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Copy of Algebra de Boole 1

Operaciones binarias Funciones de conmutación Circuitos combinacionales
by

Miguel Angel Fuentes Villalobos

on 16 January 2013

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Transcript of Copy of Algebra de Boole 1

Algebra de Boole
Operaciones binarias
Funciones de conmutación
Circuitos Combinacionales Operaciones binarias Algebra de Boole
Conjunto Booleano = {0,1}
Variable --> símbolo que pertenece a {0,1} en cualquier instante
Constante --> símbolo que toma un valor de {0,1} para todo tiempo ε Operaciones sobre variables y constantes Teoremas Elemento idéntico (neutro)
0 para OR X + 0 = X
1 para AND X * 1 = X Idempotencia
Para todo X perteneciente a {0,1}
X + X = X
X * X = X Corolarios
X + 1 = 1
X * 0 = 0 Complementación
para todo X, X perteneciente a {0,1}
X + X = 1
X * X = 0 ¯ ¯ ¯ Conmutatividad
Para todo X,Y pertenecientes a {0,1}
X + Y = Y + X
X * Y = Y * X Asociatividad
Para todo X, Y, Z pertenecientes a {o, 1}
( X + Y ) + Z = X + ( Y + Z )
( X * Y ) * Z = X * ( Y * Z ) Distributividad
Para todo X, Y, Z pertenecientes a {0, 1}
( X + Y ) * ( X + Z ) = X + ( Y * Z )
X * ( Y + Z ) = ( X * Y ) + ( X * Z ) Absorción
Para todo X, Y pertenecientes a {0, 1}
X + ( X * Y ) = X
X * ( X + Y ) = X Corolarios
vii a) X + ( X * Y ) = X + Y
vii b) X * ( X + Y ) = X * Y ¯ ¯ Consenso
Para todo X, Y, Z pertenecientes a {0, 1}
X * Y + X * Z + Y * Z = X * Y + X * Z
( X + Y ) * ( X + Z ) * ( Y + Z ) = ( X + Y ) * ( X + Z ) ¯ ¯ ¯ ¯ Teoremas de DeMorgan

a) X = X
b) ( X + Y ) = X * Y
c) X * Y = X + Y
d) Teorema general
f ( X1, X2, ... , Xn, 0, 1, +, * ) =
f ( X1, X2, ... , Xn, 1, 0, *, + ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Funciones de Conmutación
Vértice y Tabla de Verdad
Expresiones Canónicas
Compuertas Lógicas Funciones de Conmutación Ejemplo: f(x, y, z) = x’z + x z’ + x’ y’ Dos o más funciones lógicas son equivalentes si Tienen la misma tabla de verdad. Expresiones Canónicas
• Suma de Productos
• Producto de Sumas Suma de Productos:
Productos de todas las variables
directas o complementadas
Productos ---> minterm Producto de Sumas:
Suma de todas las variables
directas o complementadas
Sumas ---> maxterm La suma de todos los minterm o los
productos de todos las maxterm
representan la función. Representación de Expresiones Canónicas
Suma de Productos ( OR de AND )
f(x, y, z) = x’ y z’ + x y’ z + x y z
f(x, y, z) = ∑3 ( 2, 5, 7 )
Producto de Sumas ( AND de OR )
f(x, y, z) = ( x + y + z’)( x + y’ + z’)(x’ + y + z )
f(x, y, z) = ∏3 ( 1, 3, 4 ) Transformación de Funciones Canónicas
Aquí va la tabla equivalencia minterm-maxterm
f(x, y, z) = ∑3 ( 1, 2, 3, 6 ) = ∏3 ( 0, 4, 5, 7 )
f(x, y, z) = x’ y’ z + x’ y z’ + x’ y z + x y z’
f(x, y, z) = ( x + y + z )( x’ + y + z )( x’ + y + z’)( x’ + y’ + z’ ) Teorema de Expansión de Shannon
Una función se puede expresar
f(x1, x2, …., xn) = x1 f(1, x2, …., xn) + x1’ f(0, x2, …., xn) Regla:
Suma de Productos: Se multiplica cada producto
por la variable que falta complementada y sin
complementar.

Ejemplo:
f(x, y, z) = y z’ + x’ z
f(x, y, z) = y z’( x + x’) + x’ z ( y + y’)
f(x, y, z) = x y z’ + x’y z’ + x’ y z + x’ y’ z
f(x, y, z) = ∑3 ( 1, 2, 3, 6 ) Regla:
Producto de Sumas: Se le suma a cada producto
la variable que falta complementada y sin complementar
formando dos productos

Ejemplo:
f(x, y, z) = ( x + z )( z’ + x’)
a = ( x + y + z)( x + y’ + z )
b = ( z’ + y + x’ )( z’ + y’ + x’ )
f(x, y, z) = ( x + y + z)( x + y’ + z ) ( z’ + y + x’ )( z’ + y’ + x’ )
f(x, y, z) = ∏3 ( 0, 2, 5, 7 ) Compuertas Lógicas
• Tipos de Circuitos
• Tecnologías de Fabricación
• Niveles de Integración
• Características Tipos de Circuitos Tecnologías de Fabricación
Se dividen por familias:
RTL ---> Resistor - Transistor - Logic (*)
DTL ---> Diode - Transistor – Logic (*)
TTL ---> Transistor - Transistor – Logic
ECL ---> Emitter - Coupled – Logic
CMOS ---> Mosfet complementarios
(*) Obsoletas TTL (NOT) Los circuitos tienen restricciones de potencia de salida
y número de compuertas que se pueden conectar a
entradas y salidas

FAN – IN
Cantidad de compuertas que se pueden conectar a la entrada

FAN – OUT
Cantidad de compuertas que se pueden conectar a la salida Características familia TTL
• Velocidad TTL estandar 35 Mhz
• Fuente de polarización 5 Vdc
• Consumo ≈ 10 mW
• FAN – OUT 10
• FAN – IN 8 Características familia ECL
• Velocidad de trabajo 1,2 Ghz
• Fuente de polarización - 5,2 Vdc
• Consumo 20 mW – 60 mW
• Característica Transistores en zona activa Características familia CMOS
• Velocidad de trabajo 1 Mhz - 9 Mhz
• Fuente de polarización 3 Vdc y 12 Vdc
3 Vdc y 18 Vdc
• Consumo 100 μW
• FAN – OUT Alto Niveles de Integración:
• Pequeña escala ( SSI): Hasta 15 dispositivos activos ( hasta 14 pines )
• Mediana escala ( MSI): 15 dispositivos activos ( 14 y 16 pines )
• Gran escala ( LSI): 100 o más dispositivos activos ( hasta 64 pines )
• Escala de integración muy grande ( VLSI): Más de 100 dispositivos activos
(contadores de frecuencia, microprocesadores) Características y uso de manuales ( TTL):
Se caracteriza por la numeración 74 y 54
54 serie militar ( -55° C a 125° C )
74 serie comercial ( 0° C a 70° C )
Forma general 74 Y XXX
Y: letra de la serie ( L, H, S, LS ); estandar (sin letra)
XXX: Determina el tipo de compuerta TTL estándar: 74 XXX 35 Mhz, 10 mW
TTL alta velocidad 74 H XXX 50 Mhz, < 10 mW
TTL bajo consumo 74 L XXX 3 Mhz, 1 mW
TTL Shottky 74 S XXX 125 Mhz, 20 mW
TTL Shottky bajo consumo 74 LS XXX 45 Mhz, 2 mW Número de Compuertas ( XXX ) Tabla 10
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