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Modelagem e formas de representação de Problemas

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by

heloisio mendes

on 7 March 2013

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Transcript of Modelagem e formas de representação de Problemas

Professor Heloísio Caetano Mendes. MODELAGEM E FORMAS DE REPRESETAÇÃO DE PROBLEMAS Introdução As três fases básicas num projeto de PO são: As variáveis que compõem as equações são de dois tipos: Muito obrigado A PO para fornecer soluções “ótimas” faz uso de modelagens. Um modelo é algo que representa
a realidade e geralmente se expressa de forma matemática. Um modelo matemáticoé uma
representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma interpretação de um fragmento
de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais.
1. Formulação do problema
2. Construção do modelo
3. Obtenção da solução Professor Heloísio Caetano Mendes
Goiânia. O modelo pode ser simples ou complexo, dependendo da realidade que ele retrata.
Um exemplo simples de modelo seria este: “José faz bonecas de argila. Vende cada boneca por $7. O custo para fazer uma
boneca, compreendendo material, tintas, sua mão de obra e outros custos, é de $4. Ele tem um
custo fixo de $20/mês” Modelo matemático do Lucro mensal de José:


L mensal= 3x- 20 3 = 7 - 4, 7 valor por boneca;
4 custo por boneca;
e o 20? Custo fixo mensal. . . onde x é a quantidade de bonecas produzidas e vendidas no mês
Cada boneca é vendida por $7 e custa $4: logo o lucro unitário é de $7-$4=$3. Se José produzir 10 bonecas por mês terá um lucro de:
L mensal= 3x- 20 = 3(10)-20 = 10 . . . . Os modelos de maior interesse em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é,
modelos formados por um conjunto de equações e inequações. Uma das equações do conjunto
serve para medir a eficiência do sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou
função de eficiência. As outras equações geralmentedescrevem as limitações ou restrições
técnicas do sistema. . . Variáveis controladas ou de decisão: são as variáveis cujos valores estão sob controle. Decidir,
neste caso, é atribuir um particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de
produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser produzida num período, o que
compete ao administrador controlar;

Variáveis não controladas: são as variáveis cujosvalores são arbitrados por sistemas fora do
controle do administrador. Custos de produção, demanda de produtos, preço de mercado são
variáveis não controladas. Considere que você tem duas filhas em famílias diferentes: Juliana Paes e Kelly Key. Exemplo . . Se você pudesse planejaria sair com as duas ao mesmo tempo, e a todo tempo. Mas, sair com as
duas ao mesmo tempo não dá. Elas não aceitariam sair com você juntas. E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre outras coisas) para sair todo dia.
Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas desagradáveis, você precisa decidir
quantas vezes no mês sair com cada uma! . . x1 a quantidade de vezes que você vai sair com a Juliana por semana;
x2 a quantidade de vezes que você vai sair com a Kelly Key por semana;
As variáveis x1 e x2, são as chamadas Variáveis de Decisão;
As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o cerne do problema, e que
podemos escolher (decidir) livremente; . . Veja que, a princípio você pode sair quantas, quantas vezes quiser com Juliana e com Kelly Key.
Entretanto, existe um pequeno problema:
Juliana é chique e gosta de lugares caros. Um passeio com ela custa R$180,00; . . Kelly Key é mais simples, gosta de passeios mais baratos. Sair com ela custa só R$100,00;
Mas a sua semanada é de apenas R$ 800,00!
Como fazer para garantir que você não se endivide? . . Se você sai com a Juliana x1
vezes na semana, e cada vez gasta R$180,00, então você gasta R$ 180 x1 por semana!
Fazendo o mesmo raciocínio para Kelly Key obtemos oseguinte:
100 x1+ 180 x2 ≤ 800 . . As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos:
Quando sai com Juliana, que é a mais sossegada, você gasta apenas 2 horas. Kelly Key é muito
mais agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em média 4 horas do seu precioso tempo.
Considere que os seus afazeres profissionais só lhe permitem 20 horas de lazer por semana. . . Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai extrapolar este tempo?
2 x1 + 4 x2 ≤ 20
Como as vezes que sai com Juliana ou Kelly Key são valores nulos ou maiores do que zero (condição de não-negatividade) pode-se escrever ainda:
x1≥ 0
x2≥ 0 . . Você já pode se planejar! Decida quantas vezes vocêvai sair com Juliana (x1) e com Kelly Key (x2).
Em suma: o modelo se expressa da seguinte forma:
Maximizar o número de saídas com Juliana e Kelly Key
max x1+ x2
sujeito a
100 x1+ 180 x2 ≤ 800
2 x1 + 4 x2 ≤ 20
x1≥ 0
x2≥ 0 . .
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