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Números

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Números Complexos 3C

on 30 September 2014

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Transcript of Números

Potências de i
Como i é igual a √-1, então :
iº = 1
i¹ = i
i² = (√-1)² = i² = -1
i³ = i².i = i³ = -1.i = i³ = -i
i⁴ = i².i² = i⁴ = (-1).(-1) = i⁴ = 1
i⁵ = i⁴.i = i⁵ = 1.i = i⁵ = i
Relação entre o grau da equação e o número de raízes que ela pode ter.
-Se um número complexo Z = a+bi é raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o conjugado Z = a-bi também é a raiz da equação.
-O número de raízes (reais ou não reais) da equação é igual ao grau da equação.
OBS: Se uma raiz for dupla, por exemplo, deve se considerar 2 raízes na soma que definirá o grau da equação. Ex: se uma equação tem raízes: 2, 1 e 3, e 1 for raiz dupla, a equação será do 4º grau.

-Exemplo:
Resolver a equação x⁴ - 4x³+ 12x² + 4x – 13 = 0 sabendo que uma de suas raízes é 2-3i.

Resolução:
Se 2-3i é raiz, 2+3i também é raiz.
A partir destas duas raízes, pode-se utilizar do método de Briot-Ruffini para se obter uma equação de grau 2:

2+3i 1 -4 12 4 -13
2-3i 1 -2+3i -1 2-3i 0
1 0 -1 0

Tem-se então que: x² - 1 = 0. Pode-se utilizar o método da soma e produto:

? + ? = 0 x’= 1
? x ? = -1 x”= -1

Solução: As raízes da equação são 2+3i, 2-3i, 1 e -1. (Observe que a equação, neste caso, é do 4º grau, o que justifica o fato desta equação ter 4 raízes)

Multiplicidade de raízes complexas
Toda equação polinomial, de grau n, com n maior ou igual a 1, possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário).

Também já foi visto, que todo número complexo, tem seu conjugado, sendo assim, toda equação polinomial que possua uma raiz imaginária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz.

Ou seja, se z = a + bi é raiz de uma equação polinomial, z = a − bi também será raiz.

Exemplo:
Sabendo-se que a equação polinomial x³ - 2x²+ x −2 = 0 possui uma raiz imaginária igual a i, com i² = −1, encontre as outras raízes.

Resolução:
A = i B = -i

Usando as relações de Girard temos:
A + B + C = - (-2/1)
i - i + c = 2 =>
c = 2



Representação algébrica de um número complexo
Z = a + b.i
Representação geométrica dos números complexos
Plano complexo ou plano de Argand-Gauss:
a forma algébrica a+bi é uma das maneiras de representar um numero complexo. Outra forma de representa-lo é escrever como par ordenado de números reais (a,b)

Plano Oxy
Eixo real= Ox
Eixo imaginário= Oy
Modulo do número complexo= |z| ou p

Podemos representar os complexos:
a) z= 2 + 3i por (2,3) d) z= 2 por (2,0)
b) z= 5-2i por (5,-2) e) z= i por (0,1)
c) z= 4i por (0,4) f) z= -i por (0,-1)




Multiplicação de números complexos
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1.z2= (a + bi) . (c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
A multiplicação de números complexos segue a mesma regra de multiplicação de binômios, considerando i²= -1

Números complexos
i² = -1
Números Complexos 3-C
THANK YOU!
ISIS <3 DEDO
Observamos, então, que a cada quatro potências o resultado volta a se repetir, isto é, as potências de i são cíclicas. Desse modo, podemos dizer que existem quatro potências diferentes de i:

iº = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i

Exemplo : Para cálcular o valor de i³⁵², por exemplo, baste dividir o expoente de i por 4:

352/4 = 88 "resto" zero, logo i³⁵² = iº = 1

Daniela, Gabriel W e Vinícius
i¹⁵ = ? 15/4 = 3 com resto 3 portanto , i¹⁵ = i³ = -i
Notas:

Os números complexos cujos afixos estão no eixo real (x) são números reais. Exemplo: (2,0) = 2

Os números complexos cujos afixos estão no eixo imaginário (y) são números imaginários puros, exceto (0,0) = 0. Exemplo: (0,2) = 2i

Os números complexos cujos afixos não estão no eixo imaginário (y) ou no eixo real (x) são números imaginários. Exemplo: (3,5) = 3+5i
i = √-1
a é a parte real.
b.i é a parte imaginária.
Se b ≠ 0, Z é um número imaginário.
Se a = 0 e b ≠ 0, Z é um número imaginário puro.
Se b = 0, Z é um número real.
Exemplos:
1+2i é um número complexo (imaginário), com a = 1 e b = 2
-4+πi é um número complexo (imaginário), com a = -4 e b = π
√2 é um número complexo (real), com a = √2 e b = 0
3i é um número complexo (imaginário puro), com a = 0 e b = 3
Exemplos: Dado dois números complexos, calcule suas multiplicações...

1) Z1=2+3i Z2=-1+2i
Z1Z2= (2+3i).(-1+2i)
-2-3i+4i+6i²
-2-3i+4i-6
-8+i

2) Z1=1-i Z2= 3+4i
Z1Z2= (1-i).(3+4i)
3+4i-3i-4i²
3+4i-3i+4
7+i

3) Z= 2+4i Z2= 1+3i
Z1Z2= (2+4i).(1+3i)
2+6i+4i+12i²
2+6i+4i-12
-10+10i

4) Z1 = 5 + i Z2 = 2 – i
(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i2
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

5) Z1= 9+3i Z2= -2+i
Z1.Z2= (9+3i).(-2+i)
-18+9i-6i+3i²
-18+9i-6i-3.(-1)
18+3+9i-6i
-21+3i

6) Z1= 2+3i Z2= 1+5i
Z1.Z2= (2+3i).(1+5i)
2+10i+3i+15i²
Z1.Z2= 2+10i+3i+15.(-1)
2+10i+3i-15
-13+13i

7) Z1= 2+5i Z2= 1-2i
2 – 4i + 5i – 10i² (i²=-1)
2 – 4i + 5i +10
– 4i + 5i + 12
12 + i

8) Z1= 4 + 3i Z2= 2 + 6i
8 + 24i + 6i + 18i² (i² = – 1)
8 + 24i + 6i + 18 * (–1)
8 + 24i + 6i – 18
–10 + 30i

9) Z1= 6 – 3i Z2= –3 + 7i
–18 + 42i + 9i – 21i² (i² = – 1)
–18 + 42i + 9i – 21 * (–1)
–18 + 42i + 9i + 21
3 + 51i

10) Z1= 10 + 10i Z2= 10 – 10i
100 – 100i + 100i – 100i² (i² = – 1)
100 – 100i + 100i – 100 * (–1)
100 + 100 + 0i
200 + 0i
200

Adição de números complexos
Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplos:
z1 = 4 + 2i e z2 = 3 + 6i
z1 + z2 = (4 + 3) + (2 + 6)i
z1 + z2 = 7 + 8i

z1 = 8 e z2 = 6 - 3i
z1 + z2 = (8 + 6) + (0 -3)i
z1 + z2 = 14 - 3i


Subtração de numeros complexos

Argumento de um número complexo
Forma trigonométrica - Operações
O módulo do número complexo
O módulo no gráfico acima está sendo representado por |z|, onde |z| é o numero complexo e C é o conjunto dos números complexos. Para a definição de |z| pode se usar o Teorema de Pitagoras com o triangulo retângulo AOC, sendo assim:
(OC)²= (AO)²+(AC)²

Exemplo:
A: 0
B: 5
z= 5i
|z| = √5²= 5

2)
A: 2
B: 4
z= 2+4i
|z| = √ 4+16= √20

Se Z = a + bi e W = c + di, com a, b, c e d números reais, chama-se a diferença entre Z e W o número complexo: (a - c) + (b - d)i.
Escrevemos: Z - W = (a - c) + (b - d)i.
Exemplos:
1) Determine o produto da subtração Z - W, sendo Z = 7 + 5i e W = 3 + 2i:
Z - W = (7 - 3) + (5 - 2)i = 4 + 3i
2) Determine X ∈ R para que Z = (x - 2x) + (x² - 2)i seja:
a) Imaginário:
Z é imaginário se x - 2 ≠ 0 e x ≠ 2

b) Imaginário puro:
Z é imaginário puro se x - 2 ≠ 0 e x ≠ 2 x = 0
x² - 2x = 0 e x = 0 ou x = 2

3) Sendo Z = 2 - 2i e W = 1 + 3i, calcule:
a) Z - W =
(2 - 1) + (-2 -3)i = 1 - 5i

b) W - Z =
(1 - 2) + (2 + 3)i = -1 + 5i

c) 2Z - W =
(4 - 4)i + (-1 -3) = 3 - 7i

A divisão de números complexos é realizada multiplicando o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor
De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por (dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será):
Divisão de números complexos
O Conjugado de um número complexo
É o número que multiplicado por um número complexo obtém como produto 1.

Matematimaticamente resulta em 1 a multiplicação entre um número e seu inverso, logo.
z . 1/z = 1 z = 1/z

O Conjugado, inverso, de um número complexo é representado com a inversão do coeficiente imaginário deste número, desta forma.
z = a + bi z = a - bi
z
Propriedades

z e seu conjugado, por terem a parte
imaginária oposta, tem o resultado de sua soma como um número real.
z + z : (a+bi)+(a-bi) = 2a

O conjugado de uma soma, ou produto, é igual a soma, ou produto, dos conjugados.

Elevar o módulo de z ao quadrado é o mesmo que multiplica-lo por seu conjugado.
lzl = V(a² + b²) z . z = a² + b²
lzl² = a² + b² = z . z
O arco formado entre o eixo horizontal positivo e o segmento OP, no sentido anti-horário, é chamado de argumento de z.
Geograficamente, θ é a medida em radianos do arco.
θ E R / 0 ≤ θ < 2π
Forma trigonométrica de um número complexo
Forma geométrica: a+bi

|z| é o módulo do número complexo z e θ é o argumento de z.







Forma trigonométrica:
|z|∙cosθ + |z|∙senθ∙i

Multiplicação
Divisão
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