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Métodos de Resolução de Sistemas de Equações Lineares

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by

Sara Cândido

on 9 April 2011

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Métodos de Resolução de sistemas de equações Lineares Equações lineares O que são? Como se resolvem? Métodos Exemplos Equações lineares -Envolvem uma ou mais variáveis;
-Envolvem somas ou produtos de determinadas constantes e variáveis do primeiro grau;
- Não podem ter potências nem produtos variáveis. Sistemas de equações lineares - É um conjunto de equações lineares de iguais variáveis. -Existem diferentes métodos (que referirei posteriormente).

-Todos eles podem ser feitos de forma tradicional, ou seja, à mão.

- Sabendo a importância dos algoritmos computacionais, todos os métodos podem ser usados via computador (ex.: utilizando excel ou mathcad). Vamos considerar um exemplo muito utilizado em Engenharia Química; um reactor em estado estancionário. Resolução deste problema utilizando matrizes para encontrar as soluções do sistema, visto que temos muitas incógnitas. É necessário começar por ver que num sistema sem reacção química tudo o que dá entrada tem de sair.

Este esquema é representativo do que ocorre nestes processos (de forma geral). Neste problema temos: -5 reactores

-Alguns caudais e concentrações.

-Algumas concentrações como incógnitas. Objectivo Cálculo das concentrações em falta. Método de resolução: 1- Criar uma relação entre todos os dados do problema.

2- Criar um sistema de equações (visto que temos um grande número de equações e de incógnitas).

3- Resolução do sistema matricial utilizando a fórmula [A]*[X]=[B] e depois [X]=[B]*[A^-1]. 1- Relação entre os dados do problema (concentração * caudal) entrada = (concentração * caudal) saída 2-Criar um sistema de equações
3- Resolver o respectivo sistema Estes pontos podem ser realizados em excel e mathcad. Em excel: [A] é a matriz dos coeficientes dos caudais que entram e saem do reactor.
[X] é a matriz das incógnitas.
[B] é a matriz das soluções

Não inserimos comandos, apenas copiamos as matrizes ou Multiplicando [B] (soluções) pelo inverso da matriz dos coeficientes obtemos as soluções das incógnitas.
Corresponde a fazermos [B]/[A] Soluções: Resolvendo os sistemas encontramos estes valores para as incógnitas. Em mathcad: O método de resolução baseia-se também em matrizes e na sua multiplicação, sendo a tarefa facilitada visto a maior rapidez com que o mathcad realiza certas operações. De forma a calcularmos a inversa colocamos no camando do excel: Para obtermos as soluções que pretendemos, temos de colocar nos camandos do excel: Definição de A e de B, sendo A a matriz dos coeficientes e B a matriz das soluções. Sabemos que X=B*A^-1, logo realizando esta operação obtemos directamente os resultados das incógnitas. Conclusão Os sistemas de equações lineares permitem nos o cálculo de vários valores desconhecidos quando temos muitas incógnitas.
Estes métodos demorariam muito tempo se fossem feitos à mão, ocorrendo uma maior probabilidade de erro. Desta forma, torna-se essencial recorrer a meios computacionais tal como os que foram apresentados. É o método mais utilizado computacionalmente.
Simplificação do sistema (e das respectivas matrizes) que queremos resolver. Método da substituição -Isolamento de uma incógnita em qualquer uma das
equações, obtendo igualdade com o polinómio. Método da soma Forma simplificada do método da substituição.
Aplicado quando os polinómios das equações são somados ou subtraídos e apenas resta uma incógnita. Método da comparação Isolamento de uma variável e posterior comparação das equações
do sistema. Factorização de matrizes Regra de Cramer Recorre-se ao uso de determinantes para a resolução. Método das matrizes Método que utilizámos na aula prática, resolvemos o sistema através de matrizes com a fórmula:

[A]*[X]=[B] ou [X]=[B]*[A^-1] Eliminação de Gauss: (exemplo mais comum)
É um algoritmo que transforma uma matriz qualquer numa matriz em forma de escada, através de operações elementares.
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