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Untitled Prezi

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by

Johanna Castro

on 5 June 2013

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Transcript of Untitled Prezi

A.METODO DEL PUNTO FIJO Tenemos la siguiente Función f(x)=x³-6x²+11x-6.1 Para tabular se asignan valores a la variable "X" y se reemplazan en la ecuación original de la siguiente manera:
f(x)=x³ - 6x²+11 x -6.1
1³-6(1)²+11(1)-6.1 =-0,1 Se asigna a X el valor 1 y se reemplaza en la ecuación original, el resultado obtenido se coloca en Y para completar la tabla: Reemplazando los valores de X del 1 al 5 en la ecuación, la tabulación queda de la siguiente manera: Para determinar donde se encuentra la Raíz se observan los resultados obtenidos en la tabulación, y se verifica el cambio de Signo: Como se muestra a continuación en el intervalo de X (3, 4) encontramos el cambio de signo lo que determina que en este punto se encuentra la raíz: PASO1
TABULAR 2.DETERMINAR LOS INTERVALOS DE X DONDE SE ENCUENTRA LA RAIZ 3.DESPEJAR LA FUNCIÓN El despeje se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando "X" a cada lado de la Ecuación Original como se muestra a continuación: Función Original:
f(x)=x³-6x²+11x-6,1
Se iguala a Cero
x³-6x²+11x-6,1=0
Despejando:
x³=6x²+11x-6.1 4.DERIVAR LA FUNCIÓN OBTENIDA DESPUES DEL DESPEJE 5.REEMPLAZAR EL RESULTADO DE LA DERIVADA X POR EL PUNTO MEDIO Como el intervalo de la tabulación donde se encuentra la raíz esta entre los puntos 3 y 4 el punto medio es 3,5. Se reemplaza "X" por la raíz 3,5 quedando de la siguiente manera:
Ecuación para Iterar:

1/3(6x^2-11x+6.1)-2/3) * (12x-11)

Reemplazando X queda:

(1/3*((6*(3.5)^2-11*(3.5)+6.1)^-2/3)*(12*(3.5)-11)) = 0.86
Como el resultado obtenido se acerca a la raíz es una
ecuación óptima para comenzar a Iterar. "La utilidad de obtener una segunda ecuación g(x), es que proporciona un a formula para predecir un nuevo valor de X en función del valor anterior del mismo. De esta manera dado un valor para la raíz Xi, la ecuación se utiliza para obtener una nueva aproximación". 6. ITERAR EN LA FUNCIÓN DEL DESPEJE B.METODO NEWTON RAPSHON C. METODO DE LA
SECANTE A.METODO GRÁFICO 1.TABULAR 2.UBICAR LOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO B.METODO DE LA BISECCIÓN 1. HALLAR LA RAÍZ POR MEDIO DE LA TABULACION De acuerdo al gráfico anterior se determina que los puntos donde se presenta el cambio de signo son los intervalos 3 y 4 correspondiente a los puntos donde se encuentra la raíz Para hallar la hallar la raíz verdadera se debe realizar la siguiente tabla: Donde las variables se determinan de la siguiente manera: Reemplazando y Operando queda la tabla de la siguiente manera: La primera fila que se obtiene se conoce como Raíz Verdadera
Para seguir realizando las iteraciones se debe determinar el limite superior e inferior se deben tener en cuenta las siguientes condiciones dadas en la siguiente Gráfica: 2.HALLAR LA RAIZ VERDADERA De acuerdo a la Función f(x)=x³-6x²+11x-6.1 1.TABULAR Reemplazando los valores de X del 1 al 5 en la ecuación original, la tabulación queda de la siguiente manera: De acuerdo a la tabulación anterior se establece que la raíz se encuentra en los intervalos 3 y 4 1.TABULAR f(x)=x³-6x²+11x-6.1 Dada la función: La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero.
Es decir que, cuando resolvamos el polinomio, las soluciones son las raíces del polinomio. Por ejemplo:

f(x) = x² + x - 12

Resolviendo nos quedaría de la siguiente manera:

x² + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2 TENEMOS LOS SIGUIENTES MÉTODOS DE SOLUCIÓN Estos métodos se basan en fórmulas que requieren un solo valor de Inicio "X" o que empiecen con un par de ellos, pero no necesariamente deben encerrar la Raíz. Parten de una fórmula donde el resultado obtenido es el siguiente valor a usar. (Iteraciones) Se dice que los métodos cerrados son aquellos en los que es necesario dar un intervalo como punto de partida. Por esto las raíces deben estar contenidas en dicho intervalo. x=6x²+11x-6.1 ^1/3 x'=1/3(6x^2-11x+6.1)^(1/3)-1
Resultado de la Derivada
1/3(6x^2-11x+6.1)-2/3) * (12x-11) x=6x²+11x-6.1 ^1/3 Función Obtenida Derivando nos queda 2. REEMPLAZAR VALORES INICIALES EN LA FORMULA
DE LA SECANTE xi-1=3 f(xi-1)=-0,1
xi=4 f(xi)=5,9 2.OBTENER LA SEGUNDA ITERACIÓN xi-1=4 f(xi-1)=5,9
xi=3,016666 f(xi)=0,065830 3.OBTENER LA TERCERA ITERACION xi-1=3,016666 f(xi-1)=-0,065830
xi=3,027516 f(xi)=0,042675 4. OBTENER LA CUARTA
ITERACIÓN 5.OBTENER LA QUINTA ITERACIÓN 2.DERIVAR LA FUNCIÓN f(x)=x³-6x²+11x-6,1 Tenemos la ecuación original: Derivando nos quedaría: f'(X)=3X²-12X+11 3.REEMPLAZAR LOS VALORES OBTENIDOS EN LA FORMULA NEWTON RAPHSON FORMULA NEWTON RAPHSON El punto medio de la ecuación según los intervalos 3 y 4 es 3,5, este valor es el valor inicial y se reemplaza por Xn en la formula de Newton Rapshon: f '(X)=3x²-12x+11 De acuerdo a la formula tenemos para reemplazar: Xn=3,5 Punto medio El valor obtenido es la primera Iteración Este valor (3.191304348) se reemplaza en la segunda iteración por el valor de X en la ecuación Newton Rapshon. Este valor reemplazaría al valor inicial 3,5. Luego el valor obtenido (3.068698821) se reemplaza en la tercera Iteración f(x)=x³-6x²+11x-6.1 3 Limite Inferior
4 Limite Superior Formula de Newton Segunda Iteración Tercera Iteración Y así sucesivamente se convergerá rápidamente a la Raíz De acuerdo al resultado obtenido se verifica que el punto medio se encuentra entre los intervalos 3 y 4 y cuyo valor es 3,5 Se comienza a Iterar con los valores iniciales obtenidos en la tabulación: Remplazando en la Formula de la Secante obtenemos la primera iteración: PRIMERA ITERACION xi -1 toma el valor de xi y xi toma el valor obtenido en la primera iteración(3,016666) y f(xi-1) toma el valor de f(xi), para obtener el nuevo valor de f(xi) es necesario reemplazar el nuevo valor de xi en la ecuación original: Remplazando en la Formula de la Secante con los valores anteriores obtenemos la Segunda iteración: Para la tercera iteración xi -1 toma el valor de xi y xi toma el valor del resultado de la segunda Iteración (3,027516) y f(xi-1) toma el valor de f(xi), para obtener el nuevo valor de f(xi) es necesario reemplazar el nuevo valor de xi en la ecuación original: Remplazando en la Formula de la Secante con los valores anteriores obtenemos la Tercera iteración: Para la tercera cuarta iteracion xi -1 toma el valor de xi y xi toma el valor del resultado de la tercera Iteración (3,041511) y f(xi-1) toma el valor de f(xi), para obtener el nuevo valor de f(xi) es necesario reemplazar el nuevo valor de xi en la ecuación original:
xi-1=3,027516 f(xi-1)=0,042575
xi=3,047511 f(xi)=0,001901 Remplazando en la Formula de la Secante con los valores anteriores obtenemos la Tercera iteración: Para la quinta iteracion xi -1 toma el valor de xi y xi toma el valor del resultado de la tercera Iteración (3,046658) y f(xi-1) toma el valor de f(xi), para obtener el nuevo valor de f(xi) es necesario reemplazar el nuevo valor de xi en la ecuación original:
xi=-1=3,047511 f(xi-1)=0,001901
xi=3,046658 f(xi)=-0,0000515 Vemos las aproximaciones de los resultados a la Raíz. La raíz se ubica entre los intervalos 3 y 4 en X. Se determina que los intervalos obtenidos son los limites: 3.DETERMINAR LOS NUEVOS LIMITES
SUPERIOR E INFERIOR C. METODO DE LA REGLA FALSA Dada la siguiente función

f(x)=x³-6x²+11x-6.1 1.TABULAR La raíz se encuentra entre los intervalos 3 y 4 Se determina que los intervalos obtenidos son los limites: 3 Limite Inferior
4 Limite Superior 2.HALLAR LA RAIZ VERDADERA Para hallar la hallar la raíz verdadera se debe realizar la siguiente tabla: Donde las variables se determinan de la siguiente manera: Para regla falsa se utiliza el mismo procedimiento que el metodo de Biseccion lo unico que cambia es la formula con respecto a la variable Xr. Integrantes:
Johanna Dosa
Cindy Gomez
Jeffry Gonzalez
Victor Rozo
Sandra Valbuena
Steven Gonzalez
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