma de términos productos o productos de términos sumas.
Forma canónica de una función: es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos que aparecen una sola vez.Forma canónica de funciones booleanas. La importancia de la forma canónica estriba en el hecho de ser UNICA. Como vimos anteriormente una función puede tener infinidad de representaciones, pero solo una representación en forma canónica. Existen dos formas canónicas de una función:
Suma De Productos o Producto de Sumas. (También de una manera mas formal Suma de minterminos o Producto de maxterminos)Para obtener algebraicamente la forma canónica de una función podemos utilizar los teoremas de expansión canónica:
Teorema 1: Para obtener la forma canónica de una función suma de productos se multiplicará por untermino de la forma (X + X^ ) donde falte un literal para que el termino sea canónico.
Teorema 2: Para obtener la forma canónica de una función producto de sumas se sumará un termino dela forma X · X^ donde falte un literal para que el termino sea canónico. FORMA CANÓNICA SUMA DE PRODUCTOS:
Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos productos (minterminos) sumados que aparecen una sola vez.
Por ejemplo F(X,Y,Z)=X^Y^Z+XY^Z^+XY^Z+XYZ^+XYZ Para simplificar la escritura en forma de suma canónica de productos, se utiliza una notación especial.
A cada mintermino se le asocia un numero binario de n bits resultante de considerar como 0 las variables complementadas y como 1 las variables no complementadas. Así por ejemplo el mintermino X^ Y^ Z corresponde a combinación X=0, Y=0, Z=1 que representa el numero binario 001, cuyo valor decimal es 1. A este mintermino lo identificaremos entonces como m1.De esta forma, la función F(X,Y,Z)=X^Y^Z+XY^Z^+XY^Z+XYZ^+XYZ se puede expresar como: F(X,Y,Z) = ∑m(1, 4,5,6,7)que quiere decir la sumatoria de los minterminos1,4,5,6,7 FORMA CANÓNICA PRODUCTO DE SUMAS:
Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos sumas (maxterminos) multiplicados que aparecen una sola vez. Por ejemplo F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X^+Y+Z)(X+Y^+Z^)
Análogamente al caso anterior, podemos simplificar la expresión de la función, indicando los maxterminos. Sin embargo, en este caso se hace al contrario de antes. A cada maxtermino se le asocia un numero binario de n bits resultante de considerar como 1 las variables complementadas y como 0 las variables no complementadas. Así por ejemplo el maxtermino X^ + Y + Z corresponde a combinación X=1, Y=0, Z=0 que representa el numero binario 100, cuyo valor decimal es 4. A este maxtermino lo identificaremos entonces como M4.
De esta forma la función F(X,Y,Z) = (X + Y + Z) (X + Y^ + Z) (X + Y^+ Z^) se puede expresar como: F(X,Y,Z) = M(0,2,3) que quiere decir el producto de los maxterminos 0,2,3 En resumen, cada mintermino se asocia con la combinación de entrada para la que la función produciría un 1, y cada maxtérmino con la combinación para la que produciría un 0. En la tabla siguiente se muestran los minterminos y los maxterminos asociados con cada combinación en una tabla de verdad de 3 variables. De acuerdo con esta tabla para determinar el termino producto o suma se hace lo siguiente: para los minterminos cada variable no complementada se asocia con un 1 y cada variable complementada se asocia con 0. Para los maxtérminos la regla es la inversa. FORMA NORMAL DE FUNCIONES BOOLEANAS
Otra manera importante de expresar expresiones booleanas es la forma normal. Tiene la misma estructura básica suma de productos o producto de sumas, pero no se requiere que los términos sean minterminos o maxterminos.
Por ejemplo: La siguiente es una forma normal suma de productos:
X⋅Y+X^⋅Y^⋅Z La siguiente es una forma normal producto de sumas:
(X + Y)⋅(X^ + Z)⋅(Y)
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