Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Projekt matematike... Derivati

No description
by

Klodiana Pupa

on 4 November 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Projekt matematike... Derivati

Zbatime te derivatit te dyte:
Tema: ''Perdorimi i derivative te funksioneve ne zgjidhjen e problemave me gjetjen e vlerave me te medha apo me te vogla te funksionit.''
Projekt Matematike(Bazë)
Objektivat personale:
Ceshtjet qe do te trajtohen:
1.Sqarimi i kuptimit te funksionit ne matematike, i grafikut te funksionit dhe i derivatit te tij.
2.Evidentimi i problemave konkrete nga praktika per zgjidhjen e te cilave ju keni perdorur njohurite matematike.
3.Formulimi i problemit praktik te cilin do ta zgjidhni me ndihmen e derivatit te funksionit.
4.Realizimi i zgjidhjes e problemit sipas grupeve te formuara.
Grafiket e disa funksioneve kryesore:
Kuptimi i funksionit dhe grafiku i tij.
Relacioni f me bashkesi fillimi X dhe bashkesi mbarimi Y quhet
funksion
kur cdo element i X-it lidhet me nje element te vetem te Y-it.
Ne kete rast perdoret shenimi f: X-->Y apo f: x-->y x element i X, y element i Y.
Funksioni f: X-->Y, ku X dhe Y jane nenbashkesi te bashkesise se numrave reale R quhet
funksion numerik
. Per funksionet numerike nese nuk tregohet bashkesia e mbarimit Y nenkuptohet qe ajo eshte bashkesia e numrave reale R.
Funksioni numerik f: X-->Y mund te jepet ne menyre tabelore, me formule etj.
Kuptimi mbi derivatin e funksionit:
Le te jete f nje funksion numerik I percaktuar ne nje interval I dhe a, a+b dy numra nga ky interval. Shqyrtojme shprehjen m(h) = (f(a+h)- f(a))/h . Per a t fiksuar, vlera e shprehjes m(h) varet vetem nga vlera e ndryshores h. Ne kete rast ekziston lim(h->0)m(h) dhe eshte nje numer L, atehere ai quhet derivate I funksionit f ne piken a.
1.Nxenesit te jene te afte te grumbullojne dhe te menaxhojne sa me shume informacione per zbatime te matematikes ne zgjidhjen e problemave nga jeta (100% e nxenesve).
2.Nxenesit te jene te afte te analizojne informacionin e grumbulluar, t’a modelojne ate dhe te zgjidhin problemet e shtruara (90% e nxenesve).
Derivati si shpejtesi e ndryshimit te funksionit
Perkufizim:
Derivati i funksionit ne piken a, quhet limiti i ketij funksioni ne piken a, ne qoftese ky limit ekziston. Ai shenohet me f'(a). Derivati i funksionit ne piken a shenohet ndryshe y'x(a) dhe lexohet: derivati i y ne lidhje me x ne piken a.
Njehesimi i derivatit:
Per gjetjen e derivatit te funksionit f ne piken a, sipas perkufizimit mjafton te ndiqet kjo rradhe pune:
1. Njehesojme f(a)
2. Njehesojme f(a+h)
3. Gjejme ndryshesen f(a+h)-f(a)
4. Formojme raportin :

5. Kerkojme limitin e ketij raporti kur h->0. Ne rast
se limiti ekziston, ai eshte f'(a)
Temperatura e nje trupi qe ftohet ndryshon sipas ligjit T=20-t^2, ku t eshte koha qe ka kaluar nga fillimi i procesit te ftohjes. Gjeni shpejtesine e ftohjes ne t=3.
a. Ne castin t=3 temperatura eshte T(3)= 20-3^2= 11 grade celcius.
b. Pas h minutash, ne castin t=3+h temperatura eshte: T(3+h) = 20-(3+h)^2= 11-6h-h^2.
c. Ndryshimi i temperatures ne segmentin kohor [3,3+h] eshte T(3+h)-T(3)= -6h-h^2
d. Shpejtesia mesatare e ndryshimit te temperatures(shpejtesia mesatare e ftohjes se trupit) ne segmentin kohor [3,3+h] eshte T(3+h)-T(3)/h= -6-h grade celcius.
e. Shpejtesia e ftohjes ne castin t=3 eshte limiti i T(3+h)-T(3)/h kur h->0 i barabarte me -6 grade celcius/min.
Derivati i rendit te dyte
(Derivati i dyte i funksionit)

Ne pergjithesi, le te kemi nje funksion f: y=f(x) te derivueshem ne nje interval I. Ne qoftese ekzisiston derivati i funksionit f' ku f' : y=f'(x) ne piken x qe ben pjese ne I, ai quhet derivat i dyte(ose i rendit te dyte) i funksionit f ne piken x dhe shenohet me f''(x).
=>Zbatime ne fizike:

Derivati i dyte shpreh shpejtesine e ndryshimit te shpejtesise, pra nxitimi i pikes materiale ne levizjen drejtvizore eshte sa derivati i dyte i abshises ne lidhje me kohen.
Abshisa e pikes materiale qe kryen levizje sipas boshtit Ox ndryshon sipas ligjit x=3sint+1, ku x matet ne metra dhe koha ne sekonda. Gjeni shpejtesine dhe nxitimin pas 1,5 sekondash.
Veme ne dukje se 1,5 eshte afersisht e barabarte me π/2
Kemi: x'(t)= 3cost dhe x''(t)= (3cost)'= -3sint.
Shpejtesia ne castin 1,5 sek eshte afersisht e barabarte me: x'( π/2) = 3cos π/2 = 0m/s.
Nxitimi ne castin 1,5 sek eshte afersisht i barabarte me: x''( π/2)= -3sin π/2 = -3m/s^2
Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin [a,b] atëherë ai merr vlerën e vet më të madhe dhe më të vogël në këtë segment. Funksioni f, i vazhdueshëm në segmentin [a,b] vlerën e tij më të madhe e merr ose në një pikë të brendshme të segmentit [a,b] (dhe në këtë pikë është e qartë se do të ketë maksimum) ose në skajet e këtij segmenti. Vlerën e tij më të vogël në këtë segment [a,b] ky funksion e merr ose nga një pikë e brendshme e segmentit ( dhe në këtë pikë është e qartë që do të ketë minimum) ose në skajet e këtij segmenti.
Funksioni f ka maximum(minimum) per x=a nëse ekziston të paktën një interval ]a-; a+[ që përmban numrin a në të cilën funksioni është i përcaktuar dhe vlera më e madhe (e vogël) e tij është f(a).
 Për të gjetur vlerën më të madhe ose më të vogël të një funksioni të vazhdueshëm f në një segment [a,b]:

1) gjejmë të gjitha ekstremumet e funksionit për x që bën pjesë në këtë interval
2) njehësojmë vlerën në skaje f(a) dhe f(b)
3) krahasojmë të gjithë këto vlera. Më i madhi prej tyre është vlera më e madhe e f në [a,b] kurse më i vogli prej tyre është vlera më e vogël e f në [a,b].

 Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin ]a,b[ dhe në këtë interval ka vetëm një ekstremum atëherë:

a) kur ky ekstremum është maksimum, ai është vlerë më e madhe e funksionit në intervalin ]a,b[
b) kur ky ekstremum është minimum, ai është vlera më e vogël e funksionit në intervalin ]a,b[.
Vlera me e madhe dhe vlera me e vogel e funksionit
.
Zbatime mbi vleren me te madhe dhe me te vogel te funksionit me shembuj praktik:
Teksti i shtypur në një faqe libri duhet të zërë një sipërfaqe prej 200 cm2. Hapësirat e bardha e sipërmja dhe e poshtmja duhet të jenë 2 cm të gjëra secila kurse e majta dhe e djathta nga 1 cm secila. Po të merret parasysh vetëm kursimi i letrës, cilat janë përmasat më të përshtatshme të faqes?
1.Shënojmë me x cm gjerësinë dhe me y cm gjatësinë e tekstit të shtypur në faqen e librit.
Sipërfaqja e faqes është: S=(X+2)x(y+4), mirëpo YxX=200 nga ku y=200/x prandaj sipërfaqja shkruhet ndryshe : S=(x+2)x(200/x+4) që do të thotë: S=400/x+4x+208
2.Bashkësia vlerave të mundshme të ndryshores x duke pasur parasysh që kemi kushtin x>0 është intervali ]0, +∞[
3.Duke bërë derivimin e sipërfaqes dhe duke vendosur vlerat përkatëse të x , pra duke studiuar shenjën e derivatit të parë, ne kuptojmë se kjo vlerë, vlera më e vogël e Sipërfaqes merret te x=10 cm .
Zbatime mbi vleren me te madhe dhe me te vogel te funksionit me shembuj praktik:
Do të ndërtohet një cadër në formë piramide të rregullt katërkëndore me brinjë anësore a. sa do të duhet të merret brinja e bazes dhe lartësia e cadrës që ajo të ketë vëllimin më të madh?
UDHEZIM:
Shënojmë me x lartësinë e piramidës, pra SO=x. Në trekëndëshin e drejtë SOB, ku SB=a gjejmë se OB2=a2-x2. Në trekëndëshin kënddrejtë AOB gjejmë AB2=2OB2, pra AB2=2(a2-x2) dhe kjo është pikërisht sipërfaqja e bazës së piramidës Sb=2(a2-x2)
Vëllimi i piramidës është : V=1/3SbXos =1/3x2(a2-x2)x(x)
Kemi kushtin: 0<SO<SB, pra 0<x<a .
Pra kjo problemë nga ana matematikore, duke thjeshtësuar punën kërkon thjesht gjetjen e vlerës më të madhe të funksionit:
V=2/3(a2x-x3) ne ]0,a[.
Përgjithësim:
Metode per zgjidhjen e problemave
1.Zgjedhim në mënyrë të përshtatshme një ndryshore x dhe e shprehim madhësinë z vetëm nëpërmjet x: z=f(x).
2. Gjejmë bashkësinë X të vlerave të mundshme të x.
3.E kthejmë problemën konkrete në problemë të analizës matematike: ‘Kërkohet vlera më e madhe (e vogël) e funksionit z=f(x) në bashkësinë X’.
4. Gjejmë ekstremumet e funksionit të derivueshëm z=f(x) në bashkësinë X.
5.Gjejmë vlerën më të vogël më të madhe të madhësisë z dhe bëjmë interpretimin praktik.
Punoi:
Klasa
Klodiana Pupa
XIIa
Full transcript