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Matrices

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by

Paula Lopez

on 2 March 2013

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Transcript of Matrices

Matrices Una Matriz es una tabla numérica formada por "m" filas y "n" columnas. Tipos de Matrices Matriz Fila Una matriz fila está formada
por una única fila de números. Matriz Columna Una matriz columna está formada por una sola columna de números. Matriz Rectangular Una matriz Rectangular tiene distinto numero de filas que de columnas. Matriz Cuadrada Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Dimensión m x n Dimensión 1 x n Dimensión m x 1 Dimensión n x n Matriz triangular INFERIOR SUPERIOR DIAGONAL Los elementos que se encuentran ENCIMA de la diagonal principal son ceros. Los elementos que se encuentran DEBAJO de la diagonal principal son ceros. Los elementos que se encuentran ENCIMA y DEBAJO de la diagonal principal son ceros. Matriz Escalar Los números de la diagonal principal son iguales. Matriz Unidad Los números de la diagonal principal son unos Matriz traspuesta Además, dada una matriz SU... podemos obtener Dada una matriz cualquiera, podemos obtener su Matriz Traspuesta:
Se calcula reescribiendo las filas como columnas y las columnas como filas. Así: De una Matriz Cuadrada podemos obtener su: Al hacer la matriz traspuesta de una matriz cuadrada, puede ocurrir que: A = At Matriz simétrica Matriz antisimétrica Al hacer la matriz traspuesta de una matriz cuadrada, puede ocurrir que: A = -At. Un ejercicio como ejemplo: El truco para conseguir estos tipos de matrices está en mantener intacta la diagonal principal. Inversa de una
Matriz cuadrada Matriz regular - Tiene inversa - Determinante distinto de cero
Matriz singular - No tiene inversa - Determinante igual a cero Métodos para calcular la Matriz inversa Diferenciamos Una Matriz Traspuesta Cuadrada puede dar lugar a... POR GAUSS-JORDAN Colocamos a la izquierda de la barra de división la matriz real. El objetivo es convertir esa matriz en una matriz identidad mediante combinaciones lineales Si en la parte izquierda de la barra aparece una fila/columna de ceros, la matriz no tiene inversa POR MATRIZ ADJUNTA ¿Como calcular la matriz inversa de ? Primero calculamos el determinante: Después calculamos cada uno de los adjuntos: Por lo tanto la solución es: Es importante calcular primero el determinante para asegurarnos de que es distinto de cero:
1/0 NTS. (A/I) Gauss→(I/A) APLICANDO LA DEFINICIÓN Y RESOLVIENDO LOS SISTEMAS DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES. Este procedimiento es bastante laborioso y poco recomendable cuando el orden de la matriz es mayor que 2, pues, por ejemplo, para una matriz de orden 3 hay que resolver 3 sistemas de ecuaciones lineales, cada uno de ellos con tres ecuaciones y tres incógnitas. a+c=1 b+d= 0 c=0 d=1
a=1 b=-1 c=0 d=1 O
P
E
R
A
C
I
O
N
E
E
S SUMAR Si queremos sumar dos matrices, se suman elemento a elemento.
Por ejemplo: Para poder sumar dos matrices es necesario que tengan las mismas dimensiones. PRODUCTO DE UN ESCALAR Si queremos multiplicar una matriz por un escalar, se hace elemento a elemento.
Por ejemplo: Si queremos multiplicar 2 matrices se hará elemento a elemento. El elemento Cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Por ejemplo: PRODUCTO DE MATRICES Determinante Se llama determinante de una Matriz cuadrada a un número que se obtiene de determinada forma, dependiendo de las dimensiones de la matriz, con los elementos de la matriz. PROPIEDADES CALCULAR DETERMINANTES 3x3 O INFERIORES CALCULAR DETERMINANTES 4x4 O SUPERIORES |At|= |A| |A|=0 Si: Una fila/columna es combinación lineal de otras Una columna/fila es nula Dos columnas/filas son iguales o proporcionales Si permutamos el determinante cambia de signo Si se multiplica una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese. Si una fila o columna es suma de dos, su determinante puede descomponerse en dos matrices. |A·B| =|A|·|B| = a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32. En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna
Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna
Hay 6 productos: 3 tienen signo positivo (+), y los otros 3 negativo (-) TRUCO: Método de Sarrus Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 . PIVOTEAR. 1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos). 2. En caso negativo, obtendremos mediante combinaciones lineales una fila o columna con todo elmentos nulos menos uno Ej: 2 3 0 0
4 -2 3 2
3 4 -2 5
2 -2 4 3 C1--3C1-2C2 0 3 0 0
16 -2 3 2
1 4 -2 5
10 -2 4 3 1/3 1/3 x -3 -2 3 2
4 -2 5
-2 4 3 = 227 Cuando la combinación lineal afecta a la línea que queremos cambiar, entonces hay que multiplicar todo el determinante por el inverso como en el ejemplo. C1--3C1-2C2 Entonces habría que multiplicar por 1/3 Como el elemento que hemos tomado como pivote se encuentra en la posición:
1-2 (1+2=3), multiplicaremos el determinante por -1.
Si el pivote es un elemento impar (fila+columna=nº impar) se multiplica por -1 el determinante. EJEMPLO Rango El Rango es el número de columnas o filas linealmente independientes. Métodos para calcular el Rango: GAUSS Manteniendo la diagonal principal, el obejtivo es intentar hacer nulas las máximas líneas posibles. F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1 Rango=3 ORLANDO El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Ej: 1. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=20 2. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. 3. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3 que incluya la submatriz anterior de rango 2, tal que su determinante no sea nulo. Por lo tanto Rg(A)=2 Una de las aplicaciones de las matrices son los SISTEMAS Para saber a qué tipo de sistema nos enfrentamos, DISCUTIREMOS EL SISTEMA DE ECUACIONES mediante el Teorema de Rouché-Frobenius y teniendo en cuenta este esquema Lo explicaremos con unos ejemplos: x+y-z = 5
x+y+z = 7
2x-y+3z = 6 1 1 -1
1 1 1
2 -1 3 A= A*= 1 1 -1 = 5
1 1 1 = 7
2 -1 3 = 6 B= x
y
z Rn(A)=3
Rn(A*)=3
3 Incógnitas
Sistema Compatible Determinado Rg(A)= Rg(A*)= nº de incógnitas Rg(A)=Rg(A*) distinto de nº de incógnitas Rg(A) distinto de Rg(A*) Sistema compatible determinado -- CRAMER x= 5 1 -1
7 1 1
6 -1 3 1 1 -1
1 1 1
2 -1 3 =3 1 1 -1
1 1 1
2 -1 3 y= =3 1 5 7
1 7 1
2 6 3 1 1 5
1 1 7
2 -1 6 1 1 -1
1 1 1
2 -1 3 z= =1 POR LO TANTO, x=3; y=3; z=1 x+y-z = 5
x+y+z = 7
2x+2y = 12 1 1 -1
1 1 1
2 2 0 A= A*= 1 1 -1 = 5
1 1 1 = 7
2 2 0 = 12 B= x
y
z Rn(A)=2
Rn(A*)=2
3 Incógnitas
Sistema Compatible Indeterminado Sistema Compatible indeterminado -- PARÁMETROS Parámetros = Incógnitas - Rango = 1
Ecuaciones = Rango =2 Coger Ecuaciones que han generado el Rango x+y-z=5
x+y+z=7 x= α α+y-z = 5
α+y+z = 7 x=α; y=6-α; z=1
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