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Relacion entre transformadas

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Mario Castillo

on 8 September 2014

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Relacion entre transformadas
Relacion entre la transformada de laplace y transformada z
La transformada bilineal es un caso especial de la transformación conforme
(también conocida como Transformación de Möbius). Suele usarse para
convertir una función de transferencia F(s) de un filtro lineal e invariante en el
tiempo, que se encuentra definido en el dominio continuo del tiempo, en una
función de transferencia F(z) perteneciente a un filtro lineal e invariante en el
tiempo que se encuentre definido en el dominio discreto del tiempo,
comúnmente llamado filtros digitales.
Relacion entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier
Si se sustituye s a la ecuación de la transformada de laplace por: σ + jw nos quedara la siguiente ecuación:
Para comprender la relación entre transformada z y transformada de Fourier debemos considera la situación en el plano complejo z de la expresión.
Transformada discreta a transformada Z
La función de transferencia de un procesador de tiempo discreto lineal es igual a la transformada z de la respuesta a la muestra unitaria del procesador. En otras palaras, la respuesta unitaria h[n] y la función de transferencia H[z] son una pareja de transformada z:
H[n] = H[z]
Transformada Z
Transformada de laplace
La transformación bilineal es una aproximación de primer orden de la función
logarítmica natural que consiste en realizar una asignación exacta del plano Z
al plano S. Cuando la transformada de Laplace se realiza sobre una señal de
tiempo discreto el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia
de tiempo discreto
La transformación bilineal consiste en sustituir esta aproximación de s en la función de transferencia del filtro en tiempo continuo, F(s).
La cual es la transformada de fourier de la señal x(t)=e^-st . Por lo que la transformada de Laplace puede interpretarse como la transformada de Fourier de x(t) después de ser multiplicada por el exponencial real e^-st , donde s = σ + jw. En particular la transformada de Laplace puede converger para ciertos valores de “s”, aún cuando la transformada de Fourier X(w) no existe, debido al efecto de el exponencial decreciente. Es decir al tener una x(t) para la cual no existe la transformada de Fourier dado que no se cumple la condicion:
Es posible pensar en una envolvente de la función para que sus valores tiendan a cero en tiempos grandes. Por lo que la exponencial nos sirve para el caso y así muchas funciones que no cumplan con la condición para transformada de Fourier si cumplirán con la condición para Laplace:
Relación entre transformada de Fourier y transformada Z .
Si en la ecuación

Donde z es una variable compleja se efectúa el cambio donde la variable z=e^j*Ω es real tenemos la expresión
Mediante la conversión de la transformada z a una serie exponencial (o de senos y cosenos) para efectua el análisis de fourier mediante la correspondiente transformada que se defina como:
Cuyo modulo vale 1 y su fase, por lo tanto dicha situación se encontrara en un círculo de radio uno. Sabemos de nuestro estudio del análisis de Fourier que el espectro se repite indefinidamente en el eje de la frecuencia a intervalos de 2 p como consecuencia del muestreo. La transformada z tiene en cuenta este efecto implícitamente puesto que cualquier intervalo de 2 p es equivalente a una vuelta completa a lo largo del círculo unidad en el plano z.


Respuesta frecuencial
Polos y ceros
Representacion polos y ceros 3D
polos y ceros en superficie de laplace
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