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Proyecto integrador.

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by

Paulina López

on 24 January 2016

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Proyecto integrador.
Modulo 11.
Reciclando

Introducción.
Problema:
Ana encontró un cartón rectangular en su casa y decide reciclarla realizando con él una caja sin tapa para guardar en ella los cables y accesorios de su celular. El cartón mide 40 por 20 centímetros y la construcción se realizará recortando cuatro cuadrados iguales en cada una de las esquinas. Escribe las expresiones algebraicas de la Superficie y el Volumen de la caja en función del lado del cuadrado.
Dibujo de cartón:
Solución del problema:
La superficie de un rectángulo se obtiene al multiplicar la base por la altura, es decir que la expresión algebraica es:
S=
bh

S=

(40) (20)
Es decir se sustituyen los valores de "b" que seria 40 y los valores de "h" que correspondería 20 y es así como nos queda la expresión de

S= (40) (20)

La siguiente imagen muestra los cortes que realizará Ana en el cartón para hacer la caja.
40cm
20cm
En esta situación se puede ver que hay 5 rectángulos, es importante mencionar que para sacar la superficie de un rectángulo se multiplica la base por la altura es decir
S=bh.

Para sacar la primer medida del rectángulo
S1
tenemos que las medidas de su base es
"X"
y su altura es de
"20- 2x".
Entonces sabiendo esto nos queda la expresión de
S1= X (20-2x)
, para resolver esta expresión debemos factorizar para así quitar los paréntesis es decir multiplicando
"x"
por
"-2x"
que es igual a
-2x²
y después se realiza la multiplicación de
"x"
por
"20"
y esto es igual a
"20x"
como resultado final de esta factorizacion tenemos
-2x²+20x.


Siguiendo así con el mismo método podremos sacar las demás medidas de los rectángulos:
S2= x (20-2x) = -2x² + 20x
S3= (40 - 2x) (x) = -2x²+ 40x
S4= (40 - 2x) (x) = -2x²+40x
S5= (40 - 2x) (20 - 2x) = 4x²-40x -80x +800.
en este caso estos términos los podemos simplificar ya que se tienen términos semejantes, entonces el resultado final seria: 4x²- 120x +800.

Ya que tenemos todas nuestras medidas podemos obtener la superficie total de la caja que esta la sacaremos con la suma de todas nuestras medidas es decir:
S=
S1+S2+S3+S4+S5
De esta manera hacemos la suma:
-2x² +20x
-2x² +20x
-2x² +40x
-2x² +40x

-8x² + 120x
4x² - 120x + 800
-4x² + 800
En este caso +120x y - 120x son términos semejantes y se pueden cancelar.
+
S1 = x (20-2x) = -2x²+ 20x

Para calcular el volumen de la caja es necesario recordar que el volumen es igual la superficie de la base por la altura, en este caso la superficie de la base es
"S5"
y la altura es
"X".
La expresión algebraica es:
V = (S5) (x)
V= (4x² - 120x + 800) (x) = 4x³-120x² + 800x

En este caso para que nos de 4x³ se suman los exponentes a la hora que los multiplicamos, es decir x² + x = x³. Y así ocurre con los demás términos como el de 120x y de igual manera se suma el exponente de "x" que tiene valor de 1 y lo mismo ocurre con +800.

En este caso la expresión algebraica que nos permitirá contestar lo que se nos pide.
Expresión: 4x³ - 120x²+800x
Encontrar el volumen de la caja sabiendo que tiene una altura de
5cm
.
R= 1,500.
V= 4x³ - 120x² + 800x=

4(
5
)³ - 120(
5
)² + 800(
5
) =
En este caso "X" equivale a "5" y este se va a multiplicar por le exponente que tiene:

4(
125
) - 120(
25
) +
4,000
=
Ya que tenemos los valores se multiplicaran entre si así que nos quedaría como resultado final:

500 - 3,000 + 4,000 =
1,500
Entonces tenemos que el volumen es de 1,500.
Encontrar la superficie de la caja si la altura es de
3cm.
R=764cm².
S= -4x² + 800 =
-4(3)²+800 =
-4(9) + 800 =
-36 + 800= 764
En este caso aplicamos lo anterior de sustituir el valor de "x" por el de la altura que es "3" y se multiplica por el exponente que se tienen y después se hace la operación para sacar el resultado, en este caso la superficie de la caja es de 764cm².
Si necesitamos que la superficie de la caja sea de 784cm² ¿Cuanto debe valer la altura de la caja?
R= 2cm²
Recordemos que la expresión algebraica para la superficie es
S= -4x²+800
.
La expresión que nos permitirá obtener esta información es:
-4x²+800=784.
Para encontrar este resultado podemos usar el ensayo y el error. Como a continuacion muestra la tabla.
El método del ensayo y el error consiste en buscar un numero que multiplicado por las demás expresiones nos de el resultado que buscamos, esto se puede apreciar en la tabla anterior ya que buscábamos el numero que nos daría el resultado que queremos en este caso es el numero 2.
Si la altura de la caja es de 0cm, calcula la superficie total y el volumen de la caja
S= -4x²+800

-4(0)²+800=

0+800=800cm²
V=4x³ - 120x²+800x

4(0)³ - 120(0)² +800 (0) =

0 - 0 + 0 = 0cm³
Como resultado tenemos que la superficie es de 800cm y el del volumen seria de 0, si la altura fuera de 0cm
Considera las superficies S1, S2, S3, S4 y S5, considera que le pondrás un forro en la base y otro en las paredes laterales, el forro para la base cuesta $1.2 cada cm2 y el forro para las paredes laterales cuesta $1.5 cada cm2, si la altura de la caja es de 3 cm, calcula cuánto dinero se gastará en forrar todo el interior de la caja.










S1 = x (20-2x) = -2x²+ 20x
S2= x (20-2x) = -2x² + 20x
S3= (40 - 2x) (x) = -2x²+ 40x
S4= (40 - 2x) (x) = -2x²+40x
S5= (40 - 2x) (20 - 2x) = 4x²-40x -80x +800.
El costo del forro para la base de de $1.2 por cm².
La altura es de 3cm, así que para sacar el resultado usamos la expresión de
S5.

4x² -120x+800

4(3)²-120(3)+800=
4(9)-360+800
36-360+800= 476cm²
Después de esto multiplicamos el resultado:
476 x 1.2

= 571.2

Entonces sabemos que se gastara $571.2 para forrar la base.
Ahora sacaremos el costo para forrar las paredes laterales, para esto utilizaremos la expresion de S1 y S2.
Como sabemos que los valores de S1 y S2 son iguales podemos hacerlo directo es decir:

-2x² + 20x=
-2(3)² + 20(3)=
-2(9) +60=
-18+60= 42cm²
Ahora que sabemos que 42cm² son el valor de cada lateral podemos hacer la multiplicacion para sacar el costo.

multiplicamos el total de la superficie de las laterales por el costo del forro:
42 x 1.5=63
que este seria el costo de uno de los lados, es decir este resultado de
$63
lo multiplicamos por
2
ya que estamos sacando el costo de
S1 y S2:

63x2= 126.
El costo total es de $126.
Como anterior mente lo hemos estado haciendo, volvemos a sacar el costo pero ahora de S3 y S4 que tienen la misma expresión y hacemos lo que anteriormente hicimos con S1 y S2 y después de lo que salga de uno de los costos lo multiplicamos por 2
-2x²+40x=
-2(3)²+40(3)=
-2(9)+ 120=
-18+120= 102cm²
102 es la superficie de las laterales de S3 y S4.
Entonces multiplicamos:

102x 1.5 =153

El costo de cada lateral es de $153 y lo multiplicamos por dos:

153x2= 306

El costo total de ambas laterales es de $306
Entonces sumamos los resultados de todos los costo que hemos sacado para obtener el costo total para forrar la caja.
Base = $571.2
Laterales S1 y S2= $126
Laterales S3 y S4 = $306
571.2
126
306
+
1,003.2
El costo total es de $1,003.2
Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 7 cm.
La expresión que utilizaremos sera la de:
4x³-120x²+800x
En este caso sustituiremos x por el valor de 7
4(7)³-120(7)²+800(7)=
4(343)-120(49)+5,600=
1,372-5,880+5,600=1,092cm³
Si sabemos que 1L es igual a 1000cm³, debemos dividir y así nos dará los litros que caben en la caja:

1,092÷1000= 1.092L

Esto es el total de litros que le caben a la caja con una altura de 7cm
Recuerda que 1L = 1000 cm3, calcula cuántos litros le caben a la caja si su altura es de 8 cm
La expresión que utilizaremos para hallar el resultado sera:

4x³-120x²+800x

4(8)³-120(8)²+800(8)=
4(512)-120(64)+6400=
2048 - 7680 + 6400= 768cm³
En este caso solo le caben 768ml a la caja.
En este modulo aprendi a resolver y despejar expresiones algebraicas, a distinguir los monomios, binomios y polinomios, a destacar la importancia de las matematicas.
Alumna:
Alexia Rosario Guerra Pérez .
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