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Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio y problemas típicos asociados.
by

Rafa Pastor

on 17 May 2016

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Transcript of Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio

1. Se escoge un punto genérico de cada recta: ,
2. Se calcula el vector
3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas , que resulta al exigir al vector anterior que sea perpendicular a los dos vectores de dirección
Posiciones
relativas
de rectas y planos
en el espacio

Dos
rectas

Recta
y plano

Dos
planos

Tres
planos

La mejor opción es escribir las rectas en forma paramétrica:
y resolver el sistema de tres ecuaciones (una por cada coordenada) con dos incógnitas (los dos parámetros, que deben tener siempre distinto símbolo) que resulta.
Compatible determinado:
las rectas se cortan en un punto
Compatible indeterminado:
las rectas coinciden
Incompatible con rango de la matriz de los coeficientes 1 y rango de la ampliada 2: las rectas son paralelas
Incompatible con rango de la matriz de los coeficientes 2 y rango de la ampliada 3: las rectas se cruzan
Para calcular el punto de corte, basta con resolver el sistema y sustituir el valor obtenido del parámetro en la ecuación de la recta correspondiente para obtener las coordenadas del punto.
Para obtener el ángulo que forman, basta con localizar los vectores de dirección y aplicar la definición de producto escalar:
Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas formado por las ecuaciones implícitas de los planos:
Con las posibilidades:
Compatible indeterminado con un parámetro: los dos planos se cortan en una recta. Como vector director de la recta se puede tomar el vector producto vectorial de los vectores normales a los dos planos:
Sistema incompatible: los dos planos son paralelos.
Compatible indeterminado con dos parámetros: los dos planos son coincidentes
Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan
Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan
4. Una vez conocidos , podemos hallar la ecuación de la recta buscada sustituyendo la solución pues tenemos el punto (elegir entre , ) y el vector de dirección
Distancia entre dos rectas paralelas
Se resuelve hallando la distancia de un punto cualquiera de la recta s, por ejemplo , a la recta r:

1. Se escoge un punto genérico de la recta r,
2. Se calcula el vector
3. Se resuelve la ecuación que resulta al exigir al vector anterior que sea perpendicular al vector de dirección de la recta r,
4. La distancia buscada es el módulo del vector
El ángulo que forman los dos planos es el que forman sus vectores normales y se puede calcular a partir de la definición de producto escalar.
La mejor opción es escribir la recta en forma paramétrica y el plano en forma implícita:
y resolver la ecuación (la incógnita es ) que resulta al sustituir las ecuaciones de la recta en la del plano, con las posibilidades (suponiendo que los números a, b son distintos de cero):
Distancia entre dos planos paralelos
1. Se escoge un punto cualquiera del plano
2. Se halla su distancia al plano sustituyendo las coordenadas del punto anterior en su ecuación normal (la implícita dividida entre el módulo del vector normal):
1. Se escoge un punto genérico de cada recta: ,
2. Se calcula el vector
3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas , que resulta al exigir al vector anterior que sea perpendicular a los dos vectores de dirección
4. Una vez conocidos , la distancia buscada viene dada por el módulo del vector
Solución única, la recta y el plano se cortan en un punto, que se calcula sustituyendo la solución obtenida en las paramétricas de la recta.
Un caso particular se produce cuando la recta y el plano son perpendiculares. Observa que, en este caso, los vectores director de la recta y normal del plano son paralelos (luego sus coordenadas son proporcionales).
Infinitas soluciones: la recta está contenida en el plano
Ecuación imposible (sin solución): la recta es paralela al plano. Observa que los vectores director de la recta y normal del plano son perpendiculares
El ángulo que forman la recta y el plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, y se calcula fácilmente a partir de la definición del producto escalar.
Ángulo entre recta y plano
Distancia de la recta al plano
1. Se escoge un punto cualquiera de la recta.
2. Se halla su distancia al plano sustituyendo las coordenadas del punto anterior en su ecuación normal (la implícita dividida entre el módulo del vector normal).
Se resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas formado por las ecuaciones implícitas de los planos:
Con las posibilidades:
El sistema es incompatible
r(A)=2; r(A')=3
Los planos se cortan dos a dos en tres rectas distintas
r(A)=2; r(A')=3
Dos planos son paralelos y el tercero los corta en dos rectas distintas
r(A)=1; r(A')=2
Los tres planos son paralelos sin que haya coincidentes
r(A)=1; r(A')=2
Los tres planos son paralelos pero dos son coincidentes
El sistema es compatible
r(A)=3; r(A')=3
Compatible determinado: los tres planos se cortan en un punto cuyas coordenadas son la única solución del sistema
r(A)=2; r(A')=2
Compatible indeterminado con un parámetro: los tres planos se cortan en una misma recta sin que haya planos coincidentes. La recta es la solución del sistema.
r(A)=2; r(A')=2
Compatible indeterminado con un parámetro: los tres planos se cortan en una misma recta siendo dos de los planos coincidentes. La recta es la solución del sistema.
r(A)=1; r(A')=1
Compatible indeterminado con dos parámetros: los tres planos coinciden.
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