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Historia de la Matemática

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Emiliano Wickmann

on 4 November 2013

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Es el campo científico que se ocupa de la interfaz entre las matemáticas y la física.

Existen distintas ramas de la física matemática, las cuales a grandes rasgos, se corresponden con períodos históricos específicos. La teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (y áreas afines del cálculo variacional, análisis de Fourier, teoría del potencial, y cálculo y análisis vectorial) son temas muy ligados a la física matemática.
Teoría de los números
Análisis infinitesimal
3V0LUC10N
La Historia de la Geometría Analítica es muy antigua, tiene sus inicios en el Antiguo Egipto pasando por Grecia pertenecientes a la Edad Antigua, la Edad Media, el Renacimiento, la Edad Moderna, y la Edad Contemporánea.

Inicialmente, estaba formada por conocimientos pràcticos en relaciòn a las longitudes, àreas y volùmenes.

Existe una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes.

Hoy en día, paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que se entiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana, sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que se base en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no— hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss


Mientras que algunas ideas del cálculo fueron desarrolladas tempranamente en las matemáticas griegas, chinas, indias, islámicas y japonesas, el uso moderno del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz construyeron con base al trabajo de antiguos matemáticos los principios básicos de esta disciplina. El desarrollo del cálculo fue constituido con base en los conceptos de movimiento instantáneo y el área bajo las curvas.

El cálculo es usualmente desarrollado mediante la manipulación de "cantidades pequeñas". Históricamente, el primer método para lograr eso se basaba en infinitesimales. Éstos son objetos que pueden ser tratados como números pero que son, en algún sentido, "infinitamente pequeños".

En el siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados por los límites. Los límites describen el valor de una función en un cierto valor de entrada en términos de sus valores en un punto cercano.




Lógica matemática

Estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.
Un Poco de Historia
Precursores.
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646 - 1716)
Sir Isaac Newton
(1643-1727)
Geometría analítica

Estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas.


Geometrìa analìtica
Geometría proyectiva
Es una geometría intrínsecamente no métrica, cuyos hechos son independientes de cualquier estructura métrica.



Puede ser pensada como una extensión de la geometría euclidiana en la que la "dirección" de cada línea se subsume dentro de la línea como un "punto" extra, y en la que un "horizonte" de las direcciones correspondientes a las líneas coplanares es considerado como una "línea". (Por lo tanto, dos líneas paralelas se encuentran en una línea de horizonte en virtud de su posesión de la misma dirección)

Geometría proyectiva también incluye una teoría completa de las secciones cónicas.
Las geometrías proyectivas, pueden ser divididas en "Discreta y Continua"

Una geometría discreta comprende un conjunto de puntos, que puede ser o no ser finito en número.

Una geometría continua tiene un número infinito de puntos sin huecos entre ellas.

La propiedad fundamental que distingue a todas las geometrías proyectivas es propiedad incidencia elíptica que dos líneas distintas L y M en el plano proyectivo se cortan en exactamente un punto P.
Nuestra teoría de números se deriva de la antigua aritmética griega de Diofanto.

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia:
Las propiedades de los números, en particular los enteros.
Los problemas que surgen con el estudio de los números enteros
Ramas:

Teoría elemental de números
(estudia los números enteros sin emplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas)
La teoría analítica de números
(emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros)
La teoría de números aditiva
(trata de una manera más profunda los problemas de representación de números)
La teoría algebraica de números
(concepto de número se expande a los números algebraicos)
La teoría geométrica de números
(incorpora todas las formas de geometría)
La teoría combinatoria de números
(trata los problemas de la teoría de números involucrando ideas combinatorias y sus formulaciones o soluciones)
La teoría computacional de números
(estudia los algoritmos relevantes de la teoría de números)
Cálculo de Probabilidades
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat » y Blaise Pascal » tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar.


Probabilidad
Es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables
Métodos para calcular las probabilidades:

Regla de la adición
(establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo)

Regla de la multiplicación
(establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.)

Regla de Laplace
(establece que: -La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. -La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1. )

Distribución binominal
(es aquella donde hay solo dos posibilidades)
El cálculo diferencial
es el estudio de la definición, propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función

El cálculo integral
es el estudio de las definiciones, propiedades, y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida. El proceso de encontrar el valor de una integral es llamado integración. (estudia dos operadores lineales relacionados).

El teorema fundamental del cálculo
relaciona los valores de las antiderivadas para definir las integrales

Física matemática
Suele dividirse en cuatro subcampos:

teoría de modelos
,
teoría de la demostración
,
teoría de conjuntos
y
teoría de la recursión.
Cálculo Mecánico
El mérito de haber comprendido la posibilidad de mecanizar el cálculo aritmético y de haber concebido y construido una máquina que permitiera esta mecanización debe ser asignado a Schickard, a Pascal y a Leibniz. El primero ocupaba el puesto de profesor de lenguas orientales en Tübingen
Es la primera maquina de calcular diseñada por Schickard.
Pascal el 1639 inventó una máquina de calcular para ayudar a su padre, que como recaudador realizaba operaciones interminables. Esta máquina realizaba operaciones de suma y resta.
Leibnitz da en 1709 la descripción de su máquina de calcular.
La maquina hacía multiplicaciones y divisiones.
Hasta el siglo XIX no se puede llevar a la práctica la invención.


EL FORMALISMO DEL SIGLO XVIII
Los Continuadores.

Los métodos infinitesimales de Newton y Leibniz fueron conocidos hasta la última década del
siglo XVII.
los Bernoulli aparecen en un lapso de casi dos siglos, dieron
una decena de matemáticos, entre los más importantes esta Jacobo (hay dos Jacobos), y su
hermano Johann I,( Pues hay tres Johannes), Daniel I (hay dos Danieles), conectado
íntimamente con los Bernoulli se presenta uno de los matemáticos del Siglo XVIII Leonardo
Euler .

La obra matemática de Jacobo Bernoulli es sobre nuevos métodos infinitesimales y cálculo de
probabilidades, de series, la espiral logarítmica, descubrimiento que sirve para producir otras
curvas derivadas de ella
A él se deben algunas soluciones de los
problemas de Leibniz como la curva isócrona, su hermano Johann fue un gran aplicado en
problemas geométricos y mecánicos con los métodos infinitesimales.
Junto con Bernoulli está L´Hopital, quien es el
autor del primer tratado sobre calculo diferencial.
Aparece la llamada Regla de L’Hopital para el cálculo
de limites indeterminados, regla cuya paternidad no fue de Bernoulli como se pensó durante
algún tiempo.
En este siglo de la razón, se
pensaba que todos los problemas analíticos pueden resolverse, que toda ecuación algebraica
tiene solución, que toda ecuación diferencial pueda integrarse y que toda serie puede sumarse.

Esta confianza excesiva en el poder del símbolo matemático trajo magníficas consecuencias y
beneficios, todo este cúmulo del saber matemático fue atrapado por Euler durante 40 años de trabajo con extraordinaria capacidad.
En el análisis infinitesimal es sin duda donde aparecen las contribuciones más originales y es el
creador de los primeros tratados sistemáticos de esta disciplina
Un matemático llamado Alexis Claude Clairaut siendo adolescente se ocupó de las curvas en el
espacio cuya obra importante estableció la Teoría del equilibrio de los fluidos bajo condiciones matemáticas que ahora es la base de la teoría del potencial.
Maclaurin junto con Clairaut son los últimos matemáticos que resuelven los problemas de los
tres cuerpos del cual también se ocupó Jean Le Rond D’Alambert
Otro es Cramer que se dedicó al álgebra y al estudio de las curvas planas y sentó las bases para la resolución de sistemas lineales conocido como Regla de Cramer o método de los Determinantes.

Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Todos estos matemáticos nacieron y murieron en el siglo XVIII que es el siglo de Lagrange, es
la generación en su mayoría de los matemáticos franceses, es la generación que asiste a la
Revolución Francesa.

Cálculo de variaciones
El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.
Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de x\, para el cual la función f(x)\, alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función f(x) para la cual un funcional J[f]\, alcance un valor extremo. El funcional J[f] está compuesto por una integral que depende de x, de la función f(x) y algunas de sus derivadas.
En el siglo XVIII, además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la geometría diferencial, la geometría descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría.
Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal.
A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler.
Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge,
Evolución de la geometría
Geometría Descriptiva
La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas geométricas que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional.

Por tanto, mediante «lectura» adecuada posibilita resolver problemas espaciales en dos dimensiones de modo que se garantiza la reversibilidad del proceso.

En la época actual se reconocen dos modelos, en los cuales se les considera:
1) «lenguaje» de representación y de sus aplicaciones; 2) tratado de geometría.
(Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado relacionado con el de la Geometría proyectiva).

El siglo de oro de la matemática francesa
Mecánica Racional
Podría ser considerada una rama de las matemáticas, donde se juega con relaciones entre variables físicas, y se obtienen a partir de ellas ecuaciones útiles y aplicaciones prácticas.
Tiene por objeto el estudio del fenómeno del movimiento de los cuerpos naturales,busca sus causas y las leyes que lo rigen, atendiendo las fuerzas que lo provocan.
Mecánica Celeste
Es una rama de la astronomía y la mecánica que tiene por objeto el estudio de los movimientos de los cuerpos celestes en virtud de los efectos gravitatorios que ejercen sobre él otros cuerpos masivos.
Kepler fue el primero en desarrollar las leye
s

que rigen
las órbitas a partir de observaciones empíricas del movimiento de Marte apoyadas, en gran parte, en observaciones astronómicas realizadas por Tycho Brahe.

Años después, Newton desarrolló su ley de gravitación basándose en el trabajo de Kepler.
Estudia el movimiento de dos cuerpos, conocido como problema de Kepler, el movimiento de los planetas alrededor del Sol, de sus satélites y el cálculo de las órbitas de cometas y asteroides.
Isaac Newton introdujo la idea de que el movimiento de los objetos en el cielo, como los planetas, el Sol, y la Luna, y el movimiento de objetos en la Tierra, como las manzanas que caen de un árbol, podría describirse por las mismas leyes de la física. En este sentido él unificó la dinámica celeste y terrestre por eso su Ley de gravitación se llama Universal.
Comienzos
Conclusiones
Las matemáticas existen desde los inicios de la civilización, y se encuentra en constante evolución.
Es de suma importancia contar con ella en todo momento ya que es esencial para el desarrollo de la vida.
Es por esto que no se debe dejar de tener en cuenta y devolverle el mérito que merece.
Muchas Gracias!!
Francia tuvo una presencia muy importante en las matemáticas de la última parte del siglo XVIII, con personalidades vinculadas o afectadas, de una u otra forma, con la Revolución Francesa.
Es la época de la epopeya politécnica con Lagrange, Vander-monde, Monge, Laplace, Legendre, Fourier, Poisson, Poncelet, Cauchy, Chasles, Sturm, Liouville, etc; y de la expansión de las matemáticas francesas.
Paris, se convirtió pues, en la capital mundial de las matemáticas, en el periodo que comprende desde la revolución francesa hasta mediados del siglo XIX.
Los seis grandes matemáticos de ese período fueron Lagrange ( 1736-1813 ), Legendre ( 1752-
1833 ), Laplace ( 1749-1827 ), Condorcet ( 1743-1794 ), Monge ( 1746-1818 ), y Carnot ( 1753-1823 ).
Todos ellos destinaron algunos de sus trabajos al Cálculo diferencial e integral.
Monge hizo contribuciones a la geometría analítica y diferencial.
También Carnot trabajó en geometría y, por otro lado, Legendre hizo aportes al Cálculo, a la teoría de
funciones, la teoría de números, y la matemática aplicada.
Probablemente, quien más lejos llegó de este grupo de franceses fue Lagrange, considerado muchas
veces el matemático más profundo del siglo XVIII (junto con Euler). Lagrange creó lo que se llama el
cálculo de variaciones.
Laplace realizó contribuciones decisivas a las probabilidades, y a la mecánica
La Mecánica necesita, para estudiar el movimiento de cuerpos y partículas , de diversas herramientas matemáticas.
La cinemática es precisamente el estudio del movimiento que hace uso de herramientas matemáticas y de los conceptos de espacio y tiempo, sin importarle las fuerzas que lo causan. El vector posición de una partícula se designa por r, su
velocidad instantánea, v y su aceleración instantánea a, que son las tres cantidades físicas fundamentales. Las tres tienen características vectoriales.
El esquema de movimiento de un punto material puede resumirse en las
siguientes categorías:

1.-) Movimiento rectilíneo uniforme y movimiento acelerado.

2.-) Movimiento curvilíneo en diferentes sistemas de coordenadas.

3.-) Movimiento a lo largo de curvas específicas o vinculado.

4.-) Movimiento relativo o movimiento referido a ternas móviles
JOSEPH-LOUIS LAGRANGE
Después de Newton, Lagrange descubrió la existencia de los puntos de Lagrange. Lagrange también reformuló los principios de la mecánica clásica, haciendo hincapié en la energía más que la fuerza y el desarrollo de un método para utilizar una sola ecuación en coordenadas polares para describir cualquier órbita.
Útil para calcular el comportamiento de los planetas y cometas y tal. Más recientemente, también se ha convertido en útil para el cálculo de trayectorias espaciales.
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