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La Matemática y el Arte

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by

Gara Azkoitia

on 11 December 2013

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Transcript of La Matemática y el Arte

La Matemática y el Arte
La Razón Áurea y la belleza en el arte
Introducción
Durante mucho tiempo los artistas y diseñadores, se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto.

Un objeto lo podemos dividir por la mitad o haciendo que una parte sea el doble de la otra o de forma que en una parte sea triple de la otra... en fin, podemos hacer cualquier divisiòn de un objeto.

Introducción
En la antigüedad clásica el griego Platón observo una forma de dividir un segmento de forma armónica y agradable a la vista que llamo: La sección.

También cerca de 300 a.c. otro griego Euclides encontró geométricamente la forma de dividir en dos partes un segmento de forma armónica o agradable a la vista. Al segmento lo llamo Sección Áurea.
Introducción
Veamos la partición de un segmento de forma armónica, tal como lo hizo Euclides:
Introducción
Euclides descubrió que un segmento es dividido en dos partes forma armónica o agradable a la vista siempre y cuando se cumpla que la razón entre el segmento y la parte mayor es igual a la reacción entre la parte mayor y el menor, es decir.
Aquí tenemos un segmento AB que ha sido dividido en dos partes AC y CB.
Determinemos el valor de la Razón Áurea

Tenemos un segmento AB cualquiera con el segmento AC=a, CB=b, AB= a+b. Donde CB es el segmento menor.
El segmento debe estar partiendo en Razón Áurea, por lo tanto se debe cumplir que:
Por el Teorema Fundamental de las proporciones (multiplicado cruzado)
Multiplicando y reduciendo:
Aplicando la fórmula para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática,tenemos:
Otra forma de calcularlo
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.
Surge al plantear el problema geométrico siguiente:

Partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
¿Dónde encontramos la razón Áurea?
Definimos al número áureo o también llamado razón áurea, el mismo que es representado por la letra griega Ø(fi), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:
El pentagrama
(estrella de cinco puntas)
Invertimos la razón y queda:
Tendremos con esto dos soluciones:
Veamos que 5 es un número irracional mayor que 1, por lo tanto:
Escogemos el valor positivo de la Razón pues no existen distancias negativas
El número √5 es aproximadamente 2,236067… luego:

Este valor encontrado para la Razón Áurea se llama .

Dato curioso:
Se nombro así en honor a Fidias, el arquitecto griego que construyó el Partenón usando la Razón Áurea.

Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo Phi, el cociente
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Un rectángulo muy especial
Un rectángulo cuyo lado está en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo.
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos
Ahora tenemos una ecuación de segundo grado, pero vamos a suponer que la incógnita es “b” y sí conocemos “a”:
Pasamos a2 al lado izquierdo de la ecuación…
Otro objeto vinculado con phi
es la estrella de cinco puntas,
llamada también pentagrama.
Muchas de las proporciones entre los segmentos que componen la estrella resultan ser iguales a la razón Áurea.
Cuerpos y Rostros
Britney Spears:
Crece y se tuerce: la espiral logarítmica
Es también la curva descrita por un objeto que se mueve con velocidad angular y velocidad lineal constante

Es la curva que surge de dibujar arcos de circunferencia en el interior de los sucesivos cuadrados que se obtienen al construir sucesivos rectángulos áureos.

El arte divino y el terrenal
Leonardo Da Vinci, el autor del dibujo que hemos usado aquí, conocía f y sus vínculos con las proporciones humanas.
Concha del Nautilus
(Nautilius Pompilius)
La concha crece uniformemente alrededor
de un centro y hacia el exterior, por
lo que adquiere la forma de la espiral logarítmica.
Arquitectura
En la armonía de la estructura
de la catedral de Notre-Dame
en París, encontramos
múltiples referencias a la
razón áurea.
Conclusiones
Durante los últimos siglos, creció el mito de que
los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción numérica específica, esencial para sus ideales de belleza,geometría y muchos artistas les han imitado en épocas posteriores.

Dicha proporción es conocida con los nombres de razón áurea, media áurea, o divina proporción.

La razón sí se cumple en muchas de las proporciones de objetos, obras, construcciones y hasta en personas que consideramos bellas y proporcionadas.


Referencias
http://matematicas.reduaz.mx/Biografias/Esc_Pit.html

http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/enbusca.htm

http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-25/RC-25.htm

-Slideshare

-Wikipedia

-Google Images


¡GRACIAS!
Integrantes
Denisse Alejandro
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Zuyra Madero
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