Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Kognitivni procesi u rješavanju zadataka

No description
by

Doris Dumicic Danilovic

on 7 May 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Kognitivni procesi u rješavanju zadataka

Doris Dumičić Danilović
ddumicic@math.uniri.hr
Odjel za matematiku
Sveučilište u Rijeci

Zagreb, 7. svibnja 2014.

Sadržaj
1. zadatak - Zemljište
Važnost rješavanja problemskih zadataka
Metakognitivni vs. kognitivni procesi
Softveru za dinamicku geometriju (DGS)
Student1
Student 2
Student 3
Student 4
Kognitivni procesi
u rješavanju
problemskih zadataka

2. zadatak - Lociranje čamca
Problemski zadaci
Važnost rješavanja problemskih zadataka
Kognitivni i metakognitivni procesi
Softver za dinamičku geometriju (DGS)
Dva problemska geometrijska zadataka i dobivena rješenja

Rješavanje problema je temelj školske matematike. Bez prisutstva sposobnosti rješavanja problema, snaga matematičkog znanja, vještina i ideja je jako ograničena
." (NCTM,2000.)
Polya model (1945/1973)
"Transformacija matematičke učionice u okruženje za istraživanje zanimljivih pojava, pri čemu učenici imaju mogućnost promatranja, upravljanja, predviđanja, testiranja i objašnjavanja promatrane pojave."
(NCTM, 2000,2005).
Sistem postaje alat u rukama korisnika koji ga koristi iz razloga jer želi riješiti problem, što odmiče kognitivne procese od matematičkog razmišljanja (Hoyles i Noss, 2003; Olive i Makar, 2010).
Zadaci odabrani za istraživanje
Čovjek je otplovio s otoka na čamcu koji je nakon nekog vremena ostao u kvaru. Ima sreće što je ponio kompas, dalekozor i mobitel (bez GPS-a), te pomoću dalekozora uočava kopno, odnosno prepoznaje toranj katedrale i dimnjak elektrane. Upotrebljava kompas i izračunava da ta dva objekta vidi pod kutem od 60°, te taj podatak upućuje obalnoj straži koju dobiva putem mobitela.

a) Što obalna straža može zaključiti o njegovoj poziciji na moru?
b) Formulirajte i dokažite vašu pretpostavku.

Rezultati istraživanja
Studentica uspješno, računski rješava zadatak na papiru u vremenu od 25 minuta.
Jako dobra kontrolira provedenih postupaka u toku cijelog procesa rješavanja, upravlja tokom misli i razmišljanjem, te svjesno, na temelju ranijih iskustava koristi sistematičan pristup u rješavanju.
Kroz sve epizode rješavanja uočava se ispreplitanje kognitivnih i metakognitivnih procesa. To je ujedno i posljedica činjenice da studentica voli razmišljati prilikom rješavanja.
Ne koristi GeoGebru („
U ovom zadatku nisu zadane nikakve vrijednosti, pa mi nije potrebna“, „GeoGebra mi smeta!“, „Tipkanje me ometa“, „Tehnologija mi zna smetati, držim se olovke i papira.
“)
Metakognitivni procesi, kao i pristup znanju o odgovarajućim matematičkim konceptima su ključni za uspješno rješavanje zadatka.
RAZUMIJEVANJE.
Na glas razjašnjava uvjete zadatka i cilj, te skicira podjelu zemljišta na papiru.
S obzirom da nisu zadane nikakve vrijednosti u zadatku, a inače je navikla na suprotno, radi boljeg razumijevanja postavlja pitanje: „
Treba li nešto izračunati ili načelno objasniti na koji način riješiti zadatak
?“, što je metakognitivno ponašanje.
ANALIZA/PLANIRANJE

Plan eksplicitno iznosi.
Perspektiva koju odmah zauzima je preračunavanje površina.
Cilj 1: Transformaciji trokuta u trapez, napušteno zbog nedostatka povezivanja matematičkog sadržaja i lošem stavu prema formulama za trapez.
Cilj 2: „Pretvoriti trokut u neki drugi iste površine, a da granica ostane ravna linija“, ideja proizlazi iz bolje dostupnosti činjenica o trokutu koji je češće u uporabi. Nije evaluirala efikasnost plana.
IMPLEMENTACIJA
koristi Heronovu formulu za računanje površine trokuta
„Što sad dalje?“, zastaje, promatra formulu i ističe koje su joj vrijednosti poznate P i stranica c. Razmatra s kojim znanjem raspolaže,
što je do tad napravila, što treba napraviti i što bi se moglo napraviti
.
Jasno verbalizira cilj: dovoljno je odrediti stranicu novog trokuta a' (b' će slijediti iz a' i c).
Perspektiva: „Iz jednadžbe (Heronova formula) ima previše nepoznanica a',b' i s'“, na temelju ranijih iskustava u rješavanju,
odlučuje napustiti taj način rješavanja
koji joj se čini složen jer smatra da jednostavniji mora postojati.
Odlučuje se "vratiti korak unatrag", ponovno skicirati trokut i razmisliti što bi mogla iskoristiti.
Perspektiva: Primjena formule P=1/2 a' c sin γ, nakon što uočava kut γ. „
Znači imam kut, jednu stranicu i površinu i sad mi je malo lakše!“ „Iz te formule mogu izraziti stranicu a'. I imam sve preostale podatke i to bi mi bilo rješenje.


VERIFIKACIJA

Studentica provjerava točnost provedenih postupaka iz faze implementacije plana, ponavljanjem postupka na glas. To radi jer je svjesna svoje brzopletosti. „
Uvijek kod kuće provjerim postupak rješavanja, zbog svoje brzopletosti imam tu potrebu
.“
Osim toga, objašnjava kako bi rješenje moglo biti još jedno ako se kut γ postavi uz liniju koja određuje „donju granicu“ zemljišta.
1.dio
Student 1 - 2.dio zadatka
PLANIRANJE

Na temelju pozitivnih iskustava iz prethodnog zadatka, odlučuje se za istu strategiju rješavanja. „
Probat ću koristiti opet istu stvar!
“ „
Moglo bi se riješiti istim principom.

Jasno iznosi plan kako će dva trokuta preslikati u jedan trokut površine jednake zbroju površina prethodna dva trokuta.

VERIFIKACIJA

Nakon uspješne realizacije, studentica ukratko provjerava ispravnost provedenih postupaka. „
Idem provjeriti jesam li nekoga zakinula za površinu!

Raspravlja koja su još moguća rješenja: “...
Isto sam tako mogla dobiti drugačiju granicu da sam uzela kut gamma s druge strane (donje strane) ili da sam spojila s druge strane dužinu – pa na taj način zakinula I i vratila mu tu „zakinutu površinu
“.
Studentica nije uspješna u rješavanju nakon 102 minute rada.
Brzopleto pristupa razumijevanju
zadatka.
Svjesno koristi strategiju rješavanja koja se temelji na
pokušajima i pogreškama
.

Idemo vidjeti može li se ovako rješiti, razmislit ću o tome što znam kad dobijem nešto novo
.“

Loše skice
ju navode na krive zaključke i razmišljanja.
Metakognitivni procesi su jedva vidljivi.
Pomoću GeoGebre provodi strategiju rada unatrag, odnosno pomoću dinamičnosti alata najprije dobiva aproksimativno rješenje zadatka.
U konačnici, koristi softver kako bi provjerila pretpostavku o mogućem rješenju zadatka
Dolazi do rješenja uz pomoć GeoGebre, ali ne i do razumijevanja rješenja u periodu od 2 školska sata.

ČITANJE I RAZUMIJEVANJE

Studentica čita zadatak u sebi, te ističe ključne riječi „ravna granica“.
Ne naglašava da trebaju zadržati iste površine.
Nije procijenila da li je dobro razumjela cilj i uvjete zadatka, te nastavlja dalje s radom.

PLANIRANJE
Strategija nagađanja
te ravne granice“, odnosno aproksimativno određivanje rješenja, odgovarajuće dužine, pomoću mjerenja površina u GeoGebri.
Softver omogućava
rad unatrag
tako da najprije odredi aproksimativno rješenje, a nakon toga pokušava pronaći matematičko objašnjenje postupka za pronalazak točnog rješenja. Više se fokusira na rješenje.
IMPLEMENTACIJA

Koristi alate za konstrukciju dužina, mnogokuta, te mjerenje pripadnih površina.
Uspoređuje te površine.
Namiješta gdje bi moglo stajati rješenje
ČITANJE i RAZUMIJEVANJE

Studentica ponovno čita zadatak i ističe „
A ne, ne žele imati jednaku površinu već da zadrže istu koju su imali, a da je pritom granica izravnata!
“ Ključna riječ koju verbalizira je „
zadržati istu površinu
“.
Potaknuta na razmišljanje na drugačiji način, studentica zastaje i razmišlja kako mora krenuti ispočetka, te
skicira
površine zemljišta
na novom papiru
, što je metakognitivno ponašanje koje je potaknuto mojom intervencijom.

ANALIZA

Na temelju ranijih iskustava pokušava povezati potrebne matematičke koncepte (trokut, trapez, paralelni pravci) i kontekst.
Na skici promatra trokute koji su dobiveni povlačenjem dviju paralelnih linija. Zaključuje da će granica biti negdje između tih dviju paralelnih dužina. Ističe da paralele ne mogu biti rješenje jer se u tom slučaju zakida jedan od vlasnika za dio površine. U području tog trapeza imamo 3 trokuta od kojih dva pripadaju jednom vlasniku. Izmjerila bih površine tih trokuta i kako se one međusobno odnose.


ISTRAŽIVANJE
Metoda pokušaja i pogreške
za podijelu površine trapeza.
Cilj: Problem želi rastaviti na manji, odnosno na manje dijelove radi pojednostavljenja, što je prva perspektiva u pokušaju pronalaska rješenja.
U gornjem dijelu (paralelogram) i zaključuje da bi tu bila ravnopravna podjela sa skiciranom dužinom.
Prelazi na donji dio, gdje ističe „
Sad me muči taj trapez!

Na temelju dostupnih usvojenih matematičkih činjenica, dolazi do pojma srednjice. „
Možda je nastavak te gornje linije srednjica trapeza!
“ (Metakognitiv.ponasanje:) „
Ne znam šta će mi ta srednjica, ali znam da je to srednjica!

Previše vjeruje nepreciznim skicama, ne dopire do važnih matematičkih pojmova, već „uskače“ u razne pokušaje rješavanja.

ISTRAŽIVANJE

Brzo „skače“ u novu ideju.
Vraća se natrag na skicu i razmišlja kako bi mogla i gore i dolje imati paralelograme. „
Opet tu dobijem problem ovaj trokut preklapanja, s kojim ne znam što bih!
“.
Napušta tu ideju.

ISTRAŽIVANJE

Ponovno skicira trapez i unutar njega 3 trokuta.
Na glas ponavlja „
Moram unutar tog trapeza napraviti dužinu tako da mi površine ta dva dijela budu očuvane!“ „Kako ću to?
“ postavlja si pitanje. Osjeća se kontrola toka misli i postupka rješavanja. „
Moze ici bilo kako, kao dijagonala ili iz neke točke na stranici trapeza!
“ „
Po sredini vidjela sam da neće ići!
“, prisjeća se napravljenog. „
Moze ici bilo kako, kao dijagonala ili iz neke točke

Nakon što na papiru ne uspijeva dokazati postavljenu pretpostavku o jednakosti površina trokuta ACD i ECB, odlučuje se na provjeru u GeoGebri.
Za daljnje rješavanje više nije bilo vremena.

Nakon 60 minuta neuspješnog rada, studentica odustaje.
Bez primjene GeoGebre zadatak bi bio krivo riješen, zbog nedovoljnog znanja matematičkih činjenica i tvrdnji.
Nedostatak metakognitivnog ponašanja
i
nedovoljno znanje
i povezivanje matematičkih koncepata i tvrdnji, te
negativan stav
prema zadacima zadanim riječima, glavni uzrok neuspjeha u rješavanju.

ČITANJE i RAZUMIJEVANJE

Zadatak čita u sebi i nakon mojeg upita da li je razumjela zadatak objašnjava na glas , „
Ja ovu površinu moram podijeliti na 2 jednaka dijela tako da svatko dobije istu površinu
“.
Ja interveniram da ponovno pročita tekst.
Kaže da joj se čini dosta težak jer treba razmišljati!

ISTRAŽIVANJE
Nakon par minuta bez ideje kako riješiti problem, kreće s konstrukcijom u GeoGebri kako bi
metodom pokušaja i pogreške
došla na ispravan put u rješavanju zadatka.
Softver služi kao alat za provedbu konstrukcije mnogokuta i mjerenje i uspoređivanje njihovih površina. „
Točka G mora doći na EF jer mora biti ravna granica uz to naravno E ili F moram nekako pomaknuti!
“ (SKICA)
Nema strukturiranog plana.

ISTRAŽIVANJE/PLANIRANJE

"Bezveze sam isla napraviti zraku iz točke E“. „Ta zraka je najprije nekud išla bezveze, pa sam ju premijestila!
“ „
Razmišljajući o toj zraki, primijetila sam da bi možda mogla tu zraku napraviti tako da dobijem 2 sukladna trokuta
.“ (okomica, polovište stranice GF)
Odlučuje se nastaviti istraživanje u
GeoGebri metodom pokušaja i pogreške
, te pomoću vizualizacije zaključuje da neće biti niti okomica, niti polovište.
Metakognitivno ponašanje – „
vraćanje korak natrag
“ koje se odnosi na procjenu toga što je napravljeno, reorganizaciji znanja i prisjeća se: „
Sukladni trokuti imaju jednake površine i jednake unutrašnje kuteve!

Eksplicitno iznosi plan o prenošenju kuta β uz vrh E kako bi trokuti bili sukladni.
IMPLEMENTACIJA

Implementaciju plana provodi u GeoGebri. Ističe kako sukladni trokuti se podudaraju u sva tri unutrašnja kuta.
Dalje implementira svoj plan na temelju krive spoznaje o tome
kako će trokuti koji se podudaraju u sva tri kuta biti sukladni, odnosno istih površina.
Provjeru neispravnosti razmišljanja provodi mjerenjem površina tih u GeoGebri.

Problem u razumijevanju
, koje je nastupilo tek nakon 40 minuta rada.
Koristi isključivo
metodu pokušaja i pogreške
, koja je implementirana pomoću
GeoGebre
. Fokusirana je na rješenje zadatka.
Vrlo nestrukturiran pristup,
bez izgradnje plana.
Sve radi napamet i površno prelazi iz jedne u drugu epizodu rješavanja, bez kontrole provedenih postupaka i povezivanja matematičkog znanja.
Ne promišlja iz kojeg razloga nešto radi, već radi samo da nešto radi.

Ja više napravim, pa vidim dal je dobro ili ne, nego što razmišljam!


Većinu vremena radi u GeoGebri, te nakon 73 minute rada nema uspjeha, a glavni razlog je nedostatak metakognitivnog ponašanja i površnost u razumijevanju zadatka.
GeoGebra joj služi za istraživanje, odnosno provedbu konstrukcija i provjeru raznih ideja.
Dinamičnost softvera ju dovodi do rješenja, ali ne i do razumijevanja istoga
, unutar perioda od 2 školska sata.
Rješenje "namiještanjem" u GeoGebri
Student 5
Rješava zadatak
uz pomoć GeoGebre
nakon 38 minuta.
Metakognitivno ponašanje
u analizi zadatka i planiranju se manifestira kroz
razmišljanja

o tome

što je zadano, što treba odrediti
, te putem
svođenja problema na matematički jezik
.
Analiza
Na temelju ranijih iskustava u rješavanju sličnih zadataka, susrela se na natjecanju s nečim sličnim, skicira pravokutan trokut na papiru. Razmatra taj problem uz dodatnu pretpostavku pravog kuta. „
Ako pretpostavim da je pravi kut u trokutu čiji su vrhovi čamac i ti objekti koje vidi, onda bi mi bilo lakše odrediti poziciju čamca (odnosno znali bi dobiti duljinu potrebne katete) jer se pretpostavljam može izmjeriti između tih objekata!

Ali problem mi je kako baš dobiti taj pravi kut, to ne mora biti pravi kut!
“ „
Znam kut od 60°, znam udaljenost objekata K i D, odnosno imam jednu stranicu trokuta.

Objašnjava kako bi na poziciji pod pravim kutem ili "točno između" tih objekata (visina jednakostraničnog trokuta) bilo najjednostavnije odrediti poziciju, ali svjesna je da ne mora to biti baš tako.

Razmišljam sad kamo sve on može stajati!“ „Možda se čamac nalazi na nekoj kružnici!

Planiranje
Nakon
uspješnog pristupa potrebnim matematičkim konceptima
i njihovim povezivanjem sa postavljenim problemom,
iznosi plan
rješavanja:
„Čamac se nalazi na kružnom luku nad tetivom KD kružnice koja prolazi točkama K,D,C odnosno radi se o primjeni poučka o obodnom kutu!“


Implementacija i verifikacija
Implementacija plana je napravljena pomoću GeoGebre, odnosno alata za konstrukciju jednakostraničnog trokuta i kružnice određene trima točkama, te mjerenje kuta i pomicanjem točke koja predstavlja čamac.
Kontrolira postupke koje provodi.
Promjer kružnice konstruira pomoću simetrale tetive, a središte kružnice je polovište promjera kružnice.
Student 6
Studentica uspješno rješava zadatak nakon 45 minuta, uz
problem u prisjećanju potrebnog matematičkog sadržaja
. "
Poteškoća imam kod prisjećanja gradiva koje nisam dugo koristila
.“
Jako dobra kontrola procesa rješavanja.
GeoGebra postaje instrument, upravlja tokom misli, potiče metakognitivno ponašanje.


Radi boljeg razumijevanja skicira i tako svodi problem na matematički jezik.
Ona si je zadatak interpretirala na način drugačiji od zamišljenog iz razloga, kako objašnjava u anketi nakon rješavanja, nedavno se susrela sa zadatkom vrlo sličnim ovakvim shvaćanjem zadatka.

Razumijevanje
Analiza
Nastavlja s analizom tako da objašnjava
što je zadano, što se traži, što je napravljeno i što bi se moglo napraviti
.

Znamo jedan kut tog trokuta i nasuprotnu stranicu.“ „Sad bi trebalo dobiti udaljenosti KČ i KT, pa bi rješenje išlo na kraju nešto slično ovome ranije! Samo ne znam kako! Kako da dođem do tih udaljenosti?

"
Zapela sam i moram skužit u čemu je štos! Hm! Ne pada mi ništa na pamet!
“ Promatra skicu na papiru. „
Moglo bi biti više rješenja. Trenutno vidim 2 točke kao rješenje, ovo koje je skicirano i druga točka osnosimetricno s obzirom na KD. Nisam sigurna ima li ih još jer niti jedan drugi kut sa strane neće biti isti. Vizualizacijom mi se čini da se taj kut smanjuje!

Istraživanje
Koristi alate za konstrukciju i mjerenje, te dinamičku prirodu GeoGebre.

Da li se kreće po simetrali dužine AB?

"
Da li bi mogao biti na kružnici s promjerom AB?“ „Ne bi sigurno jer to ne bi bio kut od 60° već od 90°
“, sjetila se
Talesovog poučka
.

Razmišljam da bi se C moglo nekako vrtiti oko te AB dužine."

Po nečemu se kreće!“ „Može doći i blizu točke A i B“ „Da nije neka elipsa kojoj su zamijenje mala i velika poluos ili tako nešto neka krivulja?“ „Nije jer kad C dođe na B onda je kut različit od 60°
!“
Konstruira jednakostraničan trokut. „
Ali pretpostavljam da ima još rješenja
", svjesna je da pomicanjem točke C postoji još pozicija iz kojih su kutevi uz tu točku veličine približno 60°.“
Reorganizira svoje znanje.
Reformulira problem u matematički jezik. „
Znači AB bi bila tetiva kružnice, a C točka na luku iz koje će se tetiva vidjeti pod kutem od 60°
."
Postavlja točku C na poziciju kada bi pripadni trokut otprilike bio jednakostraničan. „
Znam da mi ta točka mora bit jedno rješenje.“ Pa bi ta kružnica bila tom trokutu opisana kružnica.“ „Znači mogla bih dobiti središte kao sjecište simetrala stranica tog trokuta.


Jasno je verbaliziran plan.
Analiza/Planiranje
Implementacija
Kontinuirano kontrolira provedeni postupak.

Znači oni znaju stranice tog jednakostraničnog trokuta.“
„Ja bi radijus te kružnice odredila – izmjerila u GeoGebri i isto tako u GeoGebri bih odredila koliko je središte kružnice udaljeno od polovišta tetive.


Drugi pristup:

Kako je trokut jednakostraničan mogla bih jednostavno
te parametre odrediti i
na papiru
.
“ „
Na papiru bih te parametre kružnice odredila tako da bi pomoću Pitagorinog poučka odredila duljinu visine tog jednakostraničnog trokuta. Znam da je udaljenost središta kružnice od polovišta stranice AB 1/3 visine, a radijus kružnice je 2/3 visine!

Dalje objašnjava: "
Kad bi taj jednakostranični trokut preslikali osnosimetrično dolje, njegova opisana kružnica i pripadni luk također su rješenja za poziciju čamca! Poprilično sam sigurna u rješenje da je to to!“
Komentar nakon rješavanja zadatka: „
Zadatak bi ranije lakše riješila dok se obrađivala ta tema o obodnom kutu, sad mi je bilo puno teže sjetiti se toga!

.“
Da mi je odmah pao na pamet obodni kut, vrlo vjerovatno uopće se ne bih služila GeoGebrom, već bi to riješila računski na papiru.

Zaključak
Na temelju provedenog istraživanja ustanovila sam da je
manja sposobnost
studenata za rješavanje problema posljedica
nedovoljne prisutnosti metakognitivnih aktivnosti
, dok je matematičko znanje u gotovo svim slučajevima bilo prisutno.

Upotreba softvera za dinamičku geometriju u dosta ispitanika bila je posljedica nesposobnosti rješavanja na papiru ili pak odluke o testiranju neke pretpostavke. Činjenica je da
interakcija student- softver potiče reorganizaciju znanja, nove spoznaje i nove strategije u rješavanju
, ali kod nekoliko ispitanika korištenje softvera
odmiče njegove kognitivne procese od matematičkog razmišljanja
. Rezultati ovog istraživanja (na malom uzorku studenata) ukazuju na to da
studenti uglavnom ne znaju i ne vole matematički razmišljati
, te iz tog razloga nisu uspješni u rješavanju problemskih zadatka.

Uspješnost rješavanja problemskih zadataka ovisi o:
znanju o matematičkom kontekstu i iskustvu,
znanju o vlastitim spoznajama prije, za vrijeme i nakon, rješavanja problema,
sposobnosti upravljanja nad postupcima rješavanja,
sposobnosti korištenja različitih strategija rješavanja,
motivaciji i interesu za zadatak.
Razlozi neuspjeha studenata u rješavanju zadataka:

nedovoljno znanje o matematičkom kontekstu,
nemogućnost potpunog razumijevanja zadatka,
nemogućnost pristupa znanju koje posjeduju,
nemogućnost organizacije znanja kojem su pristupili u cilju razvoja plana rješavanja,
nema strukturiranog plana rješavanja,
nemogućnost procjene valjanosti plana prije njegove implementacije,
nemogućnost procjene razumnosti rezultata,
nedovoljna zainteresiranost.
Nedostaju metakognitivi procesi!!!
Metakognicija je oblik kognicije koja uključuje znanje o vlastitoj spoznaji i regulacija vlastitih ponašanja u skladu s tim znanjem.
Metakognicija je povezana s kognitivim razvojem i dobi osobe (Piaget-ova teorija kognitivnog dječjeg razvoja ).
Iako kada su učenici sposobni upravljati svojim radom, često to ne rade, jer metakognicija nije spontani način razmišljanja kod većine učenika, već je razvoja kognitivnog sistema i godina akumuliranog iskustva u izgradnji načina razmišljanja. Učenici koji su naučeni i potaknuti da se tako ponašaju, započinju rutinski razmišljati o svom razmišljanju.
Dinamičan, cikličan i iterativan proces rješavanja,
svaka strelica opisuje učenikov proces razmišljanja za vrijeme rješavanja,
Pogled unatrag
: preispitivanje i razmišljanje o rješenju provjerom rezultata, provjera razumnosti rješenja, razmatranje drugačijeg dolaska do rješenja
Kognitivni procesi su sadržani u svakoj metakognitivnoj aktivnosti, ali metakognitivne mogu ali i ne moraju biti prisutne za vrijeme kognitivne aktivnosti.
Brown, (1987.), Flavell (1976.)
Flavell (1979.)
GeoGebra, Sketchpad, Cabri, Cinderella, ...
Instrumentalna geneza (Artiques, 2002.)
- interakcija učenik-alat kao dvosmjeran proces u kojem upotreba alata formira učenikova razmišljanja, ali također upotreba alata je formirana od strane učenikovih razmišljanja.
Alat u fukciji provjere ili za istraživanje!
Kriteriji odabira zadataka:
1. nerutinski problem,
2. “Problem mora biti dobro odabran, ne pretežak niti prejednostavan, prirodan.” (Pólya, 1945/1973),
3. postupak rješavanja problema ne zahtijeva matematičke koncepte i vještine koje sudionici nisu savladali za vrijeme obrazovanja,
4. problem bi trebao potaknuti sudionike da eksperimentiraju, donose pretpostavke i dokazuju ih po mogućnosti, te bi trebao proširiti trenutno znanje.

1. ZAD. Problem granice zemljišta (Istraživački zadatak;
A.Kuzle, doktor.dis.,2011.
)
Granica između dva zemljišta je islomljena. Vlasnici zemljišta žele ju „izravnati“ tako da svaki zadrži istu površinu zemljišta. Kako riješiti problem u slučajevima kao na slikama niže? Argumentirajte svoje odgovore.
2. ZAD. Problem lociranja čamca (
Primjena
)



Vraća se korak natrag
, traži novu ideju
Odlučuje promijeniti perspektivu, jer je svjesna da je prethodni
način razmišljanja previše apstraktan
, te kreće u novu epizoda istraživanja i planiranja na papiru.
Provjeru točnosti rješenja je napravila verbalizacijom
provedenog postupka.

Komentar:
Nije razmotrila ima li još rješenja.

Povratna informacija koju joj pruža softver pokreće spoznajne procese koji potiču matematičko razmišljanje.
Korištenje softvera ju potiče na prisjećanje i provjeru ključne tvrdnje o obodnom kutu
.
Full transcript