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Tema 6

Dinámica Tecmilenio
by

Luis Sua

on 23 September 2013

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Transcript of Tema 6

En algunas ocasiones, el momento de inercia se conoce como radio de giro, k. El momento de inercia se determina mediante:


Despejando k:
Luis Carlos González Sua
Al integrar la expresión se obtiene:


La masa del cilindro es:


De modo que:
Tema 6. Momento de inercia de masa
Introducción
Se define como momento de inercia como la integral del segundo momento alrededor del eje de todos los elementos de masa dm los cuales componen el cuerpo.
Para la figura, el momento de inercia se podría manifestar así:
Introducción
Expresando la masa en función de densidad y volumen se tiene (asumiendo que la densidad es constante):
Ejemplo
Determine el momento de inercia del cilindro que se muestra en la figura, con respecto al eje z. La densidad del material ρ es constante.
Solución
El volumen del elemento es dV = (2πr)(h)dr, y su masa es dm = ρdV = ρ(2πhr dr). Como todo el elemento está a la misma distancia r del eje z, el momento de inercia del elemento es:
Solución
Teorema de los ejes paralelos
Si se conoce el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por su centro de masa, se puede determinar el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo.

Considerando el cuerpo que se muestra en la figura.
Teorema de los ejes paralelos
El eje z' pasa por el centro de masa G, mientras que el eje z paralelo correspondiente está a una distancia d.
Al seleccionar el elemento de masa diferencial dm, localizado en (x', y') y utilizando pitágoras
r² = (d + x')² +y'², se expresa el momento de inercia con respecto al eje z:
Radio de giro
Cuerpos compuestos
Si un cuerpo se compone de varias formas simples, su momento de inercia está determinado en base a la suma geométrica de todas las formas calculadas, por lo tanto:
Ejemplo
Si la placa que se muestra en la figura tiene una densidad de 8000 kg/m³ y un espesor de 10 mm, determine su momento de inercia con respecto a un eje fijo perpendicular que pasa por el punto O.
Solución
La placa consta de dos partes compuestas, un disco de 250 mm menos un disco de 125 mm. Calculando el momento de inercia de cada uno y sumando algebraica- mente se obtiene el valor total. También se aplica el teorema de ejes paralelos.

Para el disco de 250 mm:
El momento de inercia con respecto al eje centroidal perpendicular al plano del disco es:
Solución
El centro de masa del disco se encuentra a una distancia de 0.25 m del punto O, por lo tanto:
Solución
Para el agujero, comparte el mismo centro de masa del disco anterior, por lo tanto:
Solución
El momento de inercia de la placa con respecto al punto O es por lo tanto:
Resumen
Ecuaciones vistas en el tema:
Teorema de los ejes paralelos
Resolviendo:



Dado que r² = x'² + y'², la primera integral representa al momento de inercia con respecto al eje z' que pasa por el centro de masa G. La segunda integral es 0 y la tercera integral es la masa del cuerpo, por lo tanto:
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