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TPE sur les fractales

Prezi réalisé dans le cadre d'un TPE en classe de première S
by

Leo Guillon

on 21 February 2015

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Transcript of TPE sur les fractales

Un exemple mathématique : la courbe (ou flocon) de Koch
Fractales dans les sciences
Fractales dans la nature
Conclusion
Un TPE sur les fractales par :
Un exemple de fractale frabriquable simplement : la courbe du dragon
Problématique : Comment retrouve-t-on les fractales dans le quotidien ?
- Léo Guillon
- Joris Batailly
- Nicolas Biron
Pour commencer :
Qu'est ce qu'une fractale ?
Une fractale est une figure autosimilaire, c'est à dire que chacune de ses parties est semblable à l'ensemble de l'objet, et ce à l'infini.
Par exemple : le triangle de Serpinski
Démonstration de l'autosimilarité avec un extrait du film "Dimensions"
Les fractales sont des objets interessants, de part leurs incroyables propriétés mathématiques, ainsi que leur faculté à être présent plus souvent que l'on ne le pense dans le monde qui nous entoure. Mais leur découverte est une chose récente et c'est ce que nous allons voir d'abord !
Histoire des fractales
Les premières traces de mathématiques ressemblant aux fractales datent de la Grèce Antique, avec les figures d'Appolonius (philosophe et mathématicien grec), qui font déjà preuve d'autosimilarité.
Une de ses figures :
Sculpture d'Apollonius de Tyane :
C'est Benoît Mandelbrot qui invente le terme "fractale" (d'après le mot latin "fractus" qui signifié "brisé") en 1974. Il se base sur les travaux des mathématiciens Pierre Fatou et Gaston Julia sur les ensembles dynamiques (aussi surnommés ensembles de Julia) pour définir ces mystérieux objets. Avec l'aide des nombres complexes, il parvient à créer un ensemble, qu'on appellera par la suite "ensemble de Mandelbrot", qui deviendra la référence dans l'étude des fractales. De manière générale, il a démocratié les fractales qui avant étaient considérées comme des abberrations.
Benoît Mandelbrot
L'ensemble de Mandelbrot
Un ensemble de Julia
Aujourd'hui, les principes de la géométrie fractale, initiée par Mandelbrot, sont utilisés dans de nombreux domaines, tels que la chimie, la biologie ou la géologie. Ils ont permis à la science de marcher sur un nouveau chemin, qui n'aurait probablement pas été exploré avant. Justement, penchons-nous un peu plus sur leur définition et propriétés mathématiques !
Propriétés mathématiques
Pour faire simple, les objets fractals sont des objets autosimilaires (mais ça, vous l'avez déjà compris) qui possèdent une dimension non-entière, c'est à dire qu'ils ne sont ni tout à fait :
De plus, les fractales ont beau être comprises dans des espaces finis, et leur aire/volume l'est également (bien que approché), leur périmètre/longueur, quant à lui, est supposé infini, car la figure se répétant sur elle-même sans cesse, elle ne devrait jamais s'arrêter !
La courbe ou flocon de Koch est une fractale découverte en 1904 par le suédois Helge Von Koch. Elle est formée en placant des triangles équilatéraux sur des segments, et ce à l'infini.
Les formules des fractales "simples", telles que celle du triangle de Serpinski ou de la courbe de Koch, sont définies avec des sommes (au symbole sigma maj.) d'une fraction répétées un certain nombre de fois.
Cependant, les fractales plus complexes, telles que l'ensemble de Mandelbrot, sont elles définies avec des formules utilisant des nombres complexes ainsi que des concepts peu évidents, tels que des omotécies et des limites de dérivation....
Maintenant que nous avons eu un petit aperçu de leur propriétés, penchons-nous sur un exemple de fractale et analysons-la donc !
- Une ligne (dimension 1)
- Une surface (dimension 2)
- Une volume (dimension 3)
Comme ceci :
On voit bien qu'à chaque étape, un triangle équilatéral est placé au mileu de chque segment de la figure.
Si sa longueur augmente à chaque fois d'un certain nombre de tiers de segments, on peut en arriver à cette formule finale :
Comme il a été dit, elle est bien avec des sommes de fraction effectuée un certain nombre de fois !
De plus, comme nous l'avons dit, plus on effectue cette opération, moins le résultat va augmenter et donc tendre vers un résultat réel, bien que ne l'attegnant jamais. Dans ce cas, la formule tend vers 5,05 et des poussières !
Lorsque nous triplons de taille un objet de dimension 1, sa taille triple (3^1).
Lorsque nous triplons de taille un objet de dimension 2, sa taille est multipliée par 9 (3^2).
Lorsque nous triplons de taille un objet de dimension 3, sa taille est multipliée par 27 (3^3) .
Or, si nous triplons de taille la courbe de Koch, sa taille va être multipliée... par 4 (3^?)!
Maintenant pour sa dimension :
Nous savons que...
Le nombre qui permet à 3 de passer à 4, sous la forme d'une puissance, est égale à environ 1,26.
La dimension de la courbe de Koch est donc égale à environ 1,26 !
Comme nous l'avons vue et prouvé, les fractales disposent de propriétées assez incroyables : périmètre infinie,dimension décimale, autosimilarité, etc... Mais rentrons au final dans le principal sujet, comment retrouve-t-on ces fameuses fractales dans le quotidien ?
Sources principales :
- Catégorie d'articles Wikipédia sur les fractales, portail de la géométrie.

- Thèses à propos de la génération procédurale

- Cours d'openclassrooms sur les dimensions en géométrie.

- Le film "Dimensions".

- Divers blogs centrés sur les fractales ou plus généralement de curiosités mathématiques
Les fractales où plutôt, les objets y ressemblant, sont présents dans la nature plus souvent qu'on ne le croit, comme nous allons le montrer maintenant !
L'exemple d'objet fractal naturel le plus flagrant est le chou romanesco, qui est une spirale végétale comportant elle-même des spirales etc... Mais évidemment, pas à l'infini ici, car les atomes eux, ne sont pas fractals !
La fougère est aussi assez connue dans la famille des végétaux pour faire preuve d'autosimilarité.
Plusieurs arbres font aussi plus ou moins preuve d'autosimilarité sur leurs branches.
Végétaux
Phénomènes naturels
Les montagnes peuvent être considérées comme fractales, ayant des pics plus petits les uns dans les autres.
Animaux
Les poumons et leur complexe système de vaisseaux est le meilleur exemple de fractale chez un être vivant, de part la multitude canaux se divisant en de plus petits et ce jusqu'à une très mince échelle !
Dans la même logique, on peut citer d'autres systèmes de vaisseaux, tels que le système sanguin ou nerveux, eux aussi dotés de complexes réseaux.
Les neurones du cerveau aussi peuvent être cités qui possèdent des embranchement à différents niveaux et sont autosimilaires.
Ou bien encore les plumes d'oiseaux, qui, avec leur structure autosimilaire, permettent une meilleure aérodynamie et imperméabilité à l'eau.
Les cours d'eau ou les éclairs, eux, font preuve, comme les poumons, de multiples embranchements et de divisions en plus petits.
Enfin, les côtes sont considérées d'une certaine manière comme des fractales, car leur périmètre, qui ne peut jamais être mesuré complètement, est donc considéré comme "infini", comme les fractales.
Exemple avec différentes mesures de la côte d'Angleterre
Comme vous avez pu le constater, les fractales sont bien plus présentes dans la nature qu'on ne le pense ! Evidemment, il y a encore d'autres exemples existants, nous n'avons ici cité que les principaux et les plus représentatifs de leur genre ! Pour continuer sur le sujet, nous allons maintenant présenter un modèle de fractale réalisable avec une seule bande de papier.
La courbe du dragon est une fractale de type "simple", qui se constitue d'une ligne se pliant en deux de multiples fois, ce qui donne lieu, au bout d'un moment, à une courbe complexe évoquant un dragon (d'où son nom)

Elle est notamment impliquée dans la structure du roman "Jurassic Park", de Michael Chrichton, où chacune de ses étapes représente une partie du livre.
La courbe après une dizaine d'étapes
Construction de la courbe
Cette fractale, qui plus est, peut donc être faite à partir d'une simple bande de papier ! Pour la créer, il suffira juste donc de plier la bande en deux, puis en deux, etc, jusqu'à ce que le pliage devienne trop difficile. Dépliez, et vous obtiendrez alors votre courbe du dragon !
Démonstration du pliage
Et voilà ! vous savez faire une fractale avec uniquement une bande de papier ! Mais maintenant que nous avons vu les fractales naturelles, interessons-nous aux fractales utilisées dans différents domaines scientifiques.
Les fractales sont utilisées et leur propriétées sont appliquées dans de nombreux domaines, dont bien sûr ceux déjà évoqués avec les exemples naturels, cependant il en existe d'autres que nous allons évoquer ici !
Les fractales sont utilisées en économie afin de prévoir les krachs boursiers, dont les courbes font penser à des fractales irrégulières.
En géologie, on utilise leurs propriétés pour comprendre les cours d'eau, les côtes et les montagnes (étant donné que ce sont des exemples naturels)
Au même titre, on s'en sert en biologie pour comprendre la répartition des végétaux sur les sols, de part leur système de propagation, ainsi que la propagation, assez semblable, des virus ou des pollen, par exemple.
Dans le même ordre d'idée, on peut appliquer la théorie des fractales non seulement au développement d'éléments naturels, mais aussi de l'homme, avec par exemple les structures urbaines, qui reproduisent à petite échelle la ville toute entière. D'ailleurs, plusieurs scientifiques recherchent et développent des modèles de ville complètement autosimilaires, qui permettraient un développement optimal.
En astronomie aussi, les fractales sont étudiées et comparées avec différents objets de l'espace, tels que les cratères (notamment ceux de la lune), la répartition des soleils dans les galaxies et même de l'univers lui-même !
On utilise aussi les fractales dans divers arts, surtout en peinture, pour créer de belles formes, ou en architecture, afin de créer des surfaces ayant des caractéristiques de conservation de la chaleur ou de répartition du poids supérieures à des surfaces normales. Les fractales peuvent aussi donner lieu à d'harmonieuses constructions.
Le visage de la guerre, par Dali
Eglise chrétienne en Inde
Mur disposant d'une meilleure isolation sonore
Et, bien évidemment, les fractales sont utiliséess en informatique, où il est très simple, avec un petit algorithme, de reproduire une fractale quelconque. Les fractales sont principalement utilisées pour les recherches des domaines cités auparavant, mais aussi pour plusieurs autres, et notamment la génération procédurale de terrains en 3d.
Par exemple, le triangle de serpinski ou n'importe quelle autre fractale ayant la même structure peut servir de support à la création d'un terrain. Plus la fractale sera précise, plus le terrain comportera de détails.
Exemple de terrain généré à l'aide de techniques procédurales utilisant les fractales
Nous l'avons bien vu, les fractales sont utilisées dans beaucoup de domaines scientifiques, et leurs applications sont souvent centrées sur leur structure et leur capacités d'autosimilarité. Mais qu'est ce qu'on peut en tirer de tout ça ?
Nous l'avons vu, les fractales sont présentes à de nombreux endroits incongrus. Dans la nature, dans notre art, dans notre corps et même dans notre univers ! Elles intriguent et fascinent car contrairement à des objets normaux, celles-ci ne connaissent pas de réelles fins et présentent une grande harmonie interne, ce qui fait penser à certains que ces fractales représentent une "forme idéale".
Cette omniprésence des fractales dans notre monde a également poussé des scientifiques à développer la théorie dite de "l'univers fractal", qui consiste à décrire l'univers comme entièrement composé de reproductions de lui-même à l'infini, et ce, jusqu'à l'échelle infinitésimale ! Cela voudrait donc dire... que les fractales font vraiment complètement partie de ce qui nous entoure ... ?
Au début du 20e siècle, plusieurs mathématiciens comencent à s'interesser à ces mystérieux objets que sont les fractales. Plusieurs modèles étaient d'ailleurs proposés, comme la courbe de Koch, mais ils furent considérés comme impossible, comme des aberrations mathématiques. La seule idée d'un objet infini compris dans un ensemble fini était refusée à l'époque.
Vidéo bonus sur la génération procédurale :
http://www.jeuxvideo.com/videos/chroniques/413617/pause-process-la-generation-procedurale.htm
(note : allez directement vers 5:08 pour un passage sur les fractales et leur utilisation)
Full transcript