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Tipos de funciones y sus características

En esta presentación se exponen los tipos de funciones básicas y sus características tanto conceptuales como gráficas.
by

Diana Velásquez

on 13 February 2013

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Transcript of Tipos de funciones y sus características

Tipos de funciones Las funciones se clasifican de acuerdo a su estructura algebraica y representación. Función lineal Función cuadrática Una función lineal se caracteriza por su estructura algebraica que se representa de la siguiente manera:



con a y b números reales, dados. Toda función cuadrática se puede escribir de la forma



con a, b y c números reales. Elementos que componen a una función lineal Como se apreció en la estructura de la función lineal hay 4 elementos que la componen, a saber:

f(x): corresponde a la variable dependiente y representa la imagen de un valor x, de la variable independiente.

a: representa el valor de la pendiente, es decir, de la inclinación de la recta que representa a la función. Este valor es una razón entre la variación de la variable dependiente respecto a la variación de la independiente.

x: corresponde a los valores que puede tomar la variable independiente o también a la preimagen de un valor determinado de f(x).

b: representa al valor de la variable dependiente cuando la variable independiente se anula, es decir, cuando ésta vale 0. Son ejemplos de funciones lineales:

f(x)=-x f(x)=x+2 f(x)=(1/4)x-3 f(x)=-8x-(5/7)

Y para diferenciarlas o reconocer qué caracteriza a cada una respecto a las demás, es necesario identificar los elementos que la componen. Analicemos el concepto de la imagen de una función lineal. f(x): la imagen de un valor x Tenga en cuenta que f(x) representa el valor que se asigna a cada x después de realizar la operación que indica la función.

Si por ejemplo, f(x)=-7x+2 y se busca la imagen de 8, significa que se debe reemplazar el valor de la x por el número 8, en cada lugar donde dicha letra aparezca. En este caso quedaría así:

f(8)=-7(8)+2.

Luego, se realiza la operación que aparece después del igual porque la expresión f(8) es sólo una representación simbólica de las palabras la imagen de 8. De este modo se obtiene:

f(8)=-54 y se lee la imagen de 8 es -54 o también, la imagen de 8 a través de f(x)=-7x+2 es -54. La imagen de una función lineal se puede identificar gráficamente a través del siguiente proceso. La imagen de un valor x bajo una función lineal Analicemos el concepto de pendiente de una función lineal. a: pendiente de una función lineal La pendiente de una función lineal es uno de los valores más importantes ya que es el elemento que diferencia a una función lineal de otra.

Según la Real Academia de la Lengua la palabra pendiente tiene varios significados y uno de ellos, como adjetivo, es: inclinado, en declive. Terreno pendiente.

Justamente la inclinación es lo que hace que una función lineal se diferencie de otra; lo que significa que la pendiente da la inclinación y es muy relevante de calcular e interpretar, cuando sea el caso.

La pendiente también se suele denotar algebraicamente con la letra m. Para comenzar se identificará cómo se halla la pendiente para luego, explicar su interpretación. Analice cómo se obtiene o calcula la pendiente de una función lineal. Trace el segmento que une los puntos y analice la construcción realizada con ellos. Considere dos puntos en el plano cartesiano. Si calcula la razón entre los lados del triángulo formado, ¿qué interpretación puede darle? Razón Una razón es el cociente de dos números o, en general, de dos cantidades comparables entre sí. Escriba la razón de las magnitudes, tenga presente dónde ubica la variable dependiente y la independiente; usualmente en el denominador se escribe aquella variable que afecta a la otra ¿por qué cree que se debe proceder así? Aplique la idea Fórmula para calcular la pendiente Por lo anterior, se obtiene que la pendiente se calcula así:




o ¿Cómo se puede identificar la pendiente de una recta gráficamente? Interpretación de la pendiente de una recta en un contexto o problema http://moodlep12b.poligran.edu.co/file.php/61/Taller_2_Funcion_Lineal_y_Cuadratica.pdf Interpretemos el concepto de preimagen de una función lineal. x: la preimagen de una función La letra x representa, en una función, al valor de la variable independiente, el cual debe pertenecer al dominio de la función.

Este valor puede ser dado por el lector o se debe hallar si dan el valor de la imagen, es decir, de la variable dependiente.

Para analizar mejor esta idea analice cada uno de los casos, a través de los siguientes ejemplos:

1. Evalúe la función dada en x=2.

2. Determine el valor de la preimagen de 5. Observe el proceso que se debe realizar cuando se solicita evaluar una función. Evaluar una función Sea f(x)=-2x+7 evalúe la función en x=2.

Cuando se evalúa una función se debe reemplazar el valor de x por el número dado, en este caso 2.

f(2)=-2(2)+7=-4+7=3

Note cómo el problema dio el valor de x; ahora observe qué proceso debe realizarse cuando se pide hallar una preimagen, es decir, el valor de x cuando se da el valor de f(x). Hallar una preimagen Establecer el valor de una preimagen significa hallar el valor de x para el cual su imagen es el valor dado; en este caso, dicho valor es 5.

Entonces, se pide hallar la preimagen de 5. Observe cuál es el proceso a desarrollar.

Como f(x)=5, se debe hallar el valor de x para el cual al reemplazar en la función f(x)=-2x+7 arroja el valor 5.
5=-2x+7
Note cómo el ejercicio se convierte en una ecuación para resolver.

-7=-2x -2=-2x 1=x

De este modo, la preimagen de 5 es 1. Reconocimiento de una preimagen a partir de la representación gráfica Analicemos el significado y la interpretación del valor b. b: punto de corte con el eje y La constante b en la fórmula o expresión que constituye a una función lineal corresponde, justamente, al punto de corte de la gráfica de la función con el eje y.

Para reconocer la anterior afirmación tenga en cuenta el siguiente proceso:

1. Halle la imagen de 0 para una función lineal de la forma f(x)=ax+b.
2. Identifique la estructura del punto que se define cuando x=0.
3. Relacione el resultado con el valor de b en la función.
¿Qué observó? Aspectos a abordar para comprender la función cuadrática ¿Qué debo hacer para elaborar la gráfica una función cuadrática?

Calcular y entender el vértice.
Hallar los puntos de corte con los ejes X e Y (si existen).
Para hallar los cero de la función se sugiere saber qué es el discriminante de una ecuación cuadrática.
Elaborar una tabla de datos teniendo en cuenta la simetría de la función cuadrática. ¿Qué caracteriza a una función cuadrática?

El vértice.
El coeficiente de la potencia x^2.
Su representación gráfica. ¿Qué efecto tiene un cambio en los valores de a, b y c en la gráfica de una función cuadrática?

¿Cuál es la interpretación del vértice de una función cuadrática?

¿Qué pasos debo seguir para hallar el vértice de una función cuadrática?

¿Qué pasos debo seguir para hallar los ceros de una función cuadrática?

¿Qué es la simetría de una función cuadrática?

¿Quién da la simetría de una función cuadrática?

¿En qué contextos debo implementar una función cuadrática y todos su elementos o características?
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